高考數(shù)學一輪復習試題階段滾動檢測（二）

階段滾動檢測(二)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·鄭州模擬)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足zii=z+1,則|z+1|=()A.2 B.1 C.5 D.2【解析】選A.因為zii=z+1,則z(1i)=1+i,所以z=1+i1-i=故|z+1|=|1i|=12+(-1)2=2.(2023·北京模擬)在△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC一定是()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【解析】選D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2b×a2+b2-c22ab?a2=a2+b2c2?b3.(2023·襄陽模擬)設z∈C,則在復平面內(nèi)3≤|z|≤5所表示的區(qū)域的面積是()A.5π B.9π C.16π D.25π【解析】選C.滿足條件|z|=3的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為3的圓,滿足條件|z|=5的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為5的圓,則在復平面內(nèi)3≤|z|≤5所表示的區(qū)域為圓環(huán),如圖中陰影部分區(qū)域所示:所以,在復平面內(nèi)3≤|z|≤5所表示的區(qū)域的面積是π×(5232)=16π.4.(2024·江西模擬)已知向量a=(log23,sin4π3),b=(log38,m),若a⊥b,則m=(A.23 B.3 C.23 D.32【解析】選C.因為a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin4π3所以log2832m=0,所以m=23【加練備選】(2024·咸陽模擬)已知向量a=(1,1),b=(m,2),若(a+b)∥a,則2a·b=()A.8 B.7 C.7 D.8【解析】選A.由向量a=(1,1),b=(m,2),得a+b=(m+1,1),由(a+b)∥a,得(m+1)+1=0,解得m=2,于是b=(2,2),所以2a·b=2×(22)=8.5.(2024·西安模擬)已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2ab|不超過3,則m的取值范圍為()A.[3,3] B.[5,5]C.[3,3] D.[5,5]【解析】選B.由題意知,2ab=(2,m),所以|2ab|=4+m2≤3,得4+m即m2≤5,解得5≤m≤5,即實數(shù)m的取值范圍為[5,5].6.將函數(shù)y=sin(2xφ)的圖象沿x軸向右平移π8個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的取值可為(A.π4 B.π4 C.π2 【解析】選B.將函數(shù)y=sin(2xφ)的圖象沿x軸向右平移π8個單位后得到y(tǒng)=sin[2(xπ8)φ]=sin(2xπ4φ),若此時函數(shù)為偶函數(shù)的圖象,則π4φ=kπ+π2,k∈Z,得φ=kπ3π4,k∈Z,當k=1時,φ7.已知向量a=(1,3),a+b=(1,7),則向量a在向量b方向上的投影向量為()A.(15,25) C.(5,25) D.(15,2【解析】選B.由題知,向量b=a+ba=(1,7)(1,3)=(2,4),所以a·b=2+12=10.又|b|=4+16=25,所以向量a在向量b方向上的投影向量為(1,2).8.(2024·貴州聯(lián)考)如圖,甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū),是該市的標志性建筑之一.甲秀樓上下三層,白石為欄,層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度,選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D,現(xiàn)測得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C點測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°,則甲秀樓的高度約為(參考數(shù)據(jù):tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)()A.20m B.21m C.22m D.23m【解析】選C.由題意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,所以∠CBD=127°,又因為CD=11.2m,由正弦定理CDsin∠CBD=可得11.2sin127°=CB又因為∠ACB=72.4°,所以AB=BCtan∠ACB≈7×3.15≈22(m).二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2023·長沙模擬)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為z,則下列說法正確的是()A.z2=|z|2B.z+z一定是實數(shù)C.若復數(shù)z1,z2滿足|z1+z2|=|z1z2|,則z1·z2=0D.若復數(shù)z的平方是純虛數(shù),則復數(shù)z的實部和虛部相等或者互為相反數(shù)【解析】選BD.當復數(shù)z=i時,z2=1,|z|2=1,故A錯;設z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,所以z+z=2a∈R,故B對;設z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),由|z1+z2|=|z1z2|可得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+b而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2b1b2+(a1b2+b1a2)i=2a1a2+(a1b2+b1a2)i,不一定為0,故C錯;設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2b2+2abi為純虛數(shù).所以a2-b2=02ab≠010.(2024·濰坊模擬)已知向量a=(1,3),b=(x,2),且(a2b)⊥a,則下列選項正確的是()A.a,b能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.m<3是a=(1,3)與c=(m,1)夾角是銳角的充要條件C.向量a與向量b的夾角是45°D.向量b在向量a上的投影向量坐標是(1,3)【解析】選AC.因為a=(1,3),b=(x,2),所以a2b=(12x,1),則(a2b)·a=1+2x3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共線,故A正確;當a,c平行時,可得1×13×m=0,解得m=13,所以B錯誤由cos<a,b>=a·b|a||b|因為0°≤<a,b>≤180°,故向量a與向量b的夾角是45°,所以C正確;向量b在向量a上的投影向量為a·b|a|·a|a|=510·(-111.(2024·大連模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB+bsinA=c,a=210,a2+b2c2=absinC,則()A.tanC=2 B.A=πC.b=62 D.△ABC的面積為122【解析】選AC.由余弦定理可得a2+b2c2=2abcosC=absinC,解得tanC=2,故A正確;由acosB+bsinA=c及正弦定理,可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B),化簡可得sinBsinA=cosAsinB.因為B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinA=cosA,即tanA=1.因為A∈(0,π),所以A=π4,故B錯誤因為tanC=2,所以cosC>0且sinC=2cosC,代入sin2C+cos2C=1,可得5cos2C=1,解得cosC=55,sinC=2因為a=210,A=π4,sinC=2所以由正弦定理可得c=asinCsin由a2+b2c2=absinC,可得(210)2+b282=210b×25化簡可得b242b24=0,解得b=62或b=22(舍去),故C正確;S△ABC=12bcsinA=12×62×8×22=24,故三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若復數(shù)z滿足|z|=1,則|z2+(1i)z|(i為虛數(shù)單位)的最小值為________.

