2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪教師用書第3章第8節(jié)　正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例

第八節(jié)正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例[考綱](教師用書獨具)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．(對應(yīng)學(xué)生用書第64頁)[基礎(chǔ)知識填充]1．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖3-8-1①)．①②圖3-8-12．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖3-8-1②)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等．[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系．()(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A．10eq\r(,3)nmile B．eq\f(10\r(,6),3)nmileC．5eq\r(,2)nmile D．5eq\r(,6)nmileD[如圖，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(,6).]3．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°B[如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴點A在點B的北偏西15°.]4．如圖3-8-2，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為()圖3-8-2A．50eq\r(3)mB．25eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．50eq\r(2)mD[因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m．]5．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則下午2時兩船之間的距離是________nmile.70[設(shè)兩船之間的距離為d，則deq\s\up7(2)＝50eq\s\up7(2)＋30eq\s\up7(2)－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即兩船相距70nmile.](對應(yīng)學(xué)生用書第65頁)測量距離問題如圖3-8-3，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)【導(dǎo)學(xué)號：97190136】圖3-8-360[如圖所示，過A作AD⊥CB且交CB的延長線于D．在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得eq\f(92,sin113°)＝eq\f(BC,sin37°)，即eq\f(92,sin67°)＝eq\f(BC,sin37°)，解得BC＝eq\f(92sin37°,sin67°)≈60(m)．][規(guī)律方法]求解距離問題的一般步驟1畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題；2明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素；3使用正弦定理、余弦定理解三角形對于解答題，應(yīng)作答.[跟蹤訓(xùn)練]如圖3-8-4所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計算AB的長．圖3-8-4[解]在△ABC中，由余弦定理得ABeq\s\up7(2)＝ACeq\s\up7(2)＋BCeq\s\up7(2)－2AC·BCcos∠ACB，∴ABeq\s\up7(2)＝400eq\s\up7(2)＋600eq\s\up7(2)－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B兩點間的距離為200eq\r(7)m.測量高度問題如圖3-8-5，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m.圖3-8-5100eq\r(6)[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．][易錯警示]解決高度問題的注意事項1在測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.2在實際問題中，可能會遇到空間與平面地面同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.3注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.[跟蹤訓(xùn)練]如圖3-8-6，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為________米．圖3-8-65eq\r(21)[如圖，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．設(shè)OC＝x米，則OA＝eq\f(\r(3),3)x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得ABeq\s\up7(2)＝OAeq\s\up7(2)＋OBeq\s\up7(2)－2OA·OB·cos∠AOB，即35eq\s\up7(2)＝eq\f(x2,3)＋xeq\s\up7(2)－eq\f(2\r(3),3)xeq\s\up7(2)·cos150°，整理得x＝5eq\r(21)，所以此電視塔的高度是5eq\r(21)米．]測量角度問題某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10eq\r(3)海里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．[解]如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有ABeq\s\up7(2)＝ACeq\s\up7(2)＋BCeq\s\up7(2)－2AC·BC·cos120°，可得(10eq\r(3)t)eq\s\up7(2)＝10eq\s\up7(2)＋(10t)eq\s\up7(2)－2×10×10tcos120°.整理得2teq\s\up7(2)－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴艦艇需1小時靠近漁船，此時AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(BC·sin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°.所以艦艇航向為北偏東75°.[易錯警示]解決測量角度問題的注意事項1應(yīng)明確方位角或方向角的含義.2分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.3將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.[跟蹤訓(xùn)練]如圖3-8-7，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值.【導(dǎo)學(xué)號：97190137】圖3-8-7[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BCeq\s\up7(2)＝ABeq\s\up7(2)＋ACeq\s\up7(2)－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正