專(zhuān)題04 正方形的性質(zhì)和判定（三大類(lèi)型）（題型專(zhuān)練）（解析版）-A4

第頁(yè)專(zhuān)題04正方形的性質(zhì)和判定（三大類(lèi)型）【題型1正方形的概念和性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】【題型1正方形的概念和性質(zhì)】1．（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線互相平分且相等【答案】B【解答】解：A、對(duì)角線相等，菱形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線互相平分是平行四邊形具有的性質(zhì)，正方形、菱形、矩形都具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)符合題意；C、對(duì)角線互相垂直，矩形不具有此性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線互相平分且相等，菱形不具有對(duì)角線相等的性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2022秋?方城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形，則圖中陰影部分的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．25【答案】C【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝2，由勾股定理知，AB2＝AC2+BC2＝22+42＝20．故．故選：C．3．（2023秋?溫縣期中）如表，在由九個(gè)小正方形組成的大正方形中，每個(gè)小正方形上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)，且每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，則a﹣b+c的值為（）4a2﹣113b5cA．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5【答案】A【解答】解：∵每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，∴4+a+2＝﹣1+1+3＝b+5+c＝2+3+c，解得：a＝﹣3，b＝0，c＝﹣2，∴a﹣b+c＝﹣3﹣0+（﹣2）＝﹣5，故答案選：A．4．（2022秋?高碑店市期末）小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測(cè)得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝8cm，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中正方形對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．8cm B．16cm C．24cm D．8cm【答案】D【解答】解：如圖1，圖2中，連接AC．圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝8cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝8cm；故選：D．5．（2023春?巴彥縣期中）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠AED＝∠FBC中，正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵CE＝DF，∴DE＝AF，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF（故①正確）；∠AED＝∠FBC（故④正確）；∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠AFB+∠EAF＝90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正確）；假設(shè)AO＝OE，∵AE⊥BF，∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB＝BC相矛盾，∴假設(shè)不成立，AO≠OE（故③錯(cuò)誤）；∵AE⊥BF，在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，∴2AO2＝2BO×FO，∴AO2＝BO×FO，故④正確故選：C．6．（2020?紅橋區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD為正方形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B，C，D分別在坐標(biāo)軸上，則正方形的周長(zhǎng)是（）A．4 B．3 C．4 D．2【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中，∠DAO＝45°，∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴AD＝，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形的周長(zhǎng)為4，故選：C．7．（2023秋?平遙縣期中）在平面直角坐標(biāo)系中放置了一個(gè)面積為5的正方形，如圖所示，點(diǎn)B在y軸上，且坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，1） B．（3，1） C．（1，3） D．（1，2）【答案】B【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝∠OCB+∠DCE，∴∠OBC＝∠DCE，在△OBC與△ECD中，，∴△OBC≌△ECD（AAS），∴DE＝OC，CE＝OB，∵正方形ABCD的面積為5，∴BC＝，由題意得：BC2＝OB2+OC2，∴OC＝＝1，DE＝1，CE＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．故選：B．8．（2023春?倉(cāng)山區(qū)期中）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，CP．若△APB是等邊三角形，則∠BPC的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．75° D．90°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°，∵△PAB是等邊三角形，∴∠PBA＝60°，PB＝AB，∴∠CBP＝30°，PB＝BC，∴，故選：C．9．（2023春?淮陽(yáng)區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形DCE，則∠EAC＝（）A．15° B．28° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD中，∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，等邊三角形DCE中，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝150°，又∵AD＝CD＝DE，∴等腰三角形ADE中，∠DAE＝＝15°，∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°．故選：C．10．（2023?池州模擬）如圖所示，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G，若CG＝4，CF＝3，則AE的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解答】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形CFEG是矩形，∴EF＝GC＝4，∠EFC＝90°，∴CE＝＝＝5，∴AE＝CE＝5，故選：C．11．（2022秋?碑林區(qū)期末）如圖，分別以Rt△ACB的直角邊AB和斜邊AC為邊向外作正方形ABGF和正方形ACDE，連結(jié)EF．已知CB＝6，EF＝10，則△AEF的面積為（）A． B． C．24 D．12【答案】D【解答】解：如圖，連接CE，CF，BE，BF，設(shè)BE，CF交于點(diǎn)M，AC，BE交于點(diǎn)N，∵四邊形ACDE，ABGF是正方形，∴AC＝AE，AB＝AF，∠EAC＝∠FAB＝90°，∴∠EAC+∠CAB＝∠BAF+∠CAB，即∠EAB＝∠CAF，∴△ABE≌△AFC（SAS），∴∠ACF＝∠AEB，∵∠CNE＝∠CMN+∠ACF＝∠NAE+∠AEB，∴∠CMN＝∠NAE＝90°，即CF⊥BE，∴CM2+BM2＝CB2，EM2+FM2＝EF2，BM2+MF2＝BF2，CM2+EM2＝EC2，∴CM2+BM2+EM2+FM2＝CB2+EF2，∴BF2+CE2＝CB2+EF2＝62+102＝136，又∵，∴2AB2+2AC2＝136，又∵AC2﹣AB2＝BC2＝36，解得：AB2＝16，AC2＝52，∴，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥EF于點(diǎn)T，設(shè)ET＝x，∴AT2＝AE2﹣ET2＝AF2﹣（10﹣ET）2，即52﹣x2＝16﹣（10﹣x）2，解得：，∴，∴，故選：D．12．（2022秋?平頂山期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)．連接OE，作OF⊥OE交BC于點(diǎn)F，已知AB＝2，則四邊形EBFO的面積為（）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），∴S△BOE＝S△COF，∴S四邊形EBFO＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∴SS正方形ABCD＝1，∴四邊形EBFO的面積為1．故選：A．【題型2正方形的判定】13．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是（）A．AB＝AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分 C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC＝BD且AB＝AD【答案】D【解答】解：A、AB＝AD且AC⊥BD，是菱形，不符合題意；B、對(duì)角線互直垂直且互相平分，是菱形，不符合題意；C、∠BAD＝∠ABC且AC＝BD不能判斷四邊形ABCD是正方形，不符合題意；D、AC＝BD且AB＝AD四邊相等，是正方形，符合題意；故選：D．14．（2023春?