122三角形全等的判定(一)（SSSSAS）原卷版

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第十二章全等三角形》三角形全等的判定（一）“邊邊邊”與“邊角邊”知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等文字語(yǔ)言：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”.幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語(yǔ)言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”.2、幾何語(yǔ)言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知兩邊，可以找“夾角”；（2）已知一角和這角的一夾邊，可找這角的另一夾邊【注意】1.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.2.說(shuō)明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊的順序書(shū)寫(xiě).3.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個(gè)三角形中.題型一全等三角形判定的條件題型一全等三角形判定的條件【例題1】如圖，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，則由“SSS”可以判定（）A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACD C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不對(duì)解題技巧提煉判斷三角形全等的條件時(shí)，注意兩邊與其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.解題時(shí)要根據(jù)已知條件的情況來(lái)考慮，對(duì)于非特殊的三角形，只具備SSA時(shí)一般是不能判定三角形全等的．【變式11】如圖，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”證明△ACE≌△BDF，需添加的一個(gè)條件可以是（）A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不對(duì)【變式12】下列四個(gè)三角形中，與圖中的△ABC全等的是（）A． B． C． D．【變式13】如圖，已知點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）A．AC∥EF B．∠E＝∠C C．∠ABC＝∠FDE D．AB＝DF【變式14】如圖，已知∠1＝∠2，若用“SAS”證明△BDA≌△ACB，還需加上條件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB題型二利用“邊邊邊”直接判定兩三角形全等題型二利用“邊邊邊”直接判定兩三角形全等【例題2】如圖，已知點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE．求證：△ABC≌△AED．解題技巧提煉三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”.【變式21】（2023?云南）如圖，C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC．求證：△ABC≌△EDC．【變式22】如圖，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC，△ABC和△DEF全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式23】（2023?永善縣三模）如圖，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF．題型三利用“邊邊邊”尺規(guī)作圖題型三利用“邊邊邊”尺規(guī)作圖【例題3】11．（2018秋?慶云縣校級(jí)月考）請(qǐng)仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的三角形全等有關(guān)的知識(shí)，說(shuō)明畫(huà)出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是．解題技巧提煉用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的依據(jù)是“邊邊邊”.【變式31】小聰在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，具體過(guò)程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第（2）步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D′；（4）過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對(duì)等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【變式32】（2023春?白銀期中）已知∠AOB，點(diǎn)C是OB邊上的一點(diǎn)．用尺規(guī)作圖畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C與OA平行的直線．【變式33】如圖，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，再以頂點(diǎn)C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連接AD、CD，若∠B＝56°，則∠ADC的大小為度．題型四利用“邊角邊”直接判定兩三角形全等題型四利用“邊角邊”直接判定兩三角形全等【例題4】（2023?官渡區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，AF＝DE，∠A＝∠D，AC＝DB．求證：△ABF≌△DCE．解題技巧提煉兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”.（1）已知兩邊，可以找“夾角”；（2）已知一角和這角的一夾邊，可找這角的另一夾邊．【變式41】（2023?從化區(qū)二模）為了制作燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，證明：△ABC≌△AED．【變式42】（2023?祥云縣模擬）已知：如圖，點(diǎn)F、C在線段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC，求證：△ABC≌△DEF．?【變式43】（2023?乾安縣四模）已知：如圖，BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE，求證：△ABE≌△DBC．【變式44】（2023?寧江區(qū)二模）如圖，△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足CD＝AB，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB且CE＝BC，連接DE并延長(zhǎng)，分別交AC、AB于點(diǎn)F、G，求證：△ABC≌△DCE．【變式45】（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求證：△ABC≌△DEF．題型五判定三角形的全等求線段長(zhǎng)題型五判定三角形的全等求線段長(zhǎng)【例題5】如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，CD與BE相交于點(diǎn)O，且AD＝AE，∠B＝∠C，若BE＝4，則CD＝．解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個(gè)三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)確定兩個(gè)三角形中邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可證明.【變式51】（2022春?成華區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線BD的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝4，則CE的長(zhǎng)為．【變式52】茗茗用同種材料制成的金屬框架如圖所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周長(zhǎng)為24cm，CF＝3cm，則制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的長(zhǎng)度為cm．【變式53】（2023?青海一模）在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，若AB＝9，AC＝5，則△ABC的中線AD長(zhǎng)的取值范圍是（）A．5＜AD＜9 B．4＜AD＜9 C．2＜AD＜14 D．2＜AD＜7題型六判定三角形的全等求角度題型六判定三角形的全等求角度【例題6】如圖，已知OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，則∠OBC＝（）A．95° B．120° C．50° D．105°解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個(gè)三角形全等,再利用全等三角形的性質(zhì)證明角相等，要注意挖掘圖形中隱含的條件，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式61】（2022春?福山區(qū)期中）如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，∠1＝∠B，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF．（1）求證：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝76°，求∠BAC的度數(shù)．【變式62】（2023春?青羊區(qū)期末）如圖在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度數(shù)．【變式63】（2022秋?湟中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF＝ED，連CF．（1）求證：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．題型七利用三角形全等證明兩直線的位置關(guān)系題型七利用三角形全等證明兩直線的位置關(guān)系【例題7】（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)C、E、B、F在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝CE，試判斷AB和DE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．解題技巧提煉先根據(jù)全等三角形的判定方法得出兩個(gè)三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)得出兩直線的位置關(guān)系（平行或垂直）.【變式71】（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，連接BC，BF，CE．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【變式72】（2023春?萍鄉(xiāng)期末）如圖，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，那么AC與CE有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想并說(shuō)明理由．【變式73】如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，DF∥AC，延長(zhǎng)FD至E，且DE＝DF，聯(lián)結(jié)AE、AF．（1）求證：∠E＝∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求證：AC⊥AB．題型八三角形全等的開(kāi)放探究題題型八三角形全等的開(kāi)放探究題【例題8】如圖，AC＝DC，BC＝EC，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使得△ABC≌△DEC．解題技巧提煉三角形全等中的開(kāi)放題，主要是根據(jù)全等三角形的判定方法添加適當(dāng)?shù)臈l件證明三角形全等，方法比較靈活，答案不唯一,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式81】如圖，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC≌△DEF，則還需添加的一個(gè)條件是（只填一個(gè)即可）．【變式82】如圖，AB＝AE，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加一個(gè)條件是．【變式83】問(wèn)題：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，若．求證：△ABC≌△DEF．在①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③BE＝CF這三個(gè)條件中選擇其中兩個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并完成解答．題型九全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型九全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題9】（2022春?包頭期末）如圖，已知點(diǎn)A，C在線段BD兩側(cè)，AB＝AD，CB＝CD，線段AC，BD相交A于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①∠ABC＝∠ADC；②AC⊥BD；③AC平分∠BAD；④OB＝OD．其中正確的是（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．解題技巧提煉三角形的全等判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要是用來(lái)探究線段、角之間的數(shù)量，因此可利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．【變式91】（2023?禪城區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三點(diǎn)共線，（1）證明：△ABD≌△ACE；（2）證明：∠3＝∠1+∠2．【變式92】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求證：△DCF≌△ECF【變式93】（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，AD∥BC．（1）△ADE與△ACB是否全等？說(shuō)明理由；（2）如果∠B＝30°，∠D＝40°，求∠BAE的度數(shù)．【變式94】（202