小學(xué)奧數(shù)知識(shí)體系

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)體系小學(xué)奧數(shù)分為十七個(gè)體系，這十七個(gè)體系分別是：1、計(jì)算2、數(shù)論3、幾何4、應(yīng)用題5、行程問(wèn)題6、計(jì)數(shù)7、分?jǐn)?shù)8、方程9、找規(guī)律10、算式迷11、火柴棒問(wèn)題12、智力問(wèn)題17、解題方法18、雜題當(dāng)然這十七個(gè)體系并不集中在某一年級(jí)階段，可能在不同階段都對(duì)某一體系有要求，只是要求的程度不同而已，比如數(shù)論這一體系，在4、5和6年級(jí)都會(huì)出現(xiàn)，像4年級(jí)得奇偶性問(wèn)題，5年級(jí)的位值原理、數(shù)的整除特征，5、6年級(jí)的完全平方數(shù)的性質(zhì)都是屬于數(shù)論這一體系中。本次主要介紹3-6年級(jí)所涉及的奧數(shù)課程，主要講解各年級(jí)奧數(shù)課程大綱、再把各年級(jí)的知識(shí)點(diǎn)歸結(jié)成幾個(gè)重要的版塊。三年級(jí)奧數(shù)課程大綱1、加減法巧算2、時(shí)間的計(jì)算3、重疊問(wèn)題4、圖形的簡(jiǎn)拼5、倍數(shù)問(wèn)題6、綜合應(yīng)用題7、數(shù)字謎8、奇數(shù)、偶數(shù)的靈活運(yùn)用9、等量代換推理10、列隊(duì)問(wèn)題11、乘船坐車問(wèn)題12、邏輯推理13、枚舉法14、循環(huán)問(wèn)題（周期問(wèn)題）四年級(jí)奧數(shù)課程大綱：1、巧用方法算的快2、列方程解應(yīng)用題3、巧求周長(zhǎng)與面積4、抽屜原理（一）5、簡(jiǎn)單的相遇與追及6、規(guī)律性問(wèn)題7、雞兔同籠問(wèn)題8、簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)9、染色與覆蓋10、年齡問(wèn)題11、加乘法原理12、體育比賽中的數(shù)字問(wèn)題13、奇數(shù)與偶數(shù)14、整除問(wèn)題五、六年級(jí)奧數(shù)課程大綱：1、計(jì)算（主要涉及速算與巧算、數(shù)列計(jì)算、技巧計(jì)算等知識(shí)）2、代數(shù)與方程（主要涉及等量代換、方程解法綜合、方程解應(yīng)用題等知識(shí)）3、行程部分（主要涉及相遇與追及、典型行程問(wèn)題、比例問(wèn)題等知識(shí)）4、幾何部分（主要涉及幾何初步認(rèn)識(shí)、直線型面積、立體幾何等知識(shí)）5、數(shù)論部分（主要涉及技術(shù)與偶數(shù)、數(shù)的整除、約數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)、直豎與合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)、余數(shù)問(wèn)題、位值原則與數(shù)的進(jìn)制、數(shù)字謎和算式謎綜合等知識(shí)）6、應(yīng)用題部分(主要涉及經(jīng)典應(yīng)用題、分百應(yīng)用題、工程問(wèn)題等知識(shí))7、計(jì)數(shù)綜合（主要涉及加法原理、乘法原理、加乘原理、排列組合、幾何計(jì)數(shù)等知識(shí)）8雜題部分（主要涉及智巧解題、抽屜原理、邏輯推理、統(tǒng)籌規(guī)劃、操作與策略、構(gòu)造與論證、統(tǒng)計(jì)與概率、最短路線等知識(shí)）雖然三至六年級(jí)所涉及的知識(shí)眾多，但歸結(jié)起來(lái)主要分為以下幾個(gè)版塊1、行程問(wèn)題2、數(shù)論問(wèn)題3、幾何問(wèn)題4、計(jì)數(shù)問(wèn)題5、應(yīng)用題6、計(jì)算問(wèn)題7、雜題一、行程問(wèn)題（1）四年級(jí)行程問(wèn)題：二次相遇、追及問(wèn)題例題：甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，A、B之間的距離是多少？解答：【分析】甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.AB間的距離是64×3－48＝144（千米）（2）五年級(jí)行程問(wèn)題：二次相遇、追及問(wèn)題例題：A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？解答：（3）六年級(jí)行程問(wèn)題：二次相遇、追及問(wèn)題例題：甲、乙兩名同學(xué)在周長(zhǎng)為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問(wèn)：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？解答：二、數(shù)論問(wèn)題（1）四年級(jí)數(shù)論：質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)例題：在一位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有_____；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有_____；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有_____.解答：在一位自然數(shù)中,奇數(shù)有:1,3,5,7,9其中僅有9為合數(shù),故第一個(gè)空填9.