專題04立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(3)(原卷版+解析)

專題04立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(3)【方法總結(jié)】平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，翻折前后位于同一個半平面內(nèi)的直線間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系不變，翻折前后分別位于兩個半平面內(nèi)(非交線)的直線位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系一般發(fā)生變化，解翻折問題的關(guān)鍵是辨析清楚“不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系”“變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系”．(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形．【例題選講】[例1](1)如圖是一個正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案①②③④解析由題意畫出該正方體的圖形如圖所示，連接BE，BN，顯然①②正確；對于③，連接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN與BM成60°角，所以③正確；對于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正確．(2)已知四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3．沿AC將△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F(xiàn)是AD′的中點，E是AC上一點，給出下列結(jié)論：①存在點E，使得EF∥平面BCD′；②存在點E，使得EF⊥平面ABC；③存在點E，使得D′E⊥平面ABC；④存在點E，使得AC⊥平面BD′E．其中正確的結(jié)論是________(寫出所有正確結(jié)論的序號)．答案①②③解析對于①，存在AC的中點E，使得EF∥CD′，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；對于②，過點F作EF⊥AC，垂足為E，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得EF⊥平面ABC；對于③，過點D′作D′E⊥AC，垂足為E，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得D′E⊥平面ABC；對于④，因為ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一點，所以不存在點E，使得AC⊥平面BD′E．(3)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心答案A解析由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A．(4)(多選)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝2eq\r(3)．則()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P－DC－B的大小為45°D．PC與平面PED所成角的正切值為eq\r(2)答案AC解析A項，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD?平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，正確；B項，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，則ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝45°，顯然矛盾，故錯誤；C項，二面角P－DC－B的平面角為∠PDE，又∠PDE＝∠ADE＝45°，故正確；D項，由上面分析可知，∠CPD為直線PC與平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故錯誤．故選AC．(5)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE．若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下列四個命題中不正確的是________．(填序號)①BM是定值；②點M在某個球面上運動；③存在某個位置，使DE⊥A1C；④存在某個位置，使MB∥平面A1DE．答案③解析取DC的中點F，連接MF，BF，則MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE．由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為球心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；若存在某個位置，使DE⊥A1C，則因為DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因為A1C∩CE＝C，則DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，與DA1⊥A1E矛盾，故③不正確．(6)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：①四面體E－BCD的體積有最大值和最小值；②存在某個位置，使得AE⊥BD；③設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE；④AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓．其中，正確說法的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案D解析根據(jù)正四面體的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到當直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)的過程中，存在著最高點和最低點，并且最低點在底面的上方，所以四面體E－BCD的體積有最大值和最小值，故①正確；要想使AE⊥BD，就要使AE落在豎直方向的平面內(nèi)，而轉(zhuǎn)到這個位置的時候，使得AE⊥BD，且滿足是等腰直角三角形，所以②正確；利用二面角的平面角的定義，找到其平面角，設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE，所以③是正確的；根據(jù)平面截圓錐所得的截面可以斷定，AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓，所以④正確．故正確的命題的個數(shù)是4，故選D．(7)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是()A．點F的軌跡是一條線段B．A1F與BE是異面直線C．A1F與D1E不可能平行D．三棱錐F－ABC1的體積為定值答案C解析由題知A1F∥平面D1AE，分別取B1C1，BB1的中點H，G，連接HG，A1H，A1G，BC1，可得HG∥BC1∥AD1，A1G∥D1E，故平面A1HG∥平面AD1E，故點F的軌跡為線段HG，A正確；由異面直線的判定定理可知A1F與BE是異面直線，故B正確；當F是BB1的中點時，A1F與D1E平行，故C不正確；∵HG∥平面ABC1，∴F點到平面ABC1的距離不變，故三棱錐F－ABC1的體積為定值，故D正確．(8)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知點P在直線BC1上運動，則下列四個命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；③二面角P－AD1－C的大小不變；④若M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線A1D1．其中真命題的序號是________．