信號與系統(tǒng)（MATLAB版 微課視頻版 第2版） 課件 2-2 連續(xù)時間系統(tǒng)的響應

2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的響應1.齊次解

n階線性時不變系統(tǒng)的微分方程的一般表達式：

2.2.1微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解法是將微分方程的完全解

分解為齊次解和特解后再分別求解。齊次解滿足方程右端的激勵及其各階導數(shù)項為零的齊次方程齊次解的形式是形如的函數(shù)的線性組合代入并化簡得微分方程的特征方程特征方程的n個根稱為微分方程的特征根。設齊次解中的常數(shù)Ai在求得全解后，將由初始條件確定。⑴特征根均為單根若其中的是微分方程的k階重根，則重根部分用k項表示⑵特征根有重根例

求微分方程的齊次解。解：系統(tǒng)的特征方程為

特征根

(重根)

微分方程的齊次解

2.特解特解的函數(shù)形式與激勵的函數(shù)形式有關(guān)。將激勵代入方程的右端得到的函數(shù)式稱為自由項，根據(jù)自由項的函數(shù)形式，選擇相應的特解函數(shù)形式。將其代入微分方程左端，根據(jù)等式兩端同類項系數(shù)相等的原則求出特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可得到方程的特解。教材P57表2-2-1列出了幾種典型的自由項函數(shù)相應的特解函數(shù)式，其中B、D是待定系數(shù)。例

求微分方程在下列兩種情況下的特解。該方程有一個特征根為-1,α等于特征根，查表，該方程特解的函數(shù)式應為將特解代入微分方程左端，得解得待定系數(shù)B0=1，因此特解

⑴⑵

解：⑴將代入方程右端，自由項函數(shù)為將特解代入微分方程，得解得待定系數(shù)因此特解

⑵將代入方程右端，自由項函數(shù)為。查表，該方程特解的函數(shù)式應為其中的待定系數(shù)將根據(jù)系統(tǒng)的初始條件求出。3.完全解將齊次解和特解相加，可得到有待定系數(shù)的微分方程的完全解，即

微分方程是描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系方程，微分方程的完全解是系統(tǒng)的完全響應，齊次解是系統(tǒng)的自由響應，其函數(shù)形式只取決于系統(tǒng)的特性，其中特征方程的特征根稱為系統(tǒng)的固有頻率，而系統(tǒng)自由響應的幅度由初始條件與激勵共同決定；特解是系統(tǒng)的強迫響應，其函數(shù)形式只取決于激勵函數(shù)。因此系統(tǒng)的完全響應可以分解為

完全響應=自由響應+強迫響應用這n個初始條件即可確定完全解中的待定系數(shù)。2.2.2起始點的跳變——0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換設激勵信號接入系統(tǒng)的時間為t=0時刻，響應區(qū)間即微分方程求解的區(qū)間為，則稱t=0時刻電路換路。換路之前的終了時刻（0-時刻）系統(tǒng)的狀態(tài)稱為起始狀態(tài)（0-狀態(tài)）。對于n階線性微分方程，用n個起始條件表示系統(tǒng)的起始狀態(tài)，即

起始條件描述的是系統(tǒng)的起始儲能情況，包含了為計算區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)未來響應的全部過去信息。在換路的瞬間，這組狀態(tài)有可能發(fā)生躍變。換路之后的最初時刻（0+時刻）系統(tǒng)的狀態(tài)稱為初始狀態(tài)（0+狀態(tài)）。對于n階線性微分方程，用n個初始條件表示系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即在換路的瞬間，這組狀態(tài)是否發(fā)生躍變，根據(jù)換路定律確定。如果沒有沖激電流或階躍電壓強迫作用于電容，則電容電壓不會發(fā)生躍變。如果沒有沖激電壓或階躍電流強迫作用于電感，則電感電流不會發(fā)生躍變?？傊魶]有奇異信號作用于系統(tǒng)，電容電壓和電感電流就不會發(fā)生躍變；若有沖激信號及其各階導數(shù)作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應變量及其各階導數(shù)在換路的瞬間有可能發(fā)生躍變。對于n階線性微分方程，代人t=0時的等效激勵后，若方程右端的自由項中包含有沖激信號及其各階導數(shù)，則由于沖激信號及其各階導數(shù)僅在t=0瞬間作用于系統(tǒng)，而在t>0時為零，因此可以認為，正是由于沖激信號及其各階導數(shù)的作用，系統(tǒng)的響應變量及其各階導數(shù)在換路的瞬間有可能發(fā)生躍變，用奇異函數(shù)系數(shù)平衡法，或稱為沖激函數(shù)匹配法可以求出。例