在一位自然數(shù)中,質(zhì)數(shù)有2、3、5、7，合數(shù)有4、6、8、9，所以既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的為1.又在一位自然數(shù)中,偶數(shù)有2、4、6、8，所以既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)為2（2）五年級(jí)數(shù)論問(wèn)題：中國(guó)剩余定理例題：有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余幾？解答：一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，可以理解為除以3余3+2，除以4余4+1，所以這個(gè)數(shù)減去5后，既能被3整除，又能被4整除，設(shè)這個(gè)數(shù)為a，則a=12m+5（m為自然數(shù)），所以這個(gè)數(shù)除以12余5.（3）六年級(jí)數(shù)論問(wèn)題：位值原理例題：將一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來(lái)的三位數(shù)，求原來(lái)的三位數(shù)。解答：假設(shè)三個(gè)數(shù)從大到小依次為abc，則大數(shù)為abc小數(shù)為cba，兩數(shù)相減后所得數(shù)的十位為9，那么必然有最大數(shù)的百位即a為9，原式可改為9bc-cb9=c9b,然后很容易可以分析出c為4、b為5三、幾何問(wèn)題（1）四年級(jí)幾何：巧求周長(zhǎng)例題：（“希望杯”第一試）如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6厘米，過(guò)正方形內(nèi)的任意兩點(diǎn)畫(huà)直線，可把正方形分成9個(gè)小長(zhǎng)方形。這9個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和是多少厘米？解答：（2）五年級(jí)幾何問(wèn)題：直線型幾何問(wèn)題例題：如圖，長(zhǎng)方形的面積是小于100的數(shù)．它的內(nèi)部有三個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的正方形．正方形②的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的512，正方形①的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形寬的18．那么，圖中陰影部分的面積是解答：（3）六年級(jí)幾何：立體圖形染色計(jì)數(shù)例題：（05年清華附培訓(xùn)試題）將一個(gè)表面積涂有紅色的長(zhǎng)方體分割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，其中一面都沒(méi)有紅色的小正方形只有3個(gè)，求原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？解答：四、計(jì)數(shù)問(wèn)題（1）四年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題：乘法原理例題：文藝活動(dòng)小組有3名男生，4名女生，從男、女生中各選1人做領(lǐng)唱，有多少種選法？解答：（2）五年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題：捆綁法例題：將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰．請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的排列方法？解答：（3）六年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題：遞推方法例題：線段AB上共有10個(gè)點(diǎn)（包括兩個(gè)端點(diǎn)），那么這條線段上一共有多少條不同的線段？解答：從簡(jiǎn)單情況研究起：AB上共有2個(gè)點(diǎn)，有線段：1條AB上共有3個(gè)點(diǎn)，有線段：1＋2＝3（條）AB上共有4個(gè)點(diǎn)，有線段：1＋2＋3＝6（條）AB上共有5個(gè)點(diǎn)，有線段：1＋2＋3＋4＝10（條）……AB上共有10個(gè)點(diǎn)，有線段：1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（條）一般地，AB上共有n個(gè)點(diǎn)，有線段：1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＝n×（n－1）÷2即：線段數(shù)＝點(diǎn)數(shù)×（點(diǎn)數(shù)－1）÷2五、應(yīng)用題（1）四年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：雞兔同籠問(wèn)題例題：使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水20千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水40千克．根據(jù)農(nóng)科院專家的意見(jiàn)，把兩種農(nóng)藥混起來(lái)用可以提高藥效，現(xiàn)有兩種農(nóng)藥共50千克，要配藥水1400千克，那么，其中甲種農(nóng)藥用了多少千克？解答：假設(shè)50千克都是乙種農(nóng)藥，那么需要兌水40×50＝2000(千克)．