答案①③④解析①＝＝eq\f(1,3)×eq\f(B1C,2)×eq\f(1,2)為定值；②因為BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此P到平面AD1C的距離不變，但AP長度變化，因此直線AP與平面ACD1所成的角的大小變化；③二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1與平面AD1C所成二面角的大小，因此不變；④到點D和C1距離相等的點在平面A1BCD1上，所以M點的軌跡是平面A1BCD1與平面A1B1C1D1的交線A1D1．綜上，真命題的序號是①③④．【對點精練】1．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．異面且成60°角2．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中：①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．3．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個4．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對角線BD拆成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)5．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF6．(多選)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD．下列結(jié)論正確的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等邊三角形C．三棱錐D－ABC是正三棱錐D．平面ADC⊥平面ABC7．如圖所示，正方形BCDE的邊長為a，已知AB＝eq\r(3)BC，將△ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述：①AB與DE所成的角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CE；③VB－ACE＝eq\f(a3,6)；④平面ABC⊥平面ADC．其中正確的有________．(填寫你認為正確的序號)8．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將△ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD．9．在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC所成的角的范圍(包含初始狀態(tài))為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))10．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分別是BF，CE上的點，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1)．將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯誤的是()A．AC∥平面BEFB．B，C，E，F(xiàn)四點不可能共面C．若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE與平面BEF可能垂直11．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M為BC的中點，N為AC的中點，D為BC邊上一個動點，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，點A在平面BCD上的投影為點O，當點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是()A．線段NO為定長B．CO∈[1，eq\r(2))C．∠AMO＋∠ADB＞180°D．點O的軌跡是圓弧12．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點．有下列判斷：①直線AC與直線C1E是異面直線；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱錐E—AA1O的體積為定值；④AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)．其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．413．如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當x變化時，l不是定直線．其中成立的結(jié)論是________．(寫出所有成立結(jié)論的序號)14．(多選)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M在棱CC1上，則下列結(jié)論正確的是()A．直線BM與平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方體所得的截面為三角形C．異面直線AD1與A1C1所成的角為eq\f(π,3)D．MB＋MD1的最小值為eq\r(5)15．(多選)如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個結(jié)論正確的是()A．三棱錐A－D1PC的體積不變B．A1P∥平面ACD1C．DP⊥BC1D．平面PDB1⊥平面ACD116．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝6，AA1＝2，M為棱BC的中點，動點P滿足∠APD＝∠CPM，則點P的軌跡與長方體的面DCC1D1的交線長等于()A．eq\f(2π,3)B．πC．eq\f(4π,3)D．eq\r(2)π更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生專題04立體幾何中空間線、面位置關(guān)系的判定(3)【方法總結(jié)】平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，翻折前后位于同一個半平面內(nèi)的直線間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系不變，翻折前后分別位于兩個半平面內(nèi)(非交線)的直線位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系一般發(fā)生變化，解翻折問題的關(guān)鍵是辨析清楚“不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系”“變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系”．(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形．【例題選講】[例1](1)如圖是一個正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案①②③④解析由題意畫出該正方體的圖形如圖所示，連接BE，BN，顯然①②正確；對于③，連接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN與BM成60°角，所以③正確；對于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正確．(2)已知四邊形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3．沿AC將△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F(xiàn)是AD′的中點，E是AC上一點，給出下列結(jié)論：①存在點E，使得EF∥平面BCD′；②存在點E，使得EF⊥平面ABC；③存在點E，使得D′E⊥平面ABC；④存在點E，使得AC⊥平面BD′E．其中正確的結(jié)論是________(寫出所有正確結(jié)論的序號)．答案①②③解析對于①，存在AC的中點E，使得EF∥CD′，利用線面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；對于②，過點F作EF⊥AC，垂足為E，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得EF⊥平面ABC；對于③，過點D′作D′E⊥AC，垂足為E，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得D′E⊥平面ABC；對于④，因為ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一點，所以不存在點E，使得AC⊥平面BD′E．