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試卷第=page11頁(yè),共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形典型解答題1.終邊相同角的表示所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.幾種特殊位置的角的集合(1)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合:{α|α=k·360°,k∈Z}.(2)終邊在x軸非正半軸上的角的集合:{α|α=180°+k·360°,k∈Z}.(3)終邊在x軸上的角的集合:{α|α=k·180°,k∈Z}.(4)終邊在y軸上的角的集合:{α|α=90°+k·180°,k∈Z}.(5)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:{α|α=k·90°,k∈Z}.(6)終邊在y=x上的角的集合:{α|α=45°+k·180°,k∈Z}.(7)終邊在y=-x上的角的集合:{α|α=-45°+k·180°,k∈Z}.(8)終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合:{α|α=k·45°,k∈Z}.3.1弧度的角在圓中,把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用符號(hào)rad表示.4.正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)一般的,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.5.角度制與弧度制的換算(1)1°=eq\f(π,180)rad.(2)1rad=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6.如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|=eq\f(l,r).相關(guān)公式:(1)l=eq\f(nπr,180)=|α|r.(2)S=eq\f(1,2)lr=eq\f(nπr2,360)=eq\f(1,2)|α|r2.7.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y(tǒng).(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=eq\f(y,x)(x≠0).8.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1?sinα=±eq\r(1-cos2α).(2)商的關(guān)系:eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2)k∈Z)).9.三種三角函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx正切函數(shù)y=tanx圖象定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}值域[-1,1](有界性)[-1,1](有界性)R零點(diǎn){x|x=kπ,k∈Z}{x|x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}{x|x=kπ,k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+2kπ)),eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+2kπ))(k∈Z)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+kπ)),eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+kπ))(k∈Z)減區(qū)間[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+kπ,0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))(k∈Z)10.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)z=ωx+φ,令z=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,求出相應(yīng)的x的值與y的值,描點(diǎn)、連線可得.(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí),一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口.(3)圖象變換y=sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y=sin(x+φ)eq\o(→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(縱坐標(biāo)不變))y=sin(ωx+φ)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的AA>0倍),\s\do5(橫坐標(biāo)不變))y=Asin(ωx+φ).11.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式對(duì)于“eq\f(kπ,2)±α,看象限.12.三角函數(shù)恒等變換(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,β≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α+β≠kπ+\f(π,2),k∈Z)),tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,β≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α-β≠kπ+\f(π,2),k∈Z)),sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,2α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α≠kπ±\f(π,4),k∈Z)).(2)輔助角公式acosx+bsinx=eq\r(a2+b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2+b2))cosx+\f(b,\r(a2+b2))sinx)),令sinθ=eq\f(a,\r(a2+b2)),cosθ=eq\f(b,\r(a2+b2)),∴acosx+bsinx=eq\r(a2+b2)sin(x+θ),其中θ為輔助角,tanθ=eq\f(a,b).13.正弦定理及其變形eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R(2R為△ABC外接圓的直徑).變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R).a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.14.余弦定理及其推論、變形a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推論:cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc),cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac),cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab).變形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.15.面積公式S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)absinC.例題1.就實(shí)數(shù)的取值范圍,討論關(guān)于的函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).試卷第=page11頁(yè),共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形典型解答題1.終邊相同角的表示所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.幾種特殊位置的角的集合(1)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合:{α|α=k·360°,k∈Z}.(2)終邊在x軸非正半軸上的角的集合:{α|α=180°+k·360°,k∈Z}.(3)終邊在x軸上的角的集合:{α|α=k·180°,k∈Z}.(4)終邊在y軸上的角的集合:{α|α=90°+k·180°,k∈Z}.(5)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合:{α|α=k·90°,k∈Z}.(6)終邊在y=x上的角的集合:{α|α=45°+k·180°,k∈Z}.(7)終邊在y=-x上的角的集合:{α|α=-45°+k·180°,k∈Z}.(8)終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合:{α|α=k·45°,k∈Z}.3.1弧度的角在圓中,把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用符號(hào)rad表示.4.正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)一般的,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.5.角度制與弧度制的換算(1)1°=eq\f(π,180)rad.(2)1rad=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6.如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|=eq\f(l,r).相關(guān)公式:(1)l=eq\f(nπr,180)=|α|r.(2)S=eq\f(1,2)lr=eq\f(nπr2,360)=eq\f(1,2)|α|r2.7.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y(tǒng).(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=eq\f(y,x)(x≠0).8.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1?sinα=±eq\r(1-cos2α).(2)商的關(guān)系:eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2)k∈Z)).9.三種三角函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx正切函數(shù)y=tanx圖象定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}值域[-1,1](有界性)[-1,1](有界性)R零點(diǎn){x|x=kπ,k∈Z}{x|x=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}{x|x=kπ,k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+2kπ)),eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+2kπ))(k∈Z)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+kπ)),eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+kπ))(k∈Z)減區(qū)間[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(kπ,0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+kπ,0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))(k∈Z)10.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)z=ωx+φ,令z=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,求出相應(yīng)的x的值與y的值,描點(diǎn)、連線可得.(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí),一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口.(3)圖象變換y=sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y=sin(x+φ)eq\o(→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(縱坐標(biāo)不變))y=sin(ωx+φ)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的AA>0倍),\s\do5(橫坐標(biāo)不變))y=Asin(ωx+φ).11.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式對(duì)于“eq\f(kπ,2)±α,看象限.12.三角函數(shù)恒等變換(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,β≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α+β≠kπ+\f(π,2),k∈Z)),tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,β≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α-β≠kπ+\f(π,2),k∈Z)),sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,2α≠kπ+\f(π,2),k∈Z,α≠kπ±\f(π,4),k∈Z)).(2)輔助角公式acosx+bsinx=eq\r(a2+b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2+b2))cosx+\f(b,\r(a2+b2))sinx)),令sinθ=eq\f(a,\r(a2+b2)),cosθ=eq\f(b,\r(a2+b2)),∴acosx+bsinx=eq\r(a2+b2)sin(x+θ),其中θ為輔助角,tanθ=eq\f(a,b).13.正弦定理及其變形eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R(2R為△ABC外接圓的直徑).變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R).a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.14.余弦定理及其推論、變形a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推論:cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc),cosB=eq\f(a2+c2-b
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