新疆和田地區(qū)和田縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年新疆和田地區(qū)和田縣高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合，y∈R，，則A*B為（）A．{x|0＜x≤4} B．{x|0≤x≤1或x＞4} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}2．（5分）若z（2+2i）＝6+2i，則z的虛部為（）A． B．﹣1 C．2 D．13．（5分）在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角為A，B，C滿足sinA：sinB：sinC＝6：5：4（）A． B． C． D．4．（5分）在△ABC中，AD⊥BC，＝3，，則＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知y＝f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)（x）的圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2） C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）7．（5分）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足，過點(diǎn)P的直線l與圓C：x2+y2＝16相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值是（）A．2 B． C．4 D．28．（5分）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個(gè)班（）A．18 B．24 C．30 D．369．（5分）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）A． B． C． D．10．（5分）將函數(shù)y＝sin（4x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，則φ的值不可能是（）A．﹣ B． C． D．11．（5分）雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左，右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在該雙曲線的右支上且到直線x＝﹣，若|PF1|+|PF2|＝8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)12．（5分）已知定義在（0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)y＝f（x）滿足：xf′（x）（x）＝xex且f（1）＝﹣3，f（2）＝0．則函數(shù)y＝f（x）（）A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值 C．既有極小值又有極大值 D．既無極小值又無極大值二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）設(shè)a∈R，則命題p：a≤1，命題q：a2≤1，則p是q的條件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）14．（5分）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）15．（5分）已知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則．16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AP＝AB＝AC＝1，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．三、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝λan+1﹣1，n∈N*，λ≠0．（1）求實(shí)數(shù)λ的值及通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，并證明：Tn≤n?Sn．18．（12分）某中學(xué)高三（1）班共有50名學(xué)生，他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間在180到330分鐘之間，得其頻率分布如下表所示：組序分組頻數(shù)頻率第一組[180，210）50.1第二組[210，240）100.2第三組[240，270）120.24第四組[270，300）ab第五組[300，330）6c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某課題小組為了研究自主學(xué)習(xí)時(shí)間與成績(jī)的相關(guān)性，需用分層抽樣方法，從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名作統(tǒng)計(jì)分析（3）已知第一組學(xué)生中有3名男生和2名女生，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．19．（12分）如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，BC＝3．（1）證明：BC∥平面PAD；（2）求點(diǎn)C到平面PAD的距離．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x．（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程為y＝g（x），求證：f（x）≤g（x）；（2）若函數(shù)h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．21．（12分）曲線（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在曲線Γ上，且PF1⊥QF1．（1）求曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試通過計(jì)算判斷直線PQ與曲線Γ公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3）若點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在都以線段F1F2為直徑的圓上，且，試求x2的取值范圍．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.注意所做題目的題號(hào)必須與所涂題目的題號(hào)一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x2+y2＝1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：．（1）寫出曲線C2的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線C2上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最?。甗選修4-5：不等式選講]23．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）＝x|x+m|．（1）解不等式f（x）≥x；（2）對(duì)任意x1，x2∈[1，1+a]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2022-2023學(xué)年新疆和田地區(qū)和田縣高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合，y∈R，，則A*B為（）A．