(3)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心答案A解析由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A．(4)(多選)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝2eq\r(3)．則()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P－DC－B的大小為45°D．PC與平面PED所成角的正切值為eq\r(2)答案AC解析A項，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD?平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，正確；B項，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，則ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝45°，顯然矛盾，故錯誤；C項，二面角P－DC－B的平面角為∠PDE，又∠PDE＝∠ADE＝45°，故正確；D項，由上面分析可知，∠CPD為直線PC與平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故錯誤．故選AC．(5)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE．若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下列四個命題中不正確的是________．(填序號)①BM是定值；②點M在某個球面上運動；③存在某個位置，使DE⊥A1C；④存在某個位置，使MB∥平面A1DE．答案③解析取DC的中點F，連接MF，BF，則MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE．由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為球心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；若存在某個位置，使DE⊥A1C，則因為DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因為A1C∩CE＝C，則DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，與DA1⊥A1E矛盾，故③不正確．(6)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：①四面體E－BCD的體積有最大值和最小值；②存在某個位置，使得AE⊥BD；③設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE；④AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓．其中，正確說法的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案D解析根據(jù)正四面體的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到當直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)的過程中，存在著最高點和最低點，并且最低點在底面的上方，所以四面體E－BCD的體積有最大值和最小值，故①正確；要想使AE⊥BD，就要使AE落在豎直方向的平面內(nèi)，而轉(zhuǎn)到這個位置的時候，使得AE⊥BD，且滿足是等腰直角三角形，所以②正確；利用二面角的平面角的定義，找到其平面角，設(shè)二面角D－AB－E的平面角為θ，則θ≥∠DAE，所以③是正確的；根據(jù)平面截圓錐所得的截面可以斷定，AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓，所以④正確．故正確的命題的個數(shù)是4，故選D．(7)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是()A．點F的軌跡是一條線段B．A1F與BE是異面直線C．A1F與D1E不可能平行D．三棱錐F－ABC1的體積為定值答案C解析由題知A1F∥平面D1AE，分別取B1C1，BB1的中點H，G，連接HG，A1H，A1G，BC1，可得HG∥BC1∥AD1，A1G∥D1E，故平面A1HG∥平面AD1E，故點F的軌跡為線段HG，A正確；由異面直線的判定定理可知A1F與BE是異面直線，故B正確；當F是BB1的中點時，A1F與D1E平行，故C不正確；∵HG∥平面ABC1，∴F點到平面ABC1的距離不變，故三棱錐F－ABC1的體積為定值，故D正確．(8)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知點P在直線BC1上運動，則下列四個命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；③二面角P－AD1－C的大小不變；④若M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線A1D1．其中真命題的序號是________．答案①③④解析①＝＝eq\f(1,3)×eq\f(B1C,2)×eq\f(1,2)為定值；②因為BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此P到平面AD1C的距離不變，但AP長度變化，因此直線AP與平面ACD1所成的角的大小變化；③二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1與平面AD1C所成二面角的大小，因此不變；④到點D和C1距離相等的點在平面A1BCD1上，所以M點的軌跡是平面A1BCD1與平面A1B1C1D1的交線A1D1．綜上，真命題的序號是①③④．【對點精練】1．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．異面且成60°角1．答案D解析如圖，直線AB，CD異面．因為CE∥AB，所以∠ECD即為異面直線AB，CD所成的角，因為△CDE為等邊三角形，故∠ECD＝60°．2．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中：①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．2．答案②③④解析把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN．3．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個3．答案B解析將展開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；因為B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因為EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯．故選B．4．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對角線BD拆成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)4．答案B解析若A成立可得BD⊥A′D，產(chǎn)生矛盾，故A不正確；由題干知△BA′D為等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，于是B正確；由CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D＝45°知C不正確；VA′－BCD＝VC－A′BD＝eq\f(1,6)，D不正確，故選B．5．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF5．答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，得AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B．6．(多選)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD．下列結(jié)論正確的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等邊三角形C．三棱錐D－ABC是正三棱錐D．平面ADC⊥平面ABC6．