2023-2024學(xué)年北京東直門中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京東直門中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)2023.11考試時間：120分鐘總分：150分班級______姓名______學(xué)號______第一部分一.選擇題：（本題有12道小題，每小題4分，共48分）1.已知α∈，且sinα＝，則tanα＝()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中，，，則=（）A.9 B.11 C.13 D.153.已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項和，，，則（）A.31 B.63 C.127 D.2554.已知、是兩個不同的平面，直線，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.向量，，若，且，則的值為（）A. B.1 C. D.46.在中，的面積等于，則等于（）A. B.1 C. D.27.設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.9.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且，給出下列三個結(jié)論：①；②的面積大于的面積；③三棱錐的體積為定值.其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.310.已知公差不為零的等差數(shù)列，首項，若成等比數(shù)列，記，則數(shù)列（）A.有最小項，無最大項 B.有最大項，無最小項C.無最大項，無最小項 D.有最大項，有最小項11.ISO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了A，B系列的紙張尺寸．設(shè)型號為的紙張的面積分別是，它們組成一個公比為的等比數(shù)列，設(shè)型號為的紙張的面積分別是已知，則的值為（）A. B. C. D.212.已知數(shù)列滿足，則（）A.當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D.當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立二.填空題：（本題有6道小題，每小題5分，共30分）13.已知函數(shù)，則______；若將的圖象向右平行移動個單位長度后得到的圖象，則的一個對稱中心為______.14.在中，若，，，則___________.15.已知數(shù)列滿足，且，則______；數(shù)列的前2023項的和為______.16.已知平面和三條不同的直線m，n，l.給出下列六個論斷：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中兩個論斷作為條件，使得成立.這兩個論斷可以是______.（填上你認(rèn)為正確的一組序號）17.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，給出下列四個結(jié)論：圖1圖2①；②圖2中，；③圖2中，過線段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C；④圖2中，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積大于.其中所有正確結(jié)論的序號是______.三.解答題：（本題有6小題，共72分）19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，，.（1）求、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20.已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為．（1）求A和函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21.在中，.（1）求A；（2）若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇了不合適的條件，則第（2）問記0分.22.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，點(diǎn)E在線段上，且.（1）求證：平面PBD；（2）求二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面的距離.23.如圖，在多面體中，平面⊥平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且.（1）求證：⊥；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段BD上是否存在點(diǎn)M，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.24.設(shè)為正實(shí)數(shù)，若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，都有．則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）判斷以下兩個數(shù)列是否為數(shù)列：數(shù)列：3，5，8，13，21；數(shù)列：，，5，10．（2）若數(shù)列滿足且，是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．（3）若各項均為整數(shù)的數(shù)列是數(shù)列，且的前項和為150，求的最小值及取得最小值時的所有可能取值．

參考答案第一部分一.選擇題：（本題有12道小題，每小題4分，共48分）1.【答案】B【詳解】由sinα＝，α∈得cosα＝－＝－所以tanα＝故答案為B．2.【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的基本量計算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則故選：C3.【答案】C【分析】根據(jù)條件求出數(shù)列的首項和公比后再求和即可.【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以.故選：C4.【答案】D【分析】根據(jù)判斷與的位置關(guān)系，可判斷AB選項的正誤；由與的位置關(guān)系判斷與的位置關(guān)系，可判斷CD選項的正誤.【詳解】若，，則、與相交或，AB選項錯誤；若，，則或與相交，C選項錯誤；若，，由面面垂直的判定定理可知，D選項正確.故選：D.5.【答案】C【分析】根據(jù)向量模的公式可求出的值，根據(jù)可求出的值，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得，所以向量，因?yàn)?，所以，所以，所以的值?故選：C.6.【答案】C【分析】由已知利用三角形面積公式可求，進(jìn)而利用余弦定理可求的值．【詳解】解：，，的面積等于，解得：，由余弦定理可得：．故選：C．7.【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.8.【答案】A【分析】根據(jù)單位圓及三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角余弦公式求解.【詳解】因?yàn)槭墙墙K邊與單位圓的交點(diǎn)，所以，故.故選：A9.【答案】D【分析】根據(jù)平面得到①正確，點(diǎn)到直線的距離大于點(diǎn)到直線的距離，②正確，計算體積得到③正確，得到答案.【詳解】對①：平面，平面，故，又，，平面，故平面，平面，故，正確；對②：平面，平面，，故是的高，是中點(diǎn)，，故，是的高，，正確；對③：平面，故，正確；故選：D10.【答案】A【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)解得，取得數(shù)列項的正負(fù)，得到答案.