答案:21【解析】因為|z|=1,所以z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為以原點為圓心,以1為半徑的圓,又因為|z1z2|=|z1||z2|,所以|z2+(1i)z|=|z||z+1i|=|z+1i|=|z(1+i)|的幾何意義為圓上的點到P(1,1)的距離,如圖,所以|z2+(1i)z|=|z(1+i)|的最小值為|OP|1=(-1)2+13.(2023·鎮(zhèn)江模擬)在△ABC中,AB=3AD,點E是CD的中點.若存在實數(shù)λ,μ使得=λ+,則λ+μ=__________(請用數(shù)字作答).

答案:2【解析】因為E是CD的中點,所以=+=+12=+12()=12(+),因為AB=3AD,所以=13,所以=16+12,所以λ=16,μ=12,即λ+μ=16+1214.(2024·天津模擬)在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,=2,=λ(λ>0),=2,且||=72,則λ=________;·的值為________.

答案:32【解析】因為=2,=λ(λ>0),=2,所以=12(+)=12(12+λ)=14+12λ,又||=72,在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,所以·=||·||cos∠BAC=2×2×(12)=2,=(14)2+λ4·+(λ2)2=14λ2+λ2=即2λ2λ3=0,解得λ=32或λ=1(舍去故λ的值為32又=+=+λ,=+=+12,·=(+λ)·(+12)=(1+λ2)·12()2λ()2=(1+λ2)(2)24λ=45λ=232,故·的值為232.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2023·長春模擬)已知復數(shù)z=(m21)+(m2m2)i,m∈R.(1)若z是純虛數(shù),求m的值;【解析】(1)若z是純虛數(shù),則m2所以m=1,則m的值為1;(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在直線xy+1=0上,求m的值;【解析】(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在直線xy+1=0上,則m21(m2m2)+1=0,解得m=2;(3)若z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,求m的取值范圍.【解析】(3)若z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,則m2所以1<m<2,則m的取值范圍為(1,2).16.(15分)(2023·洛陽模擬)已知向量a=(1,2),b=(3,2).(1)求|ab|;【解析】(1)由題知,a=(1,2),b=(3,2),所以ab=(2,4),所以|ab|=4+16=25.(2)已知|c|=10,且(2a+c)⊥c,求向量a與向量c的夾角.【解析】(2)由題知,a=(1,2),|c|=10,(2a+c)⊥c,所以|a|=5,(2a+c)·c=0,所以2a·c+c2=0,所以2|a||c|cos<a,c>+|c|2=0,所以2×5×10×cos<a,c>+10=0,所以cos<a,c>=22因為<a,c>∈0,π,所以向量a與向量c的夾角為17.(15分)(2024·長沙模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)證明:a2b2=bc;【解析】(1)因為sinB+sinC=2sinAcosB,由正弦定理可得b+c=2acosB,再由余弦定理得b+c=2a·a2整理得a2b2=bc.(2)如圖,點D在線段AB的延長線上,且|AB|=3,|BD|=1,當點C運動時,探究|CD||CA|是否為定值.【解析】(2)因為∠ABC,∠CBD互補,所以cos∠ABC+cos∠CBD=0,結(jié)合余弦定理可得a2+c因為c=|AB|=3,|BD|=1,則a2+9-整理得4a2b2+123|CD|2=0,又a2=b2+bc=b2+3b,則|CD|2=43a213b2+4=43(b2+3b)13b2+4=b2+4b+4=(b+2)2,從而|故|CD||CA|=2為定值.18.(17分)已知向量a=(cos(θ),sin(θ)),b=(cos(π2θ),sin(π2θ(1)求證:a⊥b;【解析】(1)a=(cos(θ),sin(θ)),b=(cos(π2θ),sin(π2θ)?a=(cosθ,sinθ),b=(sinθ,cosθ)?a·b=cosθsinθsinθcosθ=0,故a⊥b.(2)若存在不為0的實數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,y=ka+tb,滿足x⊥y,試求此時k+t【解析】(2)顯然|a|=|b|=cos2θ+sin2θ=1,x⊥y?x·y=[a+(t2+3)故可得k|a|2+t(t2+3)|b|2+[tk(t2+3)]a·b=0,即k+t(t2+3)=0?k=t(t2+3),所以k+t2t=t2+t+3=(t+12所以當t=12時,k+t19.(17分)(2024·衡陽模擬)在△ABC中,CD為AB邊上的高,已知AC+BC=AB+CD.(1)若AB=2CD,求tanC2的值【解析】(1)設a,b,c分別為△ABC中角A,B,C所對的邊,CD=h,則a+b=c+h.在△ABC中,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22由12absinC=12ch,得ab=所以1+cosCsinC=h因為AB=2CD,所以c=2h,于是1+cosCsinC=1+h而tanC2=2sinC2cos(2)若AB=kCD,k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值時k的值.【解析】(2)方法一:由(1)知,1+h2c=如圖,在△ABC中,過B作AB的垂線EB,且使EB=2h,則CE=CB=a,則AC+CE=a+b≥AE=c2即(c+h)2≥c2+4h2,所以0<hc≤2于是1<1tanC2≤43,令函數(shù)y=2x1-x則y=21x-x所以