1821矩形的性質(zhì)與判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.矩形的性質(zhì)1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.注意：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.題型1：理解矩形的性質(zhì)1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別相等B．對(duì)角線相等C．兩組對(duì)邊分別平行D．對(duì)角線互相平分【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求解．【解答】解：矩形的性質(zhì)有兩組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分且相等，平行四邊形的性質(zhì)有兩組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，

故選：B．【變式11】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），則點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣3，3）．【分析】先在坐標(biāo)系內(nèi)描出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，3），B（0，2）．∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣3，縱坐標(biāo)為3．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，3）．故答案為：（﹣3，3）．【變式12】∠A和∠C是矩形ABCD的一組對(duì)角，則：①∠A與∠C相等；②∠A與∠C互補(bǔ)；③∠A是直角；④∠C是直角，以上結(jié)論中，正確的有①②③④．【分析】本題根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：矩形四個(gè)角都為直角．∴①∠A與∠C相等；②∠A與∠C互補(bǔ)；③∠A是直角；④∠C是直角，故①②③④都正確．故答案為：①②③④．題型2：利用矩形的性質(zhì)判定三角形全等2.如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，將△ABC沿BC方向平移，使點(diǎn)B移到點(diǎn)C，得到△DCE．求證：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性質(zhì)得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性質(zhì)得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出結(jié)論；【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性質(zhì)得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【變式21】已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，DE＝2，矩形的周長(zhǎng)為16，且CE＝EF．求AE的長(zhǎng)．【分析】由題意可證△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周長(zhǎng)為16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的長(zhǎng)度．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由題意可知：2（AE+DE+CD）＝16且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【變式22】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)．求證：AE＝BE．【分析】利用矩形的性質(zhì)證得△ADE≌△BCE后即可證得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E為CD邊上的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．題型3：矩形的性質(zhì)與求角度3.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，則∠DGF等于（）A．70° B．60° C．80° D．45°【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故選：A．【變式31】用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖方式擺放，一把直尺壓住射線OB交射線OA于點(diǎn)M，另一把直尺壓住射線OA交第一把直尺于點(diǎn)P，作射線OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．46° B．52° C．56° D．62°【分析】由長(zhǎng)方形直尺可得MP∥OB，再根據(jù)作圖過程可知OP平分∠AOB，進(jìn)而可得∠AMP的度數(shù)．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由長(zhǎng)方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故選：C．【變式32】如圖，矩形ABCD中，連接AC，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使BE＝AC，連接DE．若∠E＝70°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】連接BD，交AC于O，由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，則OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再證BE＝BD，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BDE＝∠E＝70°，則∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：連接BD，交AC于O，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故選：C．題型4：矩形的性質(zhì)與求線段4.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若∠AOB＝60°，BD＝8，則DC長(zhǎng)為（）A．4 B．4 C．3 D．5【分析】由矩形對(duì)角線性質(zhì)可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可證△OAB為等邊三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形對(duì)角線相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB為等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB為等邊三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故選：B．【變式41】如圖，矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)，若MN＝3，則BD＝12．【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出BO長(zhǎng)度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)BD＝2BO進(jìn)行求解．【解答】解：∵M(jìn)、N分別為BC、OC的中點(diǎn)，∴BO＝2MN＝6．∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案為12．【變式42】如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)是18．【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BP，證明PE是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出PE＝CD＝3，四邊形ABPE的周長(zhǎng)＝AB+BP+PE+AE，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位線，∴PE＝CD＝3，∴四邊形ABPE的周長(zhǎng)＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案為：18．題型5：矩形性質(zhì)綜合5.如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由矩形的性質(zhì)可證明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如圖：則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S陰＝+＝3，故選：A．【變式51】如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線分別與矩形的邊AD，BC交于M，N兩點(diǎn)，連接CM，AN．（1）求證：四邊形ANCM為平行四邊形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，則DM的長(zhǎng)為．【分析】（1）在矩形ABCD中，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，可得AD∥BC，AO＝CO，可以證明△AOM≌△CON可得AM＝CN，進(jìn)而證明四邊形ANCM為平行四邊形；（2）根據(jù)MN⊥AC，可得四邊形ANCM為菱形；根據(jù)AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理，求出DM的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四邊形ANCM為平行四邊形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四邊形ANCM為平行四邊形，MN⊥AC，∴平行四邊形ANCM為菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案為．