122三角形全等的判定(二)（ASAAASHL）（原卷版）

八年級上冊數學《第十二章全等三角形》12.2三角形全等的判定（二）“ASA”、“AAS”與“HL”知識點一知識點一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定兩個三角形全等文字語言：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”.幾何語言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定兩個三角形全等1、文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.2、幾何語言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知兩邊，可以找“夾角”；（2）已知一角和這角的一夾邊，可找這角的另一夾邊【注意】1.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.2.說明兩三角形全等所需的條件應按對應邊的順序書寫.3.結論中所出現的邊必須在所證明的兩個三角形中.題型一全等三角形判定的條件題型一全等三角形判定的條件【例題1】（2023春?臺江區(qū)校級期末）根據下列條件，不能畫出唯一確定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4解題技巧提煉判斷三角形全等的條件時，注意兩邊與其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.解題時要根據已知條件的情況來考慮，對于非特殊的三角形，只具備SSA時一般是不能判定三角形全等的．【變式11】（2023春?項城市校級月考）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD【變式12】（2023春?泉州期末）如圖，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD，則添加的一個條件不能是（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．∠ADC＝∠AEB【變式13】（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，點P是AB上任一點，∠ABC＝∠ABD，從下列各條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【變式14】（2023春?閔行區(qū)期末）已知：如圖，點A、D、B、E在同一直線上，且AC∥DF，AD＝BE，增加下列條件不能推導出△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．BC∥EF C．AC＝DF D．∠C＝∠F【變式15】（2023春?新都區(qū)期末）如圖，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加輔助線的情況下，增加下列4個條件中的一個：①BC＝EC，②∠B＝∠E，③AB＝DE，④∠A＝∠D，能使△ABC≌△DEC的條件的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4題型二利用“ASA”直接判定兩三角形全等題型二利用“ASA”直接判定兩三角形全等【例題2】（2022秋?亭湖區(qū)期末）已知：如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，點D在AC邊上．求證：△AEC≌△BED．?解題技巧提煉有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.【變式21】（2022秋?洪山區(qū)校級期末）如圖，點C是線段AB的中點，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求證：△ACD≌△CBE．【變式22】（2023?呈貢區(qū)校級三模）如圖，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求證：△ABC≌△ADE．?【變式23】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B＝∠C．求證：DE＝EF．題型三利用“AAS”直接判定兩三角形全等題型三利用“AAS”直接判定兩三角形全等【例題3】（2022?天津模擬）如圖，AC是∠BAE的平分線，點D是線段AC上的一點，∠C＝∠E，AB＝AD．求證：△BAC≌△DAE．解題技巧提煉兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等.簡寫成“角角邊”或“AAS”.【變式31】（2022?太倉市模擬）如圖，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分別為點E，點D．求證：△ABE≌△ACD；【變式32】（2023春?碑林區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，點E，F分別是BC，CD的中點，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D．求證：AE＝AF．?【變式33】（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：△ABE≌△ACD；題型四利用“HL”直接判定兩三角形全等題型四利用“HL”直接判定兩三角形全等【例題4】（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，線段AC、BD相交于點E，連接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：BE＝CE．解題技巧提煉斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).【變式41】（2022秋?德惠市期中）如圖，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，BF＝DE．求證：△BAE≌△DCF．【變式42】（2023春?興平市期中）如圖，已知AD，BC相交于點O，AB＝CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點N，BN＝CM．求證：△ABM≌△DCN．【變式43】（2023春?城關區(qū)校級期中）如圖所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，點E，F在BC上，且BE＝CF．求證：AF＝DE．題型五判定三角形的全等求線段長題型五判定三角形的全等求線段長【例題5】（2023春?常熟市期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C作CD⊥AB，垂足為D．在射線CD上截取CE＝CA，過點E作EF⊥CE，交CB的延長線于點F．（1）求證：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的長．解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個三角形全等，再利用全等三角形的性質確定兩個三角形中邊的對應關系即可求解.【變式51】（2023春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AD和BE是兩條高線，相交于點F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，則AF＝．【變式52】（2023春?平陰縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的長．【變式53】（2023春?葉縣期末）如圖，已知點B，E，C，F在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的長．【變式54】（2023?營口）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AB的兩側，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長．