重點(diǎn)突圍：專題2 二次根式分母有理化與規(guī)律探究（解析版）-人教八下期中綜合復(fù)習(xí)

八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題2二次根式分母有理化與規(guī)律探究【典型例題】1．（2021·江西·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級期末）先閱讀理解，再回答下列問題：······觀察左邊的解答過程請直接寫出結(jié)果：；請你總結(jié)上面的規(guī)律(不要證明)，當(dāng)為自然數(shù)時：；利用中總結(jié)得到的規(guī)律計(jì)算：；【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中規(guī)律可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意規(guī)律可得；（3）把式子按上述規(guī)律化簡，即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3）根據(jù)上述規(guī)律：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化的內(nèi)容，讀懂題意，運(yùn)用平方差公式消去分母中的根號是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】一、解答題1．（2020·全國·八年級期末）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先分母有理化和化簡二次根式，再依據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式===【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．2．（2021·上海普陀·八年級期末）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法則運(yùn)算，再分母有理化，然后化簡后合并即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則．3．（2021·上海市莘光學(xué)校八年級期中）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算二次根式的乘法與除法，再去括號，合并同類二次根式即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的加減乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則與混合運(yùn)算的運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.4．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）判斷以下列各式是否成立：；；．類比上述式子，再寫出兩個同類的式子．你能看出其中的規(guī)律嗎？用字母表示這一規(guī)律，并給出證明．【答案】以上都成立，，，（n＞1），證明見解析【解析】【分析】類比上述式子，即可寫出幾個同類型的式子，然后根據(jù)已知的幾個式子即可用含n的式子將規(guī)律表示出來，再證明即可求解．【詳解】解：；；．所以以上都成立．舉例如下：，，規(guī)律是：（n＞1）證明：設(shè)n為大于1的正整數(shù)，左邊右邊，所以成立，【點(diǎn)睛】此題主要考查了列代數(shù)式，二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出數(shù)字之間變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）觀察下列各式：①；②；③；④．根據(jù)上面三個式子所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下列各題：（1）寫出第⑤個式子：____________；（2）寫出第個式子（，且為整數(shù)），并給出證明．【答案】（1）；（2），見解析【解析】【分析】（1）從兩個角度去思考：一是序號與右邊根式前面的整數(shù)的關(guān)系，二是這個整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母之間的關(guān)系，確定好規(guī)律好，問題自然得解；（2）利用特殊與一般的關(guān)系推廣即可【詳解】（1）∵右邊根式前面的整數(shù)等于序號+1，分?jǐn)?shù)的分母等于這個整數(shù)的平方減去1，∴第⑤個式子：，故答案為：；（2）第個式子：.證明如下：===.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式背景下的規(guī)律探索問題，準(zhǔn)確找出序號與右邊根式前面的整數(shù)的關(guān)系，這個整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2021·遼寧撫順·八年級期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，，，…驗(yàn)證：；（1）請仿照上面的方法來驗(yàn)證；（2）根據(jù)上面反映的規(guī)律，請將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)將進(jìn)行化簡即可；（2）對已有的式子進(jìn)行觀察可發(fā)現(xiàn)，等式左邊的被開方數(shù)為一個整數(shù)與一個分?jǐn)?shù)的和，且分?jǐn)?shù)的分子為1，分母等于整數(shù)加2，等式右邊二次根式前的系數(shù)比等式左邊被開方數(shù)中的整數(shù)大1，被開方數(shù)為等式左邊被開方數(shù)中的分?jǐn)?shù)，由此歸納得出，再利用二次根式的性質(zhì)將進(jìn)行化簡即可證明．【詳解】解：（1）驗(yàn)證：，故成立；（2），驗(yàn)證：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及邏輯推理，解題關(guān)鍵是運(yùn)用特殊到一般的推理方法，即通過簡單、特殊的例子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行一般化的推廣，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)規(guī)律．7．（2021·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）觀察下列等式：①；②；③．解決下列問題：（1）根據(jù)上面3個等式的規(guī)律，寫出第⑤個式子；（2）用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上面各個等式的規(guī)律，并加以證明；（3）利用上述結(jié)果計(jì)算：．