汝陽(yáng)縣期末）用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，學(xué)具成為圖1所示菱形時(shí)，測(cè)得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝20cm，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm【答案】A【解答】解：如圖1，連接AC，∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝20cm，如圖2，連接AC，∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝90°，∴AC＝20cm，故選：A．15．（2023春?臨潁縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【答案】C【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；當(dāng)BC＝AC時(shí)，∵∠ACB＝90°，則∠A＝45°時(shí)，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；當(dāng)BD＝DF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B正確，但不符合題意；當(dāng)AC＝BF時(shí)，無(wú)法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D正確，但不符合題意．故選：C．16．（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，G、H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)、H得到的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴FG＝CD，F(xiàn)G∥CD．HE＝CD，HE∥CD．∴FG＝EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形．故選：A．17．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，要使該矩形成為正方形，則應(yīng)添加的條件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°【答案】A【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：A．18．（2023春?黃岡期中）如圖，在△ABC中，O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且∠ACB＝（）時(shí)，則四邊形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【解答】解：過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EH⊥BD，F(xiàn)G⊥BD，∵CE，CF為∠ACB，∠ACD的角平分線，∴∠ECF＝90°．∵M(jìn)N∥BC，∴∠FEC＝∠ECH，∵∠ECH＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO，∴OE＝OC．同理OC＝OF，∴OE＝OF，∵點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，∴四邊形AECF為一矩形，若∠ACB＝90°，則CE＝CF，∴四邊形AECF為正方形．故選：D．19．（2023?合陽(yáng)縣校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，能判定四邊形ABCD是正方形的是（）A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA【答案】C【解答】解：因?yàn)閷?duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．20．（2023?原平市模擬）小華在復(fù)習(xí)四邊形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，繪制了如圖所示的框架圖，④號(hào)箭頭處可以添加的條件是有一組鄰邊相等（答案不唯一）．（寫(xiě)出一種即可）【答案】有一組鄰邊相等（答案不唯一）．【解答】解：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故答案為：有一組鄰邊相等（答案不唯一）．【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合】21．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AC＝cm，小紅作了如下操作：分別以A，C為圓心，1cm的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)B，D，依次連接A，B，C，D，則四邊形ABCD的形狀是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】D【解答】解：四邊形ABCD為正方形，理由如下：由題意得，AB＝AD＝CB＝CD＝1cm，∴四邊形ABCD是菱形，∵AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°∴四邊形ABCD是正方形，故選：D．22．（2023春?岱岳區(qū)期末）小明在學(xué)習(xí)了正方形以后，給同桌小文出了道題：從下列四個(gè)條件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形ABCD為正方形．現(xiàn)有下列四種選法你認(rèn)為錯(cuò)誤的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：A．∵四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③AC＝BD時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)③AC＝BD時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無(wú)法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④AC⊥BD時(shí)，矩形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．23．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．故選：D．24．（2022春?新泰市期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OM、ON分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于點(diǎn)G．給出下列結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的；④DF2+CE2＝EF2.其中正確的為①②③.（將正確的序號(hào)都填入）【答案】①②③．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正確；③由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①②③，故選：①②③．25．（2023?貴陽(yáng)模擬）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為F，G．（1）求證：四邊形BFEG是矩形；（2）若正方形ABCD的周長(zhǎng)是40cm，當(dāng)AF＝5cm時(shí)，求證：四邊形BFEG是正方形．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四邊形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周長(zhǎng)是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四邊形ABCD為正方形，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四邊形EFBG的周長(zhǎng)C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．∵AF＝5cm，AB＝10cm，∴EF＝BF＝5cm，∴四邊形BFEG是正方形．26．（2022秋?綏德縣期中）如圖所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若AF＝3，BE＝1，求矩形ABCD的面積．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）17．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四邊形ABCD是正方形，∴．27．（2023秋?威寧縣校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的長(zhǎng)；（3）當(dāng)∠ADE＝40°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2；（3）130°．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DCA＝∠BCA＝45°．∵EP⊥CD，EQ⊥BC，∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP．∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED．在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形．（2）解：如圖2，在Rt△ABC中，，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝2．（3）解：當(dāng)∠ADE＝40°時(shí)，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°．∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°．28．（2022春?富縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC（1）求證：四邊形AFDE為正方形；（2）若AD＝32，求四邊形AFDE的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）512．【解答】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四邊形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFDE是正方形．（2）解：∵四邊形AFDE是正方形，AD＝32，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝16．∴四邊形AFDE的面積為16×16＝512．29．（2022春?嶧城區(qū)期中）問(wèn)題解決：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH