2024屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市高三下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2024屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市高三下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.2.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.6.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1207.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.8.一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤(pán)中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1479.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸10.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.12.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,,則______________.14.命題“”的否定是______.15.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.16.已知復(fù)數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.19.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.20.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,且?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè),通過(guò),再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),利用向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),用基底向量向量來(lái)表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來(lái)解決問(wèn)題.3、D【解析】

根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.4、C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.5、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對(duì)稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.6、B【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.7、D【解析】

根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,8、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題;2.圓臺(tái)的體積.10、D【解析】

由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直的應(yīng)用,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由題意畫(huà)出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.12、A【解析】

求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出,再根據(jù)計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以又所以所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、,【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

計(jì)算出,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析,需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對(duì)任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對(duì)任意,恒成立,然后通過(guò)求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得;令,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)由題意知.,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.不妨設(shè),又函數(shù)單調(diào)遞減,所以原問(wèn)題等價(jià)于:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,即對(duì)任意,恒成立.記,由題意得在上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意,恒成立.令,,則在上恒成立.故,而在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為.由,解得.故實(shí)數(shù)的最小值為.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

證明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié),在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.19、(1)(2)32【解析】

利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡(jiǎn)可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,即,,時(shí),等號(hào)成立,∴的最大值為32.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解法和三個(gè)正數(shù)的基本不等式的靈活運(yùn)用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯(cuò)點(diǎn);屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,可知;令則,結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時(shí)的解析式,進(jìn)而得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)零點(diǎn)定義,可得,由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個(gè)交點(diǎn),因而需在第一象限有2個(gè)交點(diǎn),將與聯(lián)立,由判別式及兩根之和大于0,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),且,故;當(dāng)時(shí),,,則;故.(2)令,解得,畫(huà)出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,要使曲線與直線有3個(gè)交點(diǎn),則2個(gè)交點(diǎn)在第一象限,1個(gè)交點(diǎn)在第三象限,聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,令,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,分段函數(shù)圖像畫(huà)法,由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)多2350人;(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

(1)根據(jù)題意,知100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較

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