新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第19講共線向量問題(原卷版+解析)

第19講共線向量問題一、解答題1．已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．2．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點、.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設(shè)為原點，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.3．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，且短軸長為2，離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，求證：為定值.4．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上任意一點，且，證明：為定值．5．已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓的一個頂點是拋物線的焦點，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于點M，且（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值．6．已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與y軸交于點P，若PA=mAF，PB=n7．已知橢圓：，點在的長軸上運動，過點且斜率大于0的直線與交于兩點，與軸交于點.當(dāng)為的右焦點且的傾斜角為時，重合，.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)均不重合時，記，，若，求證：直線的斜率為定值.8．如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足，求的取值范圍.9．已知雙曲線C：與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)直線l與y軸交點為P，且，求的值．10．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點．(1)設(shè)的斜率為1，求與夾角的余弦值；(2)設(shè)，若∈[4，9]，求在y軸上截距的變化范圍．第19講共線向量問題一、解答題1．已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．【答案】(1)取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)證明過程見解析【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為．令x=0，得點M的縱坐標(biāo)為．同理得點N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).2．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點、.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設(shè)為原點，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.【答案】（1）；（2）為定值2，理由見解析.【解析】【分析】（1）將點P代入拋物線方程，即可求得p的值，設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，由△＞0，排除特殊情況，即可求得k的取值范圍；（2）根據(jù)向量的共線定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直線PA的方程，令x＝0，求得M點坐標(biāo)，同理求得N點坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，即可求得λ+μ為定值．【詳解】（1）拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，根據(jù)題意得過點（0，1）的直線斜率存在，設(shè)方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；聯(lián)立方程，，可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）；（2）設(shè)點M（0，yM），N（0，yN），則（0，1﹣yM），（0，1）；因為λ，所以1＝λ（1﹣yM），故λ，同理μ，直線PA的方程為y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），令x＝0，得yM，同理可得yN，因為λ+μ2，即有λ+μ為定值2．【點睛】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題．3．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，且短軸長為2，離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）短軸長為可得，再由離心率等于，結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）直線的方程是，將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，，利用韋達(dá)定理化簡可得為定值.試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，則由題意知，所以.，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)的點的坐標(biāo)分別為，易知點的坐標(biāo)為，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程是，將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，∴，又∵，將各點坐標(biāo)代入得，∴.考點：1、待定系數(shù)法求橢圓方程；2、韋達(dá)定理及定值問題.【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；=1\*GB3①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；=2\*GB3②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；=3\*GB3③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；=4\*GB3④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.4．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上任意一點，且，證明：為定值．【答案】（1）離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)點、，將直線的方程代入橢圓的方程，列出韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，利用與共線，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可解得橢圓的離心率；（2）設(shè)，由可得出，由點在橢圓上可得出，利用韋達(dá)定理可計算得出，再由可計算得出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)點、，由韋達(dá)定理可得，，由，，由與共線，得，又，，，，即，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為；（2）證明：由（1）知，所以橢圓方程可化為．設(shè)，由得，.在橢圓上，，．（※）由（1），知，，，．．又，，代入（※）式，得．故為定值，定值為．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓的一個頂點是拋物線的焦點，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于點M，且（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析．【分析】解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為因為拋物線的焦點為（0，1），所以由故橢圓方程為（2）依題意設(shè)A、B、M的坐標(biāo)分別為，由（1）得橢圓的右焦點F（2，0），由由因為A、B在橢圓上，所以即所以的兩根，故是定值．【詳解】請在此輸入詳解！6．已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與y軸交于點P，若PA=mAF，PB=n【答案】（1）x2【解析】【分析】（1）由已知得a=2，結(jié)合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）方法1、由題意知，F(xiàn)(1,0)，可知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k(x?1)，則P(0,?k)，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由已知向量等式可得m，n，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明方法2、由題意知，F(xiàn)(1,0)，m≠1,n≠1，設(shè)A(x1,y1)，由此可得，m，n是關(guān)于x的一元二次方程9x2+24x+12?4【詳解】(1)∵橢圓C：x2a2+y又∵e=12，∴c=1，則∴橢圓的方程為x2(2)證明：方法1、由題意知，F(xiàn)(1,0)，可知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為則P(0,?k)，設(shè)A(x1,y1)，由PA=mAF，得(x由PB=nBF，得(x聯(lián)立y=k(x?1)x24∴x1+故m+n=x方法2、由題意知，F(xiàn)(1,0)，m≠1，設(shè)A(x1,y1由PA=mAF，得∴x1=mm+1，∵A點在橢圓C：x2a2整理得：9m同理，由PB=nBF，得由此可得，m，n是關(guān)于x的一元二次方程9x∴m+n=?24【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題．7．已知橢圓：，點在的長軸上運動，過點且斜率大于0的直線與交于兩點，與軸交于點.當(dāng)為的右焦點且的傾斜角為時，重合，.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)均不重合時，記，，若，求證：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）根據(jù)特殊情況當(dāng)為的右焦點且的傾斜角為時，重合，，可得到的值；（2）設(shè)出直線l，求出點M、N，設(shè)出點P、Q，利用條件，得出與的關(guān)系、與的關(guān)系，根據(jù)條件，得出.，再借助韋達(dá)定理對求解出的值，進(jìn)而得到斜率.【詳解】解：（1）因為當(dāng)為的右焦點且的傾斜角為時，，重合，，所以故，因為，因此，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，所以，，所以.因為斜率大于0，所以，設(shè)，，則，，由得，，①同理可得，②①②兩式相乘得，，又，所以，所以，即，即由題意，知，所以.聯(lián)立方程組，得，依題意，所以，又，所以，因為，故得，所以，即直線的斜率為.【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的問題，求解本題時應(yīng)大膽多設(shè)變量，小心化簡，通過一定的手段（設(shè)而不求、韋達(dá)定理等）進(jìn)行減元，將多變量問題轉(zhuǎn)化為少變量（單變量）問題.8．如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足，求的取值范圍.【答案】；．【解析】解：（I）∴NP為AM的垂直平分線，又∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓且橢圓長軸長為∴曲線E的方程為…………4分（II）當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線CH方程為代入橢圓方程，得…………6分設(shè)則又…………10分又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為即所求的取值范圍是…………12分9．已知雙曲線C：與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)直線l與y軸交點為P，且，求的值．【答案】，【解析】解：（Ⅰ）由曲線C與直線相交于兩個不同的點，知方程組有兩個不同的解，消去Y并整理得：①……………2分雙曲線的離心率……5分∵∴…………………6分即離心率e的取值范圍為．…………7分（Ⅱ）設(shè)w.w.w..c.o.m∵,∴，得…………9分由于是方程①的兩個根，∴即，得，………………12分解得．…………………14分10．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點．(1)設(shè)的斜率為1，求與夾角的余弦值；(2)設(shè)，若∈[4，9]，求在y軸上截距的變化范圍．【答案】（1）；（2）在y軸上截距的變化范圍：.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)拋物線方程求得焦點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，可求與夾角的余弦值；（2）得關(guān)于x2和y2的方程組，進(jìn)而求得x2=λ．得到B的坐標(biāo)，根據(jù)焦點坐標(biāo)可得直線的方程，進(jìn)而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）在[4，9]上是遞減的在[4，9]上是遞減的，即可得到答案．詳解：（1）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，∴l(xiāng)的方程為y=x﹣1．將y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴與夾角的余弦值為﹣．（2）由題設(shè)得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③聯(lián)立①③解得x2=λ．依題意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），