{x|0＜x≤4} B．{x|0≤x≤1或x＞4} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)先分別求出集合A和集合B，然后根據(jù)A*B表示陰影部分的集合得到A*B＝{x|x∈A或x∈B且x?A∩B}，最后根據(jù)新定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：A＝{x|y＝}＝[7，B＝{y|y＝3x，x＞0}＝（5，+∞），根據(jù)A*B表示陰影部分的集合可知A*B＝{x|x∈A或x∈B且x?A∩B}，∴A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，同時(shí)考查了識(shí)圖能力以及轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若z（2+2i）＝6+2i，則z的虛部為（）A． B．﹣1 C．2 D．1【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z，再根據(jù)虛部的定義即可得出．【解答】解：∵z（2+2i）＝2+2i，∴z＝＝＝＝2﹣i，故z的虛部為﹣8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角為A，B，C滿足sinA：sinB：sinC＝6：5：4（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理即可直接求解．【解答】解：由正弦定理可得，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝6：5：2，故可設(shè)a＝6x，b＝5x，由余弦定理可得，cosB＝＝＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．4．（5分）在△ABC中，AD⊥BC，＝3，，則＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如圖所示，由AD⊥BC，可得?cos＝．再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，∵AD⊥BC，∴?cos＝．則＝?cos＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其投影，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（0，由z＝2x+y，得y＝﹣4x+z，當(dāng)直線y＝﹣2x+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．6．（5分）已知y＝f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)（x）的圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2） C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（﹣2）＝f（2），由函數(shù)的圖象分析函數(shù)的單調(diào)性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，y＝f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，又由函數(shù)圖象可得：f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，則有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足，過點(diǎn)P的直線l與圓C：x2+y2＝16相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值是（）A．2 B． C．4 D．2【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，畫出以原點(diǎn)為圓心，半徑是4的圓，利用數(shù)形結(jié)合即可得到在哪一個(gè)點(diǎn)的直線與圓相交的弦最短．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖由圖象可知，當(dāng)P點(diǎn)在直線x＝1與x+y＝4的交點(diǎn)時(shí)，作出直線與圓相交的弦短．P的坐標(biāo)為（6，3），根據(jù)公式|AB|＝2，可得：|AB|＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，通過數(shù)形結(jié)合觀察出通過哪一個(gè)點(diǎn)的弦最短是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到一個(gè)班（）A．18 B．24 C．30 D．36【分析】由題意知本題可以先做出所有情況再減去不合題意的結(jié)果，用間接法解四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是C42，順序有A33種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有A33種，兩個(gè)相減得到結(jié)果．【解答】解：∵每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲用間接法解四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是C42，元素還有一個(gè)排列，有A73種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有A34種，∴滿足條件的種數(shù)是C42A43﹣A32＝30故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查利用排列組合解決實(shí)際問題，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目是排列組合中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)問題．9．（5分）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知中的三視圖，結(jié)合三視圖中有兩個(gè)三角形即為錐體，有兩個(gè)矩形即為柱體，有兩個(gè)梯形即為臺(tái)體，將幾何體分解為簡(jiǎn)單的幾何體分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三視圖的上部分有兩個(gè)矩形，一個(gè)三角形故該幾何體上部分是一個(gè)三棱柱下部分是三個(gè)矩形故該幾何體下部分是一個(gè)四棱柱故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖還原實(shí)物圖，考查學(xué)生的識(shí)圖能力，比較基礎(chǔ)．10．（5分）將函數(shù)y＝sin（4x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，則φ的值不可能是（）A．﹣ B． C． D．