高考數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形典型解答題(學(xué)生版+解析)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形典型解答題1．終邊相同角的表示所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．幾種特殊位置的角的集合(1)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)終邊在x軸非正半軸上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．(3)終邊在x軸上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．(4)終邊在y軸上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．(5)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(6)終邊在y＝x上的角的集合：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(7)終邊在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}．(8)終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z}．3．1弧度的角在圓中，把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．4．正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)一般的，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.5．角度制與弧度制的換算(1)1°＝eq\f(π,180)rad.(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6．如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r).相關(guān)公式：(1)l＝eq\f(nπr,180)＝|α|r.(2)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)|α|r2.7．利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng).(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．8．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1?sinα＝±eq\r(1－cos2α).(2)商的關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).9．三種三角函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)y＝sinx余弦函數(shù)y＝cosx正切函數(shù)y＝tanx圖象定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1](有界性)[－1,1](有界性)R零點(diǎn){x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)減區(qū)間[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)10.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出相應(yīng)的x的值與y的值，描點(diǎn)、連線可得．(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口．(3)圖象變換y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(縱坐標(biāo)不變))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的AA>0倍),\s\do5(橫坐標(biāo)不變))y＝Asin(ωx＋φ)．11．準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式對(duì)于“eq\f(kπ,2)±α，看象限．12．三角函數(shù)恒等變換(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α－β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，2α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α≠kπ±\f(π,4)，k∈Z)).(2)輔助角公式acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))cosx＋\f(b,\r(a2＋b2))sinx))，令sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，∴acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)，其中θ為輔助角，tanθ＝eq\f(a,b).13．正弦定理及其變形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.14．余弦定理及其推論、變形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.15．面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC.例題1．就實(shí)數(shù)的取值范圍，討論關(guān)于的函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形典型解答題1．終邊相同角的表示所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．幾種特殊位置的角的集合(1)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)終邊在x軸非正半軸上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．(3)終邊在x軸上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．(4)終邊在y軸上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．(5)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(6)終邊在y＝x上的角的集合：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(7)終邊在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}．(8)終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z}．3．1弧度的角在圓中，把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．4．正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)一般的，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.5．角度制與弧度制的換算(1)1°＝eq\f(π,180)rad.(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6．如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r).相關(guān)公式：(1)l＝eq\f(nπr,180)＝|α|r.(2)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)|α|r2.7．利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng).(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．8．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1?sinα＝±eq\r(1－cos2α).(2)商的關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).9．三種三角函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)y＝sinx余弦函數(shù)y＝cosx正切函數(shù)y＝tanx圖象定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1](有界性)[－1,1](有界性)R零點(diǎn){x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)減區(qū)間[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱(chēng)中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)10.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出相應(yīng)的x的值與y的值，描點(diǎn)、連線可得．(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口．(3)圖象變換y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(縱坐標(biāo)不變))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的AA>0倍),\s\do5(橫坐標(biāo)不變))y＝Asin(ωx＋φ)．11．準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式對(duì)于“eq\f(kπ,2)±α，看象限．12．三角函數(shù)恒等變換(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α－β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，2α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α≠kπ±\f(π,4)，k∈Z)).(2)輔助角公式acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))cosx＋\f(b,\r(a2＋b2))sinx))，令sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，∴acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)，其中θ為輔助角，tanθ＝eq\f(a,b).13．正弦定理及其變形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.14．余弦定理及其推論、變形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b