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用題中等式的計(jì)算規(guī)律即可得到；（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，找到第n個等式的左邊和右邊，然后計(jì)算即可；（3）利用（2）的結(jié)論得出，再裂項(xiàng)計(jì)算即可；【詳解】解：（1）∵①；②；③∴第⑤個式子是：（2）第n個等式為證明：左邊右邊（3）原式【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意正確總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2021·全國·八年級期中）閱讀下列材料，然后回答問題在進(jìn)行二次根式化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，我們可以將其分母有理化：；還可以用以下方法分母有理化：．(1)請用不同的方法分母有理化：；(2)化簡：．【答案】(1)，見解析(2)1【解析】【分析】（1）法一：原式；法二：，進(jìn)行求解即可；（2）：原式化簡求解即可．(1)解：法一：；法二：；(2)解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法運(yùn)算，平方差公式等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的將分式中的分母有理化．9．（2021·河北灤州·八年級階段練習(xí)）閡讀材料，回答問題：觀察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1．請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題：（1）猜想：＝＝；（2）歸納：根據(jù)你的觀察、猜想，寫出一個用n．（n為正整數(shù)）表示的等式：；（3）應(yīng)用：用上述規(guī)律計(jì)算．【答案】（1）；；（2）（或）（3）．【解析】【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；②直接利用已知條件規(guī)律用n（n為正整數(shù)）表示的等式即可；③利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將原式變形得出答案．【詳解】（1）=（2）（或）（3）【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．10．（2022·湖南懷化·八年級期末）閱讀并解答問題：……上面的計(jì)算過程叫做“分母有理化”，仿照上述計(jì)算過程，解答下列問題：(1)將的分母有理化；(2)已知，，求的值；(3)計(jì)算【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)所給“分母有理化”的規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)所給“分母有理化”的規(guī)律分別求出a和b的值，再相加即可．（3）根據(jù)所給“分母有理化”去分母，再進(jìn)行加減混合計(jì)算即可．(1)解：．(2)解：，，∴．(3)解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，利用平方差公式分母有理化，讀懂題干，掌握分母有理化的方法和規(guī)律，注意分母中被開方數(shù)差1與被開方數(shù)差2的不同結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·北京石景山·八年級期末）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填寫運(yùn)算結(jié)果）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：______．（3）證明你的猜想．（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律．①化簡：______；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為______．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以寫出例5；（2）根據(jù)（1）中特例，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）根據(jù)（2）中的猜想，對等號左邊的式子化簡，即可得到等號右邊的式子，從而可以解答本題；（4）①②根據(jù)（2）中的規(guī)律即可求解．【詳解】解：（1），故答案是：；（2），故答案是：；（3）證明：左邊，又右邊，左邊右邊，成立；（4）①，故答案是：；②，根據(jù)，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)已知等式總結(jié)一般規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解題．12．（2021·江西·吉安三中八年級期中）觀察與計(jì)算：6；2；；．象上面各式左邊兩因式均為無理數(shù)，右邊結(jié)果為有理數(shù)，我們把符合上述等式的左邊兩個因式稱為互為有理化因式．當(dāng)有些分母為帶根號的無理數(shù)時，我們可以分子、分母同乘分母的有理化因式進(jìn)行化簡．例如：；；【應(yīng)用】（1）化簡：①；②．（2）化簡：【答案】（1）觀察與計(jì)算：－7；18；應(yīng)用：（1）①；；（2）【解析】【分析】觀察與計(jì)算：根據(jù)二次根式的乘法和平方差公式求解即可；應(yīng)用：（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；（2）先對原式每一項(xiàng)進(jìn)行分母有理化即可得到，由此求解即可．【詳解】解：觀察與計(jì)算：，，故答案為：-7，18；應(yīng)用：（1）①；②；（2）原式＝＝＝＝＝=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，平方差公式和分母有理化，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確理解題意進(jìn)行求解．13．（2021·廣東·道明外國語學(xué)校八年級期中）觀察下列等式：①②③······回答下列問題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：．（2）．（n為正整數(shù)）（3）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差公式分母有理化即可；（2）根據(jù)平方差公式分母有理化即可；（3）對每一個式子分母有理化，再進(jìn)行合并計(jì)算即可；【詳解】（1）；故答案是：；（2）；故答案是：；（3），，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南岳陽·八年級期末）王老師讓同學(xué)們根據(jù)二次根式的相關(guān)內(nèi)容編寫一道題，以下是王老師選出的兩道題和她自己編寫的一道題．先閱讀，再回答問題．（1）小青編的題，觀察下列等式：直接寫出以下算式的結(jié)果：______；（n為正整數(shù)）＝______；（2）小明編的題，由二次根式的乘法可知：，，再根據(jù)平方根的定義可得，，直接寫出以下算式的結(jié)果：______，______，______：（3）王老師編的題，根據(jù)你的