答案ABC解析由題意易知，BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，故BD⊥AC，A中結(jié)論正確；設(shè)等腰直角三角形ABC的腰為a，則BC＝eq\r(2)a，由A知BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a，∴由勾股定理得BC＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)a＝a，∴AB＝AC＝BC，則△BAC是等邊三角形，B中結(jié)論正確；易知DA＝DB＝DC，又由B可知C中結(jié)論正確，D中結(jié)論錯誤．7．如圖所示，正方形BCDE的邊長為a，已知AB＝eq\r(3)BC，將△ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，關(guān)于翻折后的幾何體有如下描述：①AB與DE所成的角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CE；③VB－ACE＝eq\f(a3,6)；④平面ABC⊥平面ADC．其中正確的有________．(填寫你認為正確的序號)7．答案①③④解析作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示．∵A點在平面BCDE上的射影為點D，∴AD⊥平面BCDE．∵BC?平面BCDE，∴AD⊥BC．∵四邊形BCDE是正方形，∴BC⊥CD，又AD∩CD＝D，AD，CD?平面ACD，∴BC⊥平面ADC．又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正確；∵DE∥BC，∴∠ABC或其補角為AB與DE所成的角，∵BC⊥平面ADC，AC?平面ADC，∴BC⊥AC，∵AB＝eq\r(3)BC，BC＝a，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(2)a，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)＝eq\r(2)，故①正確；連接BD，CE，則CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD．又BD∩AD＝D，BD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CE⊥AB．故②錯誤；在Rt△ABE中，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，∴AE＝eq\r(2)a，又DE＝a，AD⊥DE，∴AD＝a，∴三棱錐B－ACE的體積VB－ACE＝VA－BCE＝eq\f(1,3)S△BCE·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a2×a＝eq\f(a3,6)，故③正確．8．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將△ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD．8．答案①②④解析由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE＝AD，折疊后如圖所示．①過點M作MP∥DE，交AE于點P，連接NP．因為M，N分別是AD，BE的中點，所以點P為AE的中點，故NP∥EC．又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正確；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN?平面MNP，所以MN⊥AE，②正確；③假設(shè)MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，③錯誤；④當EC⊥ED時，EC⊥AD．因為EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD?平面AED，所以EC⊥AD，④正確．9．在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC所成的角的范圍(包含初始狀態(tài))為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))9．答案C解析由題意，初始狀態(tài)直線AD與直線BC所成的角為0，當DB＝eq\r(2)時，AD⊥DB，AD⊥DC，又DC∩DB＝D，∴AD⊥平面DBC，又BC?平面DBC，所以AD⊥BC，直線AD與直線BC所成的角為eq\f(π,2)，∴在翻折過程中直線AD與直線BC所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．10．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分別是BF，CE上的點，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1)．將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯誤的是()A．AC∥平面BEFB．B，C，E，F(xiàn)四點不可能共面C．若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE與平面BEF可能垂直10．答案D解析A選項，連接BD，交AC于點O，取BE的中點M，連接OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AO∥FM，因為FM?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；B選項，若B，C，E，F(xiàn)四點共面，因為BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C選項，連接FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，F(xiàn)D∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF與AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D選項，延長AF至G，使AF＝FG，連接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，過F作FN⊥BG于N，則FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．11．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M為BC的中點，N為AC的中點，D為BC邊上一個動點，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，點A在平面BCD上的投影為點O，當點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是()A．線段NO為定長B．CO∈[1，eq\r(2))C．∠AMO＋∠ADB＞180°D．點O的軌跡是圓弧11．答案C解析如圖所示，對于A，△AOC為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，ON＝eq\f(1,2)AC為定長，即A正確；對于B，D在M時，AO＝1，CO＝1，∴CO∈[1，eq\r(2))，即B正確；對于D，由A可知，點O的軌跡是圓弧，即D正確，故選C．12．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點．有下列判斷：①直線AC與直線C1E是異面直線；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱錐E—AA1O的體積為定值；④AE＋EC1的最小值為2eq\r(2)．其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．412．答案C解析①因為點A?平面BB1C1C，所以直線AC與直線C1E是異面直線；②當A1E⊥AB1時，直線A1E⊥平面AB1C1，所以A1E⊥AC1，錯誤；③球心O是直線AC1，A1C的交點，底面OAA1面積不變，直線BB1∥平面AA1O，所以點E到底面的距離不變，體積為定值；④將矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展開到一個面內(nèi)，當點E為AC1與BB1的交點時，AE＋EC1取得最小值2eq\r(2)，故選C．13．如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當x變化時，l不是定直線．其中成立的結(jié)論是________．(寫出所有成立結(jié)論的序號)13．答案①②③解析連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