但題目要求配藥水1400千克，即實(shí)際兌水1400－50＝1350(千克)．多用了2000－1350＝650(千克)水，又已知使用乙種農(nóng)藥每千克兌水需要比使用甲種農(nóng)藥多兌水40-20＝20(千克)，所以推知，在混合農(nóng)藥中甲種農(nóng)藥有650÷20＝32.5(千克)（2）五年級(jí)應(yīng)用題問(wèn)題：牛吃草問(wèn)題例題：17頭牛吃28公畝的草，84天可以吃完；22頭牛同樣牧場(chǎng)33公畝的草54天可吃完，幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)40公畝的草，24天可吃完?(假設(shè)每公畝牧草原草量相等，且勻速生長(zhǎng))解答：設(shè)1頭牛1天吃1份牧草。22頭牛54天吃掉11882254=?份，說(shuō)明每公畝牧場(chǎng)54天提供36331188=÷份牧草；17頭牛28天吃掉14288417=?份，說(shuō)明每公畝牧場(chǎng)84天提供51281428=÷份牧草。每公畝牧場(chǎng)305484=-天多提供153651=-份牧草，說(shuō)明每公畝牧場(chǎng)每天的牧草生長(zhǎng)量為5.03015=÷份，原有草量為-5184?95.0=份。如果是40公畝的牧場(chǎng)，原有草量為360409=?份，每天新長(zhǎng)出20405.0=?份，24天共計(jì)提供牧草8402420360=?+份，可供3524840=÷頭牛吃24天。（3）六年級(jí)應(yīng)用題：濃度問(wèn)題例題：有A、B、C三種鹽水，按A與B數(shù)量之比為2：1混合，得到濃度為13%的鹽水；按A與B數(shù)量之比為1：2混合，得到濃度為14%的鹽水。如果A、B、C數(shù)量之比為1：1：3，混合成的鹽水濃度為10.2%，問(wèn)鹽水C的濃度是多少？解答：A與B按數(shù)量之比為2：4混合時(shí)，濃度仍為14%，而這樣的混合溶液也相當(dāng)于A與B按數(shù)量之比為2：1混合后再混入三份鹽水，則B鹽水濃度為)3%136%14(?-?%15)14(=-÷，A鹽水的濃度為%122%153%14=?-?，再根據(jù)A、B、C三種溶液混合的情況那么C鹽水的濃度為%83]1%151%12)311(%2.10[(=÷?-?-++?六、計(jì)算問(wèn)題（1）四年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題：等差數(shù)列例題：下面的題你會(huì)算嗎？1+2+3+4+5+…+100=4+6+8+10+1…+88=3-1+7-4+11-7+15-11+..-70+99=解答：略（2）五年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題：湊數(shù)問(wèn)題例題：1684126384242196124729348622431??+??+??+????+??+??+??解答：9)432(1421)432(12431333333=+++???+++???（3）六年級(jí)計(jì)數(shù)問(wèn)題:分?jǐn)?shù)、整數(shù)裂項(xiàng)例題：2221111112131991??????++??+???---?解答：22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)nnnannnn++=+==+-+-?+原式=223398989999(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)=+?-+?-+?-+?-223344559898999929949131425364999710098110050==?=??????七、雜題（1）四年級(jí)邏輯推理問(wèn)題例題：我國(guó)有"三山五岳"之說(shuō)，其中五岳是指：東岳泰山，南岳衡山，西岳華山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老師拿出這五座山岳的圖片，并在圖片上標(biāo)出數(shù)字，他讓五位學(xué)生來(lái)辨別，每人說(shuō)出兩個(gè)。學(xué)生們回答如下：甲：2是泰山，3是華山。乙：4是衡山，2是嵩山。丙：1是衡山，5是恒山。?。?是恒山，3是嵩山。戊：2是華山，5是泰山。老師發(fā)現(xiàn)五個(gè)學(xué)生都只說(shuō)對(duì)了一半，那么正確的說(shuō)法應(yīng)該是什么呢？解答：假設(shè)甲的前半句話是對(duì)的，后半句話是錯(cuò)的。出現(xiàn)矛盾！則甲前半句話是錯(cuò)的，后半句話是對(duì)的！得出結(jié)論：１是衡山；２是嵩山，３是華山；４是恒山；５是泰山。（2）五年級(jí)抽屜原理問(wèn)題例題：學(xué)校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人？解答：因?yàn)榉殖伤慕M，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人），因?yàn)槿我?0人中必有男生，所以女生人數(shù)也至多9人，所以女生有9人，則男生有55－9＝46（人）（3）六年級(jí)雜題：最值問(wèn)題例題：表示一個(gè)四位數(shù)，表示一個(gè)三位數(shù)，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G代表1至9的不同的數(shù)字。已知，問(wèn)：乘積的最大與最小值差多少？解答：可以看出A＝1，因?yàn)镋≠O，1，所以B最大為7，這時(shí)E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最大為5。從而三位數(shù)最大為759，這時(shí)＝34。最