2023-2024學(xué)年北京一零一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京一零一中高二（上）期中數(shù)學(xué)（本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B. C. D.2.若，，，則的值為（）A.3 B.4 C.7 D.153.若直線過點(diǎn)，且的方向向量為，則直線的方程為（）A. B.C. D.4.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知向量，，，若，，共面，則等于（）A. B. C.5 D.96.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.7.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.28.如圖1，某同學(xué)在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)的部分圖象，A，B分別是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，M是圖象與y軸的交點(diǎn)，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則下列結(jié)果不正確的是（）A.B.點(diǎn)D到平面的距離為C.點(diǎn)D到直線的距離為D.平面與平面夾角的余弦值為9.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，的長分別為a，b，c.M為內(nèi)部的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面，平面，平面的距離分別為，，，則（）A.4 B.1 C. D.210.設(shè)直線系M：，對(duì)于下列四個(gè)命題：①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；②存在無數(shù)多個(gè)點(diǎn)不在M中的任一條直線上；③對(duì)于任意整數(shù)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.其中真命題為（）A.①②④ B.②③ C.②③④ D.③④二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.已知向量，，若，則____________.12.兩條直線與之間的距離是______.13.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是____________.14.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為____________；當(dāng)最大時(shí)，____________.15.如圖，在直三棱柱中，，，，，.記，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于任意點(diǎn)H，都不存在點(diǎn)P，使得平面平面；②的最小值為3；③當(dāng)取最小時(shí)，過點(diǎn)A，H，P作三棱柱的截面，則截面面積為；④滿足的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.三、解答題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形且，側(cè)面底面，且側(cè)面是正三角形，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值，17.已知點(diǎn)和點(diǎn)是圓C直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．（1）求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和圓C的方程；（2）過點(diǎn)A作圓C的切線l，求切線l的方程．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，且，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設(shè)是棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.已知圓：.（1）若圓與軸相切，求圓的方程；（2）如圖，當(dāng)時(shí)，圓與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）.問：是否存在圓：，使得過點(diǎn)M的任一條直線與該圓的交點(diǎn)為A，B，都有?若存在，求出圓方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.20.已知：為有窮數(shù)列.若對(duì)任意的，都有（規(guī)定），則稱具有性質(zhì).設(shè).（1）判斷數(shù)列：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性質(zhì)P?若具有性質(zhì)P，寫出對(duì)應(yīng)的集合；（2）若具有性質(zhì)，證明：；（3）給定正整數(shù)，對(duì)所有具有性質(zhì)的數(shù)列，求中元素個(gè)數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】B【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，A選項(xiàng)，直線，斜率，即傾斜角為鈍角；B選項(xiàng)，直線，斜率，傾斜角為，是銳角；C選項(xiàng)，直線，斜率，即傾斜角為，不是銳角；C選項(xiàng)，直線，斜率不存在，即傾斜角為，是直角不是銳角.故選：B.2.【答案】A【分析】應(yīng)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求的值.【詳解】由題設(shè)，則.故選：A3.【答案】B【分析】由直線的方向向量與斜率的關(guān)系求得直線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式建立直線方程，化簡為直線的一般式方程即可得解.【詳解】解：∵的方向向量為，∴直線的斜率，又∵直線過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即.故選：B.4.【答案】A【分析】計(jì)算直線平行等價(jià)于或，根據(jù)范圍大小關(guān)系得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，或，驗(yàn)證均不重合，滿足.故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.5.【答案】D【分析】根據(jù)列方程，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解出的值.【詳解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得：，所以.故選：D.6.【答案】D【分析】由表示直線上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：表示直線上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以對(duì)稱點(diǎn)為，則由圖知：的最小值為，故選：D7.【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.8.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圖1中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖2中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】在圖1中，由，得，，，，在圖2中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，得，A正確．設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離為，B正確．取，，則，，所以點(diǎn)D到直線的距離為，C錯(cuò)誤．平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的余弦值為，D正確.故選：C.9.【答案】D【分析】根據(jù)，利用等體積法即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)M到平面，平面，平面的投影點(diǎn)分別為,連接，則.而，，所以，則，則，故選：D.10.【答案】B【分析】點(diǎn)到直線系中每條直線的距離，直線系表示圓的切線的集合.從切線的角度逐一判斷各個(gè)命題即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線系中每條直線的距離，直線系表示圓的切線的集合.①：由于直線系表示圓的所有切線，其中存在兩條切線平行，中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)不可能，故①不正確；②：直線系表示圓的所有切線，故圓內(nèi)部的點(diǎn)不在中的任一條直線上，所以存在無數(shù)多個(gè)點(diǎn)不在中的任一條直線上，故②正確；③：由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，故③正確；④：如圖，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，其一是如是圓的外切三角形，此類面積都相等，另一類是在圓同一側(cè)，如型，此一類面積相等，但兩類之間面積不等，所以面積大小不一定相等，故④不正確.故選：B.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.【答案】##10.5【分析】由向量平行可設(shè)，可得，解方程即可得解.