專題02 勾股定理的逆定理（三大類型）（題型專練）（解析版）-A4

第頁專題02勾股定理的逆定理（三大類型）【題型1運用勾股定理的逆定理判段直角三角形】【題型2勾股數(shù)】【題型3勾股定理的逆定理的應用】【題型1運用勾股定理的逆定理判段直角三角形】1．（2023秋?雙流區(qū)期末）下列各組中的三條線段，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．8，15，16【答案】A【解答】解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；B、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、22+（）2≠22，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、82+152≠162，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意．故選：A．2．（2023秋?市北區(qū)期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，則由下列條件能判定△ABC為直角三角形的有（）（1）∠A+∠B＝∠C（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3（3）a2＝c2﹣b2（4）a：b：c＝1：2：3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形；（2）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝，∴△ABC為直角三角形；（3）∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形；（4）∵a：b：c＝1：2：3，∴設a＝k，b＝2k，c＝3k（其中k≠0），∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故選：C．3．（2022秋?拱墅區(qū)校級期末）△ABC三邊長為a、b、c，則下列條件能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝7，b＝8，c＝10 B． C．a(chǎn)＝12，b＝5，c＝13 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6【答案】C【解答】解：A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；B、∵（）2+22≠（）2，∴△ABC不是直角三角形；C、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形；D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；故選：C．4．（2023秋?昌黎縣期末）下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2： C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【答案】D【解答】解：A．設AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因為AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝25a2，AC2＝（5a）2＝25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A選項不符合題意；B．設AB＝a，BC＝2a，AC＝a，因為AB2+AC2＝a2+（a）2＝4a2，BC2＝（2a）2＝4a2，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B選項不符合題意；C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，故C選項不符合題意；D．因為∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以＝45°，＝60°，，所以△ABC不是直角三角形，故D選項符合題意．故選：D．5．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：選項A如圖：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本選項正確；選項B如圖：B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本選項錯誤；選項C如圖：C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本選項錯誤；選項D如圖：D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本選項錯誤．故選：A．【題型2勾股數(shù)】6．（2023秋?南明區(qū)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13【答案】A【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股數(shù)，符合題意；B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．7．（2023秋?新民市期末）下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5【答案】C【解答】解：A、22+42≠62，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；B、22+12≠32，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C、152+82＝172，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．D、0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．8．（2023秋?甘州區(qū)校級期末）下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13【答案】D【解答】解：A、62+72≠82，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤；B、52+82≠132，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤；C、1.52+22＝2.52，不是正整數(shù)，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤；D、52+122＝132，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確．故選：D．9．（2023秋?宿豫區(qū)期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的為（）A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．13，14，15【答案】C【解答】解：1.5，2，2.5不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項A不符合題意；B、，，不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項B不符合題意；C、32+42＝52，是勾股數(shù)，故選項C符合題意．D、132+142≠152，不是勾股數(shù)，故選項D不符合題意．故選：C．【題型3勾股定理的逆定理的應用】10．（2023秋?黎川縣校級期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，求下列問題：（1）試說明△ABC是直角三角形；（2）求點C到AB的距離．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】解：（1）由圖可知：BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，AB2＝42+32＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可知：，，，∴，∴點C到AB的距離是．11．（2023春?西寧期末）如圖，在△ABC中，D是BC上的一點，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．（1）求證：∠C＝90°；（2）求BD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝＝＝8，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．12．（2022秋?陳倉區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝，點D在AB上，且BD＝1，CD＝2．（1）求證：CD⊥AB；（2）求AC的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，∴BD2+CD2＝12+22＝（）2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵AB＝4，DB＝1，∴AD＝3，在Rt△ACD中，∵CD＝2，∴AC＝＝＝，∴AC的長為．13．（2023春?臺江區(qū)期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，A，B，C是小正方形的頂點．（1）求AB和BC；（2）求∠ABC的度數(shù)．【答案】（1），；（2）45°．【解答】解：（1）連接AC．根據(jù)勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，∴AB＝，BC＝；（2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．14．（2023春?武昌區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．（1）求證：△ACD是直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見解析部分；（2）+24．