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得φ＝kπ+，k∈z，由此可得結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y＝sin（4x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位）+φ]＝﹣sin（4x+φ），再根據(jù)所得函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝，則4×，k∈z，故φ≠，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左，右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在該雙曲線的右支上且到直線x＝﹣，若|PF1|+|PF2|＝8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線互相垂直得到雙曲線為等軸雙曲線，結(jié)合雙曲線的定義求出|PF2|＝4﹣a，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵雙曲線C：＝1（a＞2，∴雙曲線為等軸雙曲線，則a＝ba，則|PF1|﹣|PF8|＝2a，又|PF1|+|PF3|＝8，得|PF2|＝2﹣a≥c﹣a，即0＜c≤4，則，得a≤2，設(shè)P（x，y），∵P點(diǎn)在該雙曲線的右支上且到直線x＝﹣a的距離為3，∴x+a＝5﹣a，代入﹣2＝x2﹣a2＝（8﹣a）2﹣a2，由|PF6|＝4﹣a得|PF2|2＝（4﹣a）2，即（x﹣c）7+y2＝（4﹣a）6，即（3﹣a﹣8+＝（3﹣a）2﹣a2＝（4﹣a）2，整理得3a2﹣16a+20＝0得a＝4或a＝（舍），則雙曲線的方程為，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式以及雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．12．（5分）已知定義在（0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)y＝f（x）滿足：xf′（x）（x）＝xex且f（1）＝﹣3，f（2）＝0．則函數(shù)y＝f（x）（）A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值 C．既有極小值又有極大值 D．既無極小值又無極大值【分析】由題意可得在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而可得f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而解得．【解答】解：∵＝＝＞0，∴在（8，∵xf′（x）﹣f（x）＝xex，∴f′（x）＝+ex，∵y＝ex在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又∵f′（1）＝﹣6+e＜0，f′（2）＝0+e6＞0，故f′（x）在（0，+∞）上先負(fù)值；故函數(shù)y＝f（x）有極小值，無極大值，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)．二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）設(shè)a∈R，則命題p：a≤1，命題q：a2≤1，則p是q的必要不充分條件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【分析】命題q：a2≤1，可化為：﹣1≤a≤1，可得由q?p，反之不成立．即可判斷出關(guān)系．【解答】解：依題意，若p成立，即a≤1成立2≤4成立，故充分性不成立；命題q：a2≤1，可化為：﹣5≤a≤1，所以q?p，故必要性成立，所以p是q的必要不充分條件，故答案為：必要不充分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、充分條件和必要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為252．（用數(shù)字作答）【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：＝，展開式的通項(xiàng)公式為10﹣r?x﹣r＝，令10﹣2r＝0，解得r＝5，故常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：252．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（﹣2﹣x，1﹣y）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：設(shè)A的坐標(biāo)為（m，n），，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，則，即，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，故的坐標(biāo)為（﹣7﹣x．故答案為：（﹣2﹣x，1﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AP＝AB＝AC＝1，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．【分析】設(shè)△ABP，△ABC的外接圓圓心分別為O1，O2，結(jié)合平面幾何知識(shí)及二面角的定義有，，．設(shè)球心為O，則OO1⊥O1H，OO2⊥O2H，通過解直角三角形，求出球心O到平面PAB的距離OO1，再利用截面的性質(zhì)求出球的半徑．【解答】解：易知△ABP是以PB為斜邊的等腰直角三角形，△ABC為等腰三角形，，設(shè)△ABP，△ABC的外接圓圓心分別為O5，O2，所以O(shè)1為PB中點(diǎn)，△O8AB為等邊三角形．設(shè)AB中點(diǎn)為H，連接O1H，O2H，所以O(shè)4H⊥AB，O2H⊥AB則，，，設(shè)球心為O，則OO1⊥O1H，OO4⊥O2H，設(shè)∠OHO1＝θ，則，所以，解得，設(shè)外接球半徑為r．則，所以表面積．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角，三棱錐的外接球，屬于中檔題．三、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝λan+1﹣1，n∈N*，λ≠0．（1）求實(shí)數(shù)λ的值及通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，并證明：Tn≤n?Sn．【分析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝（λan+1﹣1）﹣（λan﹣1），得．又由2S1＝λa2﹣1及S1＝a1＝1得，根據(jù){an}為等比數(shù)列，故有，解得λ，即可得出．（2），利用錯(cuò)位相減法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝5Sn﹣2Sn﹣1＝（λan+8﹣1）﹣（λan﹣1），得．（2分）又由5S1＝λa2﹣8及S1＝a1＝8得……………（8分）因{an}為等比數(shù)列，故有；此時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．………………（2分）（2）………………（8分）Tn＝1+2×5+3×32+……+n?3n﹣1，8Tn＝1×34+2×33+…+（n﹣1）×3n﹣6+n×3n，相減得：＝所以，又…………（10分）故令，則，故f（n）單調(diào)遞減，又f（1）＝0，所以f（n）≤3恒成立n≤nSn．