統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題三立體幾何第3講空間向量與立體幾何課件理

第3講空間向量與立體幾何考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直——建系，找點(diǎn)，寫向量；平行，垂直，找關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分別為u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)l∥m?a∥b?a＝kb?a1＝______，b1＝______，c1＝______；(2)l⊥m?a⊥b?a·b＝______?a1a2＋b1b2＋c1c2＝______；(3)l∥α?a⊥u?a·u＝______?a1a3＋b1b3＋c1c3＝______；(4)l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝______，b1＝______，c1＝_____；(5)α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝______，b3＝______，c3＝______；(6)α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝______．ka2kb2kc20000ka3kb3kc3ka4kb4kc40例1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn).求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.

歸納總結(jié)利用空間向量證明平行與垂直的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面中的要素；(3)通過空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)，運(yùn)用向量方法證明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.

考點(diǎn)二向量法求空間角

例2[2023·全國甲卷（理）]如圖，在三棱柱ABC--A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.（1）證明：A1C＝AC；（2）已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

歸納總結(jié)1．利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角．即線面角的正弦值等于斜線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值．2．利用向量法求二面角的方法(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大??；(2)通過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．提醒

求空間角注意：①兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cosα＝|cosβ|.②兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角．③直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化．考點(diǎn)三用向量法解決探索性問題考點(diǎn)三用向量法解決探索性問題——問題坐標(biāo)化，探求方程解與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．例3[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]如圖，在正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P--A2C2--D2為150°時(shí)，求B2P.歸納總結(jié)利用空間向量巧解探索性問題(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．

[高考5個(gè)大題]解題研訣竅(三)立體幾何問題重在“建”——建模、建系[思維流程——找突破口][技法指導(dǎo)——遷移搭橋]立體幾何解答題建模、建系策略立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、建系．建模——將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型．建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．

[快審題]求什么想什么證明線面垂直，想線面垂直成立的條件．求線面角的正弦值，想平面的法向量及