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形；（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝3，∴Rt△ABC的面積為?AB?BC＝×3×3＝，又∵Rt△ACD的面積為?AC?CD＝×8×6＝24，∴四邊形ABCD的面積為：+24．15．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，△ABC的頂點在格點上．（1）直接寫出AB＝，BC＝2，AC＝；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）直接寫出AC邊上的高＝．【答案】（1），2，；（2）△ABC為直角三角形，理由見解答；（3）．【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝．故答案為：，2，；（2）△ABC為直角三角形，理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC為直角三角形；（3）△ABC的面積＝AB?BC＝××2＝13，則AC邊上的高＝13×2÷＝．故答案為：．16．（2023秋?淮安區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，計算四邊形ABCD的面積．【答案】36．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，在△BCD中，BD2+BC2＝25+144＝169＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S四邊形ABCD＝AB?AD+BD?BC＝×3×4+×5×12＝36．答：四邊形ABCD的面積是36．17．（2023秋?嶗山區(qū)校級期末）如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．（1）求BC的長；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）2；（2）4﹣4．【解答】解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，∴BC＝＝＝2，（2）∵AB＝6，AC＝4，∴AC2+BC2＝42+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴S陰影＝S△ACB﹣S△BDC＝×4×2﹣×4×2＝4﹣4．故圖中陰影部分的面積為4﹣4．18．（2023春?懷化期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝8，AC＝6，DC＝．（1）求AD，BD的長；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1），；（2）△ABC是直角三角形，理由見解答．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AD＝＝＝，在Rt△ADB中，BD＝＝＝；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：由（1）知，∴BD+CD＝+＝10，∵AB2+AC2＝82+62＝100＝102，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．19．（2023春?津南區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．（1）求AC的長；（2）判斷△ABC的形狀并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，∴BD＝，AD＝，∴AC＝AD+BC＝16+9＝25；（2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，∴△ABC是直角三角形．20．（2023春?平輿縣期末）已知平面直角坐標系內(nèi)有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）若|P1P2|表示這兩點間的距離，求證：|P1P2|＝．（2）試判斷點A（4，﹣4），B（﹣1，5），C（2，1）是否構(gòu)成直角三角形．【答案】（1）見解析過程；（2）不能構(gòu)成直角三角形．【解答】（1）證明：如圖所示，構(gòu)造直角三角形P1P2Q，則P1Q＝|y1﹣y2|，P2Q＝|x1﹣x2|，由勾股定理可得：P1P2＝＝．（2）解：由（1）可得：|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，∴BC2+AC2≠AB2，∴它們不能構(gòu)成直角三角形．21．（2022秋?渭濱區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，∵AB＝4，BC＝3，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝＝5，又∵AD＝13，CD＝12，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，∴∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×12×5＝36，答：四邊形ABCD的面積36．22．（2023春?魏縣期末）如圖，網(wǎng)格由小正方形拼成，每個小正方形的邊長都為1．四邊形ABCD的四個點都在格點上．（1）求四邊形ABCD的面積和周長；（2）∠BAD是直角嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．【答案】（1）四邊形ABCD的面積為10.5，周長為；（2）是，證明見解析．【解答】（1）解：四邊形ABCD的面積＝＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2＝10.5；∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，∴，，，，∴四邊形ABCD的周長＝，∴四邊形ABCD的面積為10.5，周長為；（2）解：連接BD，如圖，由題意得：BD2＝42+32＝25，∵AD2+AB2＝5+20＝25，∴BD2＝AD2+AB2，∴△BAD是直角三角形，∴∠BAD是直角．23．（2023春?康縣期末）一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠ADC應為直角，工人師傅測得∠BAC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13．請你幫他看一下，這個零件符合要求嗎？為什么．【答案】這個零件符合要求，理由見解析．【解答】解：這個零件符合要求，理由如下：連接AC．∵∠BAC＝90°，AB＝12，BC＝13，∴AC＝＝＝5，∵AD＝3，CD＝4，32+42＝52，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，故這個零件符合要求．24．（2023春?撫寧區(qū)期末）如圖，每個小正方形的邊長為1．（1）求四邊形ABCD的周長；（2）求證：∠BCD＝90°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：由題意可知AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四邊形ABCD的周長為8+2．（2）證明：連接BD．∵BC＝，CD＝，BD＝，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°．25．（2023春?惠州校級期中）如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口小時后相距30海里．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“遠航號”沿東北方向航行可知，∠QPS＝45°，則∠SPR＝45°，即“海天”號沿西北方向航行．26．（2023春?京山市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．（1）求△BCD的面積；（2）求BD的長．【答案】（1）8；（2）．【解答】解：（1）作DM⊥BC，交BC延長線于M，如圖所示：則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD（AAS），∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴△BCD的面積＝，（2）∵CM＝3，BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝．27．（2023春?乾安縣期中）在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路CD，測得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．求證：CD⊥AB．【答案】見解答．【解答】證明：由題知BD＝2.5，CD＝6，BC＝6.5，在三角形BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴三角形BCD是直角三角形，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．28．（2023春?市中區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一動點E自A向B以2cm/s的速度運動，動點F自B向C以4cm/s的速度運動，若E，F(xiàn)同時分別從A，B出發(fā)．（1）試問出發(fā)幾秒后，△BEF為等邊三角形？（2）試問出發(fā)幾秒后，△BEF為直角三角形？【答案】（1）5秒；（2）3或7.5秒．【解答】解：（1）出發(fā)x秒后，△BEF為等邊三角形，則AE＝2xcm、BF＝4xcm，∴BE＝（30﹣2x）cm，∵∠B＝60°，∴當BE＝BF時，△BEF為等邊三角形，∴30﹣2x＝4x，解得x＝5，即出發(fā)5秒后，△BEF為等邊三角形；（2）設經(jīng)過t秒，△BEF是直角三角形，①當∠BEF＝90°時，∵∠B＝60°，∴∠BFE＝30°，∴BE＝BF，即30﹣2t＝×4t，解得：t＝7.5；②當∠BFE＝90°時，