2024屆青海西寧二十一中高三4月調(diào)研測(cè)試(二診)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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2024屆青海西寧二十一中高三4月調(diào)研測(cè)試(二診)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i3.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.5.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.7.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立8.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.9.設(shè),則A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.11.已知集合,,若,則()A. B. C. D.12.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.14.已知圓,直線與圓交于兩點(diǎn),,若,則弦的長(zhǎng)度的最大值為___________.15.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.16.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線的切線方程為,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.19.(12分)在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí),求三棱錐的體積.20.(12分)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),若,在線段上取點(diǎn),使,求證:點(diǎn)在定直線上.21.(12分)如圖,底面是等腰梯形,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.22.(10分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

陽數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛枖?shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.2、D【解析】

兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為3、D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對(duì)角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.4、A【解析】

根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計(jì)算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.6、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.7、C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯(cuò).B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯(cuò).B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯(cuò).C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯(cuò).故選:C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò),造成不必要的失分.10、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.11、A【解析】

由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

取的中點(diǎn)為M,由可得,可得M在上,當(dāng)最小時(shí),弦的長(zhǎng)才最大.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn),,即,即,,.設(shè),則,得.所以,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想,是一道有一定難度的題.15、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,即,又?所以,即,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.16、2【解析】

根據(jù)為焦點(diǎn),得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點(diǎn)在雙曲線上,則又本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】

(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值,進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn),即可代入求得的值;(2)將解析式代入,結(jié)合零點(diǎn)定義化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn);求得并令求得極值點(diǎn),列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】(1)依題意,,,設(shè)切點(diǎn)為,,故,故,則;令,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,由于,故有唯一實(shí)數(shù)根0,即,則;(2)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線在有兩個(gè)交點(diǎn)”;由于.由,解得,.當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下表所示:30+0極小值極大值所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,,,,故?dāng)或時(shí),直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn),即當(dāng)或時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,由切線方程求參數(shù)值,構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用,屬于難題.18、(1);(2).【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí);(2)由等價(jià)于,解之得.試題解析:(1)當(dāng)時(shí),.解不等式,得.因此,的解集為.(2)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),等價(jià)于.①當(dāng)時(shí),①等價(jià)于,無解.當(dāng)時(shí),①等價(jià)于,解得.所以的取值范圍是.考點(diǎn):不等式選講.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)連接與交于,連接,證明即可得證線面平行;(2)首先證明平面(只要取中點(diǎn),可證平面,從而得,同理得),因此點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,由平面幾何知識(shí)易得最大值,然后可計(jì)算體積.【詳解】(1)證明:連接與交于,連接,因?yàn)槭橇庑?,所以為的中點(diǎn),又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面.?)解:取中點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅问橇庑?,,且,所以,又,所以平面,又平面,所以.同理可證:,又,所以平面,所以平面平面,又平面平面,所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,過作直線的垂線段,在所有垂線段中長(zhǎng)度最大為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),故點(diǎn)到平面的最大距離為1,此時(shí),為的中點(diǎn),即,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,考查求棱錐的體積,掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.20、(1);(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組,解出、的值,進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、、,設(shè)直線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,并列出韋達(dá)定理,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,并代入韋達(dá)定理,消去,可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,解得,.所以橢圓的方程是;(2)設(shè)直線的方程為,、、,由,得.,則有,,由,得,由,可得,,,綜上,點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線上的證明,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中等題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;(2)記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以,因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形,因?yàn)?所以平行四邊形是菱形,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.(2)記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形,且,所以,則,設(shè)平面ABF的法向量為,則,不妨取,則,設(shè)平面DBF的法向量為,則,不妨取,則,故.記二面角的大小為,故.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的證明,考查了二面角的求法,利用空間向量求平

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