【變式52】如圖，已知矩形ABCD，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使得BE＝BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)可得FB＝FC＝FD，可證FG是△BCD的中位線，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中點(diǎn)，∴FG是△BCD的中位線，∴．在Rt△EFG中，F(xiàn)G＝4，EG＝6，∴．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.題型6：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半6.直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么這個(gè)三角形的斜邊上的中線長(zhǎng)為（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為5和12，∴斜邊＝＝13，∴此直角三角形斜邊上的中線的長(zhǎng)＝＝6.5．故選：B．【變式61】如圖，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是矩形．【分析】連接EO，首先根據(jù)O為BD和AC的中點(diǎn)，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，進(jìn)而得到AC＝BD，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論．【解答】證明：連接EO，∵O是AC、BD的中點(diǎn)，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O為BD中點(diǎn)，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O為AC中點(diǎn)，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形．【變式62】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根據(jù)根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式計(jì)算得出∠EMF．【解答】（1）證明：∵CF⊥AB于F，M為BC的中點(diǎn)，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵M(jìn)F＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【變式63】如圖，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在邊AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的長(zhǎng)；（2）求證：AB＝BC．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ADE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）證明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（對(duì)角線互相平分且相等）.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.注意：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.題型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE∥AD，交AN于點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可證得：四邊形ADCE為矩形．【解答】證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE為矩形．【變式71】如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形．【分析】利用三個(gè)內(nèi)角等于90°的四邊形是矩形，即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分別平分∠ABC與∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．【變式72】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF，CN，DM分別是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分線，且相交于點(diǎn)O，K，H，G，求證：四邊形HGOK是矩形．【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO＝90°，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得四邊形GHKL是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分別平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四邊形KHGO是矩形．題型8：矩形的判定（平行四邊形+一個(gè)直角）8.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，想一想，四邊形AEDF是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到四邊形AEDF的兩邊分別平行，根據(jù)平行四邊形的定義，可知四邊形AEDF是平行四邊形，又∠BAC＝90°，根據(jù)矩形的定義，可知四邊形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形；【變式81】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于點(diǎn)E．試說明四邊形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，進(jìn)而得到AE∥CD，即可求出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出四邊形ADCE是平行四邊形，即可求出四邊形ADCE是矩形．【解答】證明：如圖所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．即四邊形ADCE是矩形．【變式82】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求證：四邊形EFGH是矩形．【分析】首先根據(jù)已知條件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形．【解答】證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形．題型9：矩形的判定（平行四邊形+對(duì)角線相等）9.如圖，在?ABCD中對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】先由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根據(jù)等角對(duì)等邊得出OC＝OB，那么AC＝BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形得出?ABCD是矩形．【解答】解：四邊形ABCD是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形．【變式91】如圖，已知?ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，連接AE，CF．（1）求證：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求證：四邊形AECF是矩形．【分析】（1）只要證明四邊形AECF是平行四邊形即可解決問題；（2）只要證明AC＝EF即可解決問題．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形．【變式92】如圖，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點(diǎn)，且BM＝DN，AC＝2MO．求證：四邊形AMCN是矩形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可證四邊形AMCN是平行四邊形，通過證明MN＝AC，可得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵M(jìn)O＝NO，∴MN＝2MO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．【變式93】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．（1）若DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，求證：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求證：四邊形ABCD為矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝CB，AD∥BC，證明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA與△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．題型10：矩形的判定綜合10.如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的長(zhǎng)度．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到DC∥AB，DC＝AB，進(jìn)而得到DF＝BE且DF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形DFBE是平行四邊形，由DE⊥AB可得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求DE的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四邊形DFBE是平行四邊形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【變式101】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O．過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周長(zhǎng)是4，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內(nèi)角為90度即可；（2）由菱形的對(duì)角線互相