【詳解】由設(shè)，則，解得,所以，故答案為：.12.【答案】【分析】根據(jù)平行直線間距離公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由平行直線間距離公式可得：之間的距離.故答案為：.13.【答案】【分析】已知等式變形后得到圓方程，找出圓心和半徑，令，得到，根據(jù)直線和圓有公共點(diǎn)列式求解即可.【詳解】令，即，表示一條直線，又方程可化為，表示圓心為，半徑為的圓，由題意可知圓與直線有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，解得，即的取值范圍是，故答案為：14.【答案】①.②.【分析】先求出直線AB的方程，由圓心到直線的距離加上半徑可得最大值；找到當(dāng)最大時(shí)P點(diǎn)所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得的值.【詳解】由題意可得AB的直線方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為(5,5)，半徑為4，圓心(5,5)到直線AB的距離為，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，如圖：，當(dāng)最大或最小時(shí)，直線PB與圓相切，上圖的P點(diǎn)位置滿足最大的情況，，，所以，故答案為：；.15.【答案】②③【分析】①問題化為對(duì)于任意點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)P，使面面，由已知證面面，結(jié)合面面垂直判定判斷存在性即可；②將繞翻折到平面內(nèi)，證為等邊三角形，進(jìn)而確定的最小值；③為的中點(diǎn)，為的重心，平面中，延長交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證過點(diǎn)的三棱柱的截面為梯形，根據(jù)已知求其面積；④由時(shí)，，進(jìn)而得到，幾何法確定不等式兩端的范圍，即可判斷.【詳解】①因?yàn)槿忮F為直三棱錐，所以面，又面，所以，又，所以，所以，由，面，故面，面，所以面面，而且都在面內(nèi)，由于面即為面，要使面面，只需面面，綜上，面時(shí)，面，此時(shí)面面，即面面，對(duì)于任意點(diǎn)，只需對(duì)應(yīng)平行于中邊上的高時(shí)，均滿足要求，錯(cuò)；②將繞翻折到平面內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，所以到直線的距離為3，所以的最小值為3，對(duì)；③當(dāng)取最小時(shí)，為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以為的重心，故，在平面中，延長交于點(diǎn)，因?yàn)?，，，所以，故，取的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，所以，故過點(diǎn)的三棱柱的截面為梯形，，，，，如下圖，過作，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，則梯形的面積為，錯(cuò)；④當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題設(shè)知，在下圖中過點(diǎn)作，垂足為，則，綜上，，又，，（對(duì)于：只需，只需，即，則顯然成立.）故對(duì)于任意的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，都存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，滿足，故滿足的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，對(duì)；故答案為：②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：③利用平面基本性質(zhì)找到截面并證明其為梯形，求出相關(guān)線段長為關(guān)鍵；④注意取時(shí)，，過點(diǎn)作，垂足為，并得到為關(guān)鍵.三、解答題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）詳見解析（2）【分析】（1）作出輔助線，證明線線平行，進(jìn)而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角；【小問1詳解】取PC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以MF是三角形PBC的中點(diǎn)，所以MF∥BC，且，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，E是AD的中點(diǎn)，所以AE∥BC，，所以MF∥AE，且MF=AE，所以四邊形AFME是平行四邊形，故AF∥ME，因?yàn)锳F平面PCE，ME平面PCE，所以AF∥平面PCE.【小問2詳解】因?yàn)閭?cè)面PAD是正三角形，E是AD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，交線為AD，所以PE底面ABCD，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED所在直線為x軸，取BC中點(diǎn)H，EH所在直線為y軸，EP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面PEC的法向量，則，解得：，令得：，所以，，設(shè)直線CF與平面PCE所成角為，故；所以直線CF與平面PCE所成角的正弦值為.17.【答案】（1）中點(diǎn)，（2）【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得的中點(diǎn)，即圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得直徑，即可寫出圓C的方程；（2）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得切線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求得切線l的方程．【小問1詳解】由點(diǎn)和點(diǎn)是圓C直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，可得的中點(diǎn)即為圓心C，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得直徑，所以圓C的半徑為，則圓的方程為【小問2詳解】根據(jù)題意可知直線與切線l垂直，直線的斜率為，設(shè)切線l的斜率為，滿足，得；又切線l過點(diǎn)A，利用直線的點(diǎn)斜式方程得；即切線l的方程為.18.【答案】（1）見解析（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法即可得出答案；（3）假設(shè)存在，設(shè)此時(shí)，分別求出，根據(jù)，可得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解得即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面；【小?詳解】解：作軸平面，則軸在平面中，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，則有，可取，同理，可取，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；【小問3詳解】解：假設(shè)存在，設(shè)此時(shí)，，，，則，因?yàn)?，則，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，所以，方程組無解，與題設(shè)矛盾，所以不存在一點(diǎn)，使.19.【答案】19.或20.存在；【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程確定圓心和半徑，由題意列出方程，即可求得答案；（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，假設(shè)符合題意的圓存在，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程并和圓的方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合得出，即，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值，結(jié)合驗(yàn)證直線AB的斜率不存在時(shí)是否適合題意，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由已知圓：知圓心為，半徑為，由于圓與軸相切，故，即，解得或，故圓C的方程為：或；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，圓方程為，令，則，解得或，故，假設(shè)存在圓：，使得過點(diǎn)M的任一條直線與該圓的交點(diǎn)為A，B，都有，則必有M點(diǎn)在圓內(nèi)，即；當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，由于直線AB經(jīng)過點(diǎn)M，M在圓內(nèi)，則必有，設(shè)，則，由可知，由題意知不可能為直角，故，故，即，即即，則，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，關(guān)于x軸對(duì)稱，顯然，符合題意，綜上可知，存在圓，使得過點(diǎn)M的任一條直線與該圓的交點(diǎn)為A，B，都有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓的方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系中的探索問題，解答的關(guān)鍵是假設(shè)探索性問