第6講定值問題(原卷版+解析)

第6講定值問題（先構(gòu)造函數(shù)，再消去參數(shù)）考情分析在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題,以起到拋磚引玉的作用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑雀鶕?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值二、經(jīng)驗(yàn)分享1.定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．2.【知識(shí)拓展】1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；三、題型分析（一）與向量與距離有關(guān)的等式的定值問題例1．在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．

【變式訓(xùn)練1】【2016年北京】已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．（二）與距離和比值有關(guān)的定值問題例2．設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn).（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【變式訓(xùn)練1】已知點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，分別為該橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)取得最小值時(shí)橢圓為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）已知為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（三）與平面圖形有關(guān)面積的定值問題例3.【安徽省“皖南八?！?017屆高三第二次聯(lián)考】如圖,點(diǎn),分別為橢圓的左右頂點(diǎn),為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn),直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練1】．【江西省贛州市十四縣（市）2018屆高三下學(xué)期期中】已知橢圓系方程：(，)，是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值．【變式訓(xùn)練2】.【湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考】如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為,點(diǎn)是軌跡為上不同于的兩點(diǎn),且滿足,求證：的面積為定值．

（四）與斜率有關(guān)的定值問題例4．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接．設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．【變式訓(xùn)練1】【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

四、遷移應(yīng)用1．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.2．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率．4.【2019-2020巴蜀中學(xué)2020屆高考適應(yīng)性月考卷理科（四）試卷】已知橢圓：，直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn).若，且以為直徑圓過點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)，是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)和，組成的面積最大為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線和橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且原點(diǎn)與,連線的斜率之和滿足：=2，求直線的斜率的取值范圍.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點(diǎn)作的垂線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，交拋物線與（點(diǎn)在之間），記的面積為，求的最小值。第6講定值問題（先構(gòu)造函數(shù)，再消去參數(shù)）考情分析在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題,以起到拋磚引玉的作用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值二、經(jīng)驗(yàn)分享1.定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．2.【知識(shí)拓展】1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；三、題型分析（一）與向量與距離有關(guān)的等式的定值問題例1．在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．【解析】（Ⅰ）（方法1）：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡(jiǎn)得曲線的方程為．（方法2）：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為．（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.于是整理得①設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故②由得③設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400．【方法點(diǎn)評(píng)】：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn)．【變式訓(xùn)練1】【2016年北京】已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【解析】（Ⅰ）由題意得解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當(dāng)時(shí)，，所以.綜上，為定值.（二）與距離和比值有關(guān)的定值問題例2．設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn).（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，，故，所以，?又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）．（Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，.由得.則，.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.【變式訓(xùn)練1】已知點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，分別為該橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)取得最小值時(shí)橢圓為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）已知為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；（2）．【思路引導(dǎo)】（1）聯(lián)立，得，由此利用韋達(dá)定理、橢圓定義，結(jié)合已知條件能求出橢圓的方程；（2）設(shè)，且，由已知求出，由此能求出為定值．試題解析：（1）聯(lián)立，得，∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，∴，解得，∴，又由橢圓定義知，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)橢圓的方程為；離心率為。（三）與平面圖形有關(guān)面積的定值問題例3.【安徽省“皖南八?！?017屆高三第二次聯(lián)考】如圖,點(diǎn),分別為橢圓的左右頂點(diǎn),為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn),直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】（Ⅰ）設(shè),則,而,所以（Ⅱ）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求底邊的長(zhǎng),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求底邊上的高,因此設(shè)直線的方程為,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理得,根據(jù)斜率條件及韋達(dá)定理得,高為,代入面積公式化簡(jiǎn)得【解析】（Ⅰ）橢圓.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,,,,,,,,,,.的面積為定值1.【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．【變式訓(xùn)練1】．【江西省贛州市十四縣（市）2018屆高三下學(xué)期期中】已知橢圓系方程：(，)，是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值．【解析】（1）由題意得橢圓的方程為：，即．∵．∴，又為橢圓上一點(diǎn)，∴．，即，又，,∴橢圓的方程為．（2）解：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,由消去y整理得，∵直線與橢圓相切，∴，整理得．設(shè)，則，且，∴點(diǎn)到直線的距離，同理由消去y整理得，設(shè)，則，，．②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知綜上可得的面積為定值．【變式訓(xùn)練2】.【湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考】如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為,點(diǎn)是軌跡為上不同于的兩點(diǎn),且滿足,求證：的面積為定值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,化簡(jiǎn)得的軌跡方程為．（2）證明：由題意是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn),且,則直線斜率必存在且不為0,又由已知．因?yàn)?所以．設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得．．．．①,．設(shè)的坐標(biāo)分別為,則．又,所以,得．又,所以,即的面積為定值．（四）與斜率有關(guān)的定值問題例4．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接．設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．【解析】：（Ⅰ）由于，將代入橢圓方程得由題意知，即，又所以，，所以橢圓方程為（Ⅱ）由題意可知：=,=,設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，而，所以（Ⅲ）由題意可知，l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：，所以，而，代入中得為定值．【變式訓(xùn)練1】【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)，由拋物線定義知，又，，所以，解得，將點(diǎn)代入拋物線方程，解得.（2）由（1）知，的方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，由得，.所以，，所以，解得，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后代入拋物線方程，得到的值；（2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡(jiǎn)整理，得到和的關(guān)系，從而得到直線恒過的定點(diǎn).四、遷移應(yīng)用1．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【答案】（1）見詳解；（2）3或.【解析】（1）設(shè)，則.由于，所以切線DA的斜率為，故.整理得設(shè)，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點(diǎn).（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是，.設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當(dāng)=0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，.因此，四邊形ADBE的面積為3或.【名師點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不小.2．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）見解析.【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則.直線的方程為.令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo).同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為．（2）由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得．由題意得，所以直線的斜率為．由，得，化簡(jiǎn)得，從而．所以，直線的斜率為或．【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程