微分方程在t=0時接入激勵，求在換路瞬間的躍變值。

即

解：例

電路如圖所示，已知R1=1Ω，L=1/4H，R2=3/2Ω，C=1F，e1(t)=2V，e2(t)=4V，t<0開關(guān)S處于1的位置而且電路已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當t=0時，S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流i(t)的微分方程并求解i(t)在t≥0+時的響應。解：建立微分方程，列回路方程、結(jié)點方程系統(tǒng)的特征方程⑴求齊次解特征根

齊次解消去變量并代入電路參數(shù)，得在（-∞<t<∞）時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程⑵求特解時因此設特解特解系統(tǒng)的完全響應⑶求初始條件在換路過程中激勵信號的變化量，從換路前t<0時的2V變?yōu)閾Q路后t>0時的4V，即系統(tǒng)在t=0時的等效激勵為：換路前所得結(jié)果同上例。代入微分方程，初始條件為得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程組為解得待定系數(shù)得電路的完全響應為2.2.3零輸入響應和零狀態(tài)響應1.零輸入響應零輸入響應是輸入為零，也就是激勵為零時，僅由起始時刻系統(tǒng)的儲能引起的響應。n階線性時不變系統(tǒng)的零輸入響應滿足的微分方程一般表達式：及起始條件零輸入響應的形式與自由響應的形式相同，是自由響應中的一部分，即LTI系統(tǒng)的完全響應也可以分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應分別求解。如果響應變量是除了電容電壓或電感電流之外的變量，則初始狀態(tài)有可能發(fā)生躍變，這要看換路時即t=0時方程右端的自由項中是否出現(xiàn)函數(shù)及其各階導數(shù)項。

對于具體電路，如果響應變量是電容電壓或電感電流，若沒有沖激電流（沖激電壓）或階躍電壓（階躍電流）強迫作用于電容（電感），則電容電壓（電感電流）不會發(fā)生躍變，初始狀態(tài)等于起始狀態(tài)不會發(fā)生躍變。

此時中的系數(shù)由確定。對于n階線性微分方程，因為沒有外接激勵的作用，所以例

對上例求解在時的零輸入響應。

換路前起始狀態(tài)

其零輸入響應表達式為解：在（-∞<t<∞）時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程用函數(shù)匹配法得零輸入響應的初始條件為

激勵信號在換路過程中，由換路前t<0時的2V變化到換路后t>0時的0V，因此在t=0時的激勵為V。

代入零輸入響應的表達式求出待定系數(shù)，得電路的零輸入響應為

2.零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的起始狀態(tài)等于零即起始時刻系統(tǒng)的儲能為零，由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應。n階線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應滿足的微分方程一般表達式：及起始條件零狀態(tài)響應的形式與完全響應的形式相同，零狀態(tài)響應是強迫響應與一部分自由響應的合成。初始狀態(tài)有可能發(fā)生躍變，這要看換路時即t=0時方程右端的自由項中是否出現(xiàn)函數(shù)及其各階導數(shù)項，以及響應變量是什么量。只有在沒有沖激電流或階躍電壓強迫作用于電容、沒有沖激電壓或階躍電流強迫作用于電感時，作為響應變量的電容電壓、電感電流不會發(fā)生躍變。式中的待定系數(shù)由確定。例

對上例求解在時的零狀態(tài)響應。激勵信號在換路過程中的變化量從換路前t<0時的0V變?yōu)閾Q路后t>0時的4V，因此在t=0時的激勵為V。零狀態(tài)響應表達式為

起始狀態(tài)為零解：在（-∞<t<∞）時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程

用函數(shù)匹配法得零狀態(tài)響應的初始條件為將初始條件及特解代入，得零狀態(tài)響應為

完全響應的另一種重要的分解方法是將完全響應分解為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。完全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應是隨時間的增加響應強度衰減，最終完全消失的響應分量，而最終保留下來的響應分量稱之為穩(wěn)態(tài)響應。2.2.4MATLAB實現(xiàn)lsim(sys,x,t,zi)：求零輸入響應或全響應，其中sys必須是狀態(tài)空間形式的系統(tǒng)函數(shù)，zi是系統(tǒng)的起始狀態(tài)。MATLAB的lsim()函數(shù)能計算并繪制連續(xù)時間系統(tǒng)在指定的任意時間范圍內(nèi)、給定任意輸入的響應，其調(diào)用格式為：lsim(sys,x,t)：求零狀態(tài)響應，其中sys可以是利用命令tf、zpk或ss建立的系統(tǒng)函數(shù)，x是系統(tǒng)的輸入，t定義的是時間范圍。例

已知系統(tǒng)的微分方程當激勵，起始值時，求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。解：MATLAB程序如下：a=[1,3,2];b=[2,1];[ABCD]=tf2ss(b,a);sys=ss(A,B,C,D)