【詳解】成等比數(shù)列，故，即，解得或（舍），，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；的前6項為：，，故最小，沒有最大值.故選：A11.【答案】C【分析】利用是等比數(shù)列以及，令求解即可.【詳解】，令，又組成一個公比為的等比數(shù)列，，又，故選：C.12.【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)椋?，對于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當(dāng)時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當(dāng)時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時，，，則，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏希裕瑒t為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，?dāng)時，，，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，則，所以，又當(dāng)時，，即，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時，，，猜想當(dāng)時，，當(dāng)與時，與滿足，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，?dāng)時，，則，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)椋?，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.二.填空題：（本題有6道小題，每小題5分，共30分）13.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】確定，計算得到，確定，取，計算得到答案.【詳解】，；，取，即，取，，此時對稱中心為.故答案為：；14.【答案】【分析】由正弦定理和正弦的二倍角公式可得．【詳解】由正弦定理得，所以，所以．故答案為：．15.【答案】①.2②.1【分析】根據(jù)遞推關(guān)系寫出數(shù)列的項，可得數(shù)列的周期，利用周期求解.【詳解】由，且，可得，，，，，，故從開始，每6項循環(huán)一次，且一個循環(huán)內(nèi)6項的和為0，，即前2023項的和為.故答案為：2；116.【答案】①④（或③⑥）【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】對①④，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，則，故可填①④對①⑤，若，，則；對①⑥，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對②④，若，，則；對②⑤，若，，則可能相交，平行或異面；對②⑥，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對③④，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對③⑤，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對③⑥，由平行的傳遞性可知，若，，則，故可填③⑥故答案為：①④（或③⑥）【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.17.【答案】①.48②.384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)椋瑒t；空2：設(shè)后7項公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.18.【答案】②③【分析】根據(jù)結(jié)合圖像判斷，①錯誤，根據(jù)計算得到②正確，得到③正確，區(qū)域表示以為圓心，半徑為，圓心角為的扇形，計算得到④錯誤，得到答案.【詳解】對①：，，，故或，函數(shù)圖像由向左平移個單位得到，根據(jù)圖像知，即，故，錯誤；對②：，取，，，在圖1中得到，，，圖2中：，平面平面，平面平面，故平面，平面，故，，，故，正確；對③：，故過線段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C，正確；對④：平面，平面，故，當(dāng)時，，故，區(qū)域表示以為圓心，半徑為，圓心角為的扇形，，，，即，錯誤；故答案為：②③.三.解答題：（本題有6小題，共72分）19.【答案】（1），（2）【分析】（1）由可求得數(shù)列的公比，由等比數(shù)列通項公式可得，進(jìn)而得到；由可求得數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項公式可得；（2）由（1）可得，采用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，；又，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.【小問2詳解】由（1）得：；.20.【答案】（1）；（2）【分析】（1）解方程即可求，然后把函數(shù)降冪，輔助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.【小問1詳解】的一個零點(diǎn)為，即，所以函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】當(dāng)時有最大值，即.若恒成立，即,所以，故的取值范圍為.21.【答案】（1）或（2）18【分析】（1）根據(jù)已知條件利用正弦定理求解即可.（2）由題意可知只有①符合，②③不符合，通過面積公式和正弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，則由正弦定理可得，，因?yàn)樗运曰?【小問2詳解】若選①，即，則，所以，所以，則，由正弦定理得：，則存在且唯一確定，面積為.若選②，即，又，所以，矛盾所以②不成立；若選③，由，，，得，由余弦定理可得：，當(dāng)時，得或舍；當(dāng)時，得或舍；此時存在但不唯一確定，所以不合題意.22.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意和線面垂直的性質(zhì)可得兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示即可得解；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用空間向量的點(diǎn)面距離公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)?，，所以?所以，，所以，所以.又因?yàn)?，，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又因?yàn)槭蔷匦危?，所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，于是，因?yàn)槠矫妫∑矫娴姆ㄏ蛄繛?，則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.【小問3詳解】由（2）知，而平面的一個法向量為，所以點(diǎn)A到平面的距離為.23.【答案】（1）證明過程見解析（2）（3）存在，【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用公式得到線面角的正弦值；（3）設(shè)，得到，求出平面的法向量，由垂直關(guān)系得到方程，求出答案.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫危浴?，因?yàn)槠矫妗推矫?，平面平面，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥；【小?詳解】因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，⊥，又，故，，兩?/p>