…………（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（12分）某中學(xué)高三（1）班共有50名學(xué)生，他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間在180到330分鐘之間，得其頻率分布如下表所示：組序分組頻數(shù)頻率第一組[180，210）50.1第二組[210，240）100.2第三組[240，270）120.24第四組[270，300）ab第五組[300，330）6c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某課題小組為了研究自主學(xué)習(xí)時(shí)間與成績(jī)的相關(guān)性，需用分層抽樣方法，從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名作統(tǒng)計(jì)分析（3）已知第一組學(xué)生中有3名男生和2名女生，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）由5+10+12+a+6＝50得a＝17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根據(jù)抽取比例求在第二組學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）計(jì)算從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的取法種數(shù)和恰好抽到1名男生和1名女生的取法種數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）由5+10+12+a+6＝50得a＝17，b＝，34＝0.12；（2）∵分層抽樣的抽取比例為，∴在第二組學(xué)生中應(yīng)抽取10×；（3）從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取8人共有＝10種取法，恰好抽到7名男生和1名女生的取法有＝6種，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂頻率分布表．19．（12分）如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，BC＝3．（1）證明：BC∥平面PAD；（2）求點(diǎn)C到平面PAD的距離．【分析】（1）由四邊形ABCD是長(zhǎng)方形可證BC∥AD，進(jìn)而可證BC∥平面PAD；（2）先證明AD⊥平面PDC，再取CD的中點(diǎn)E，連接AE和PE，先證PE⊥平面ABCD，再設(shè)點(diǎn)C到平面PAD的距離為h，利用V三棱錐C﹣PDA＝V三棱錐P﹣ACD可得h的值，進(jìn)而可得點(diǎn)C到平面PAD的距離．【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC∥AD，因?yàn)锽C?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD；（2）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC⊥CD，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以BC⊥平面PDC，因?yàn)锽C∥AD，所以AD⊥平面PDC，因?yàn)镻D?平面PDC，所以AD⊥PD，如圖，CD的中點(diǎn)E，因?yàn)镻D＝PC＝4，所以PE⊥CD，所以，在Rt△PED中，＝，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以PE⊥平面ABCD．設(shè)點(diǎn)C到平面PAD的距離為h，因?yàn)閂三棱錐C﹣PDA＝V三棱錐P﹣ACD，所以，即，所以點(diǎn)C到平面PAD的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定和點(diǎn)到平面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x．（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程為y＝g（x），求證：f（x）≤g（x）；（2）若函數(shù)h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．【分析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，得到f（x）的圖象在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程g（x），然后構(gòu)造函數(shù)s（x）＝g（x）﹣f（x），再證明s（x）≥0即可；（2）根據(jù)函數(shù)h（x）的最小值為2，可得a≤﹣1，然后構(gòu)造函數(shù)t（x）＝xe1﹣x+a，求出t（x）的范圍，再結(jié)合條件求出a的值．【解答】解：（1）證明：由f（x）＝lnx﹣x，得，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x4，f（x0））處的切線方程為，即，∴，設(shè)，則，當(dāng)x∈（0，x8）時(shí)，s'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，s（x）＞5，所以s（x）≥s（x0）＝0，即f（x）≤g（x）．（2）因?yàn)楹瘮?shù)h（x）的最小值為8，所以h（1）＝1﹣a≥2，從而有a≤﹣4，又，設(shè)t（x）＝xe4﹣x+a，則t′（x）＝（1﹣x）e1﹣x，當(dāng)x∈（6，1）時(shí)，t（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t（x）單調(diào)遞減，所以t（x）≤t（1）＝5+a≤0，故h（x）≥h（1）＝1﹣a＝6，解得a＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用綜合法證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．21．（12分）曲線（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在曲線Γ上，且PF1⊥QF1．（1）求曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試通過計(jì)算判斷直線PQ與曲線Γ公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3）若點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在都以線段F1F2為直徑的圓上，且，試求x2的取值范圍．【分析】（1）c＝1，b＝?a＝2可得；（2）由PF1⊥QF1得，由此得到Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的方程，再將直線PQ代入橢圓的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程的根判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）依題意得x1x2+y1y2＝x1+x2，可得y1y2＝x1+x2﹣x1x2，兩邊平方后消去后整理成關(guān)于x1的二次方程，由判別式大于等于0解關(guān)于x2的不等式可得．【解答】解：（1）∵曲線Γ的左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，8）、F2（1，6）．∴，c＝1，∴曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）將P（﹣）代入+，解得y0＝±，不妨取y0＝，則P（﹣，），設(shè)Q（﹣4，t）1⊥QF3，∴，又，QF1＝（7，﹣t），∴，∴，∴，∴直線PQ的方程為，由，得，∴，∴直線PQ與曲線Γ相切，只有一個(gè)交點(diǎn)；同理，當(dāng)時(shí)，直線PQ與曲線Γ相切．（3）方法一：依題意，得x8x2+y1y7＝x1+x2，可得y3y2＝x1+x8﹣x1x2，兩邊平方，得＝+++8x1x2＝5x5﹣2x1，∴（1﹣）（1﹣+++2x1x8﹣2x2﹣2x7，∴3﹣﹣+＝+++2x2x2﹣2x2﹣6x1，∴2+21x2﹣3x1﹣2x2﹣1＝5，2（1﹣x7）+3x1（x2﹣）+2，∴Δ＝[2x4（1﹣x2）]2﹣8（1﹣x7）（2﹣1）≥0，∴（8﹣x2）（﹣﹣3，∴（1﹣x2）（x5+1）（﹣﹣2x2+4）≥0，∵﹣1≤x2≤1，﹣1≤x6≤1，∴﹣2+2≥8，∴+2x2﹣2≤7，（x2+1）6≤3，∴﹣≤x8+1≤，∴﹣2≤﹣8，又x2≥﹣1，∴﹣6≤x2≤﹣8，∴x2的取