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2024屆遼寧省營口市重點中學(xué)下學(xué)期高三期中數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.2.在中,角所對的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.3.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.4.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標(biāo)原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.6.如圖,在直三棱柱中,,,點分別是線段的中點,,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.8.若函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù),則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.10.若函數(shù)的圖象過點,則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.11.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.12.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正實數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x214.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實數(shù)的值是_______.15.已知橢圓的下頂點為,若直線與橢圓交于不同的兩點、,則當(dāng)_____時,外心的橫坐標(biāo)最大.16.在棱長為6的正方體中,是的中點,點是面,所在平面內(nèi)的動點,且滿足,則三棱錐的體積的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點,且此時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列和,前項和為,且,是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.20.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大??;(2)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的方程為.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程,并求出直線l與曲線C的交點M,N的極坐標(biāo);(2)設(shè)P是橢圓上的動點,求面積的最大值.22.(10分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛,一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智,把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的經(jīng)濟效益.根據(jù)資料顯示,產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x(單位:十箱)與成本y(單位:千元)的關(guān)系如下:x13412y51.522.58y與x可用回歸方程(其中,為常數(shù))進(jìn)行模擬.(Ⅰ)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價格為150元/箱,試預(yù)測該新奇水果100箱的利潤是多少元.|.(Ⅱ)據(jù)統(tǒng)計,10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.(i)若從箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)中隨機抽取2天,估計恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率;(ⅱ)求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.(每組用該組區(qū)間的中點值作代表)參考數(shù)據(jù)與公式:設(shè),則0.541.81.530.45線性回歸直線中,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.3、B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積,再計算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.5、C【解析】
對任意的總有恒成立,因為,對恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時,當(dāng),當(dāng)時,故選:C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.6、D【解析】
過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因為,,所以,即過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.7、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.8、D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個公共點,可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在上,即曲線與有兩個公共點,即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,故時取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以滿足條件.故選:D【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.9、C【解析】
先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識,難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時,可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.10、B【解析】
把已知點坐標(biāo)代入求出,然后驗證各選項.【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個選項都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時,,即是對稱軸.故選:B.【點睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進(jìn)行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】
分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個整體,之后應(yīng)用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題,解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.14、1【解析】
把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).15、【解析】
由已知可得、的坐標(biāo),求得的垂直平分線方程,聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程,求得的垂直平分線方程,兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo),再由導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】如圖,由已知條件可知,不妨設(shè),則外心在的垂直平分線上,即在直線,也就是在直線上,聯(lián)立,得或,的中點坐標(biāo)為,則的垂直平分線方程為,把代入上式,得,令,則,由,得(舍)或.當(dāng)時,,當(dāng)時,.當(dāng)時,函數(shù)取極大值,亦為最大值.故答案為:.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,是中等題.16、【解析】
根據(jù)與相似,,過作于,利用體積公式求解OP最值,根據(jù)勾股定理得出,,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中,是的中點,點是面所在平面內(nèi)的動點,且滿足,又,∴與相似∴,即,過作于,設(shè),,∴,化簡得:,,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷,時,取得最大值36,,在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似,幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,難度一般.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值,再解不等式得解.【詳解】(1),當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知:當(dāng)時,,∴成立.當(dāng)時,,,∴.當(dāng)時,,,∴,即.綜上.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2).【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;時,令得,時,,遞減,時,,遞增,綜上所述,時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點,則或.當(dāng)時,,,從而只需時,恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時,,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.19、(1),;(2).【解析】
(1)令求出的值,然后由,得出,然后檢驗是否符合在時的表達(dá)式,即可得出數(shù)列的通項公式,并設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出和的方程組,解出這兩個量,然后利用等比數(shù)列的通項公式可求出;(2)求出數(shù)列的前項和,然后利用分組求和法可求出.【詳解】(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,.也適合上式,所以,.設(shè)數(shù)列的公比為,則,由,兩式相除得,,解得,,;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,則,.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了等比數(shù)列通項的計算,以及分組求和法的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點,分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標(biāo),求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??;
(2)設(shè)棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標(biāo),然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點的坐標(biāo).試題解析:解(1)如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點,設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點,其坐標(biāo)為.點睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將
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