題型六判定三角形的全等求角度題型六判定三角形的全等求角度【例題6】（2022秋?長沙期末）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求證：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度數．解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個三角形全等,再利用全等三角形的性質證明角相等，要注意挖掘圖形中隱含的條件，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．【變式61】（2023?洞頭區(qū)二模）如圖，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求證：△ABC≌△BDE．（2）當∠A＝80°，∠ABE＝120°時，求∠EDB的度數．【變式62】（2023?城陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于點F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度數．【變式63】（2022秋?惠東縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求證：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DCE的度數．題型七利用三角形全等證明兩直線的位置關系題型七利用三角形全等證明兩直線的位置關系【例題7】（2023春?東明縣期中）如圖，四邊形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC與DE相交于點F．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）判斷線段AC與DE的位置關系，并說明理由．解題技巧提煉先根據全等三角形的判定方法得出兩個三角形全等，然后再利用全等三角形的性質得出兩直線的位置關系（平行或垂直）.【變式71】（2022春?源城區(qū)期末）如圖，∠C＝∠D，AC＝BD，點O在AD，BC的交點，點E是AB中點，連接OE．（1）求證：△AOC≌△BOD．（2）判斷OE和AB的位置關系，并說明理由．【變式72】如圖所示，點B、E、F、C在同一條直線上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分別為點E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求證：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【變式73】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關系，并說明你猜想的正確性．題型八三角形全等的開放探究題題型八三角形全等的開放探究題【例題8】（2023春?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2，請你添加一個條件：，使△ABD≌△ACD．解題技巧提煉三角形全等中的開放題，主要是根據全等三角形的判定方法添加適當的條件證明三角形全等，方法比較靈活，答案不唯一,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.【變式81】（2023春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知∠OCB＝∠OBC，如果要說明△AOB≌△DOC，那么還需要添加一個條件，這個條件可以是．?【變式82】如圖，在△ABC與△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”為依據，則需添加一個條件是．（2）若以“AAS”為依據，則需添加一個條件是．（3）若以“ASA”為依據，則需添加一個條件是．【變式83】（2023春?常德期中）如圖，AB＝DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個條件是．【變式84】（2023?禪城區(qū)二模）如圖，已知點B、F、C、E在直線l上，點A、D在l異側，且AC∥DF，AC＝DF．（1）請你添加一個適當的條件：，使得△ABC≌△DEF．結合所添加的條件證明△ABC≌△DEF；（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的長度．【變式85】如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，BD＝BE．請你再添加一個條件_____，使得△BEA≌△BDC，并給出證明．（1）你添加的條件是；（2）證明：△BEA≌△BDC．題型九利用三角形全等解決實際問題題型九利用三角形全等解決實際問題【例題9】（2022春?三明期末）如圖，為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側選擇一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA解題技巧提煉全等三角形在實際問題中的應用：一般方法是把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．【變式91】（2023春?市北區(qū)校級期末）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在七年級數學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲，乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖1，在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作∠ADB＝∠BDC，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．?（1）甲、乙兩同學的方案哪個可行？（2）請說明你認為方案可行的理由：以上的生活情景化歸到數學上：根據題意，此時，已知條件是：；有待說明的是：；請介紹你每一步的思考及相應的道理：．（3）請將不可行的方案稍加修改使之可行．你的修改是：．【變式92】（2022?鐵嶺三模）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．【變式93】（2022秋?永城市校級期末）如圖，點B，F，C，E在直線l上（點F，C之間不能直接測量），點A，D在l的異側，AB∥DE，∠A＝∠D，測得AB＝DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的長．【變式94】如圖，操場上有兩根旗桿間相距12m，小強同學從B點沿BA走向A，一定時間后他到達M點，此時他測得CM和DM的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3m，小強同學行走的速度為0.5m/s，則：（1）請你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強從M點到達A點還需要多長時間？題型十全等三角形的判定與性質的綜合應用題型十全等三角形的判定與性質的綜合應用【例題10】（2022秋?綏棱縣校級期末）如圖，AD∥BC，AD＝BC，AC與BD相交于點O，EF過點O并分別交AD，BC于點E，F，則圖中的全等三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對解題技巧提煉三角形的全等判定與性質的綜合應用主要是用來探究線段、角之間的數量，因此可利用全等三角形的性質解決問題．【變式101】如圖①，點A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過點E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC．連接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求證：BD平分EF；（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動，△BFA的邊FA沿CA方向移動，變?yōu)槿鐖D②所示時，其余條件不