課時質量評價62　離散型隨機變量的分布列及數字特征-2022屆高三數學一輪復習檢測（新高考）

課時質量評價(六十二)(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．袋中裝有10個紅球、5個黑球．每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數為ξ，則表示“放回5個紅球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5C解析：“放回5個紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.2．(2020·南寧二中高三月考)已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1)，發(fā)球次數為X.若X的數學期望E(X)>1.75，則p的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))A解析：由題可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2).由p∈(0,1)可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故選A．3．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球個數為X.已知E(X)＝3，則D(X)＝()A．eq\f(8,5)B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2,5)B解析：由題意可得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3))).又E(X)＝eq\f(5×3,m＋3)＝3，所以m＝2，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).4．(2020·浙江重點高中聯考)已知0<a<1，隨機變量X的分布列如下：X－101P(1－a)22a(1－a)a2若E(X)＝D(X)，則實數a的值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(2),2)D解析：(方法一)由隨機變量X的分布列及數學期望和方差的計算公式可知，E(X)＝－(1－a)2＋a2＝2a－1，D(X)＝(－1－2a＋1)2(1－a)2＋(－2a＋1)2×2a(1－a)＋(1－2a＋1)2a2＝2a(1－a)．因為E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2).故選D．(方法二)令Y＝X＋1，則X＝Y－1，隨機變量Y的分布列為Y012P(1－a)22a(1－a)a2由二項分布的有關知識可知，Y～B(2，a)，所以E(Y)＝2a，D(Y)＝2a(1－a)，所以E(X)＝E(Y－1)＝E(Y)－1＝2a－1，D(X)＝D(Y－1)＝D(Y)＝2a(1－a)．又E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2).故選D．5．(2020·紅橋區(qū)高三一模)已知一個口袋中裝有3個紅球和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出2個球．若2個球顏色不同則中獎，否則不中獎．設三次摸球中(每次摸球后放回)中獎的次數為ξ，則ξ的期望為()A．eq\f(9,5)B．eq\f(18,5)C．eq\f(6,5)D．eq\f(24,5)A解析：由題意可知，每次摸球中獎的概率p＝1－eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).因此，ξ的期望為E(ξ)＝3×eq\f(3,5)＝eq\f(9,5).故選A．6．簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支．設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數學期望為()A．5B．5.25C．5.8D．4.6B解析：由題意可知，X可以為3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由數學期望的定義可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.7．(2020·福建高三模擬)勤洗手、常通風、戴口罩是切斷某些傳染病傳播的有效手段．經調查，某疫情期間，某小區(qū)居民人人養(yǎng)成了出門戴口罩的好習慣．選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的概率為p，每人是否選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩是相互獨立的．現隨機抽取5位該小區(qū)居民，其中選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數為X，且P(X＝2)<P(X＝3)，D(X)＝1.2，則p的值為________．eq\f(3,5)解析：因為D(X)＝1.2，所以5p(1－p)＝1.2，解得p＝eq\f(3,5)或p＝eq\f(2,5).因為P(X＝2)<P(X＝3)，所以Ceq\o\al(2,5)p2(1－p)3<Ceq\o\al(3,5)p3(1－p)2，解得p>eq\f(1,2)，所以p＝eq\f(3,5).8．2020年高考前第二次適應性訓練結束后，某校對全市的英語成績進行統(tǒng)計，發(fā)現英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N(95,82)的密度曲線非常擬合．據此估計：在全市隨機抽取的4名高三同學中，恰有2名同學的英語成績超過95分的概率為________．eq\f(3,8)解析：由題意可知每名學生的英語成績ξ～N(95,82)，所以P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率p＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(3,8).9．(2020·大港一中高三二模)某中學的十佳校園歌手有6名男同學，4名女同學，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班．現從10名同學中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學來自不同班級的概率為________；設X為選出3名同學中女同學的人數，則該變量X的數學期望為________．eq\f(49,60)eq\f(6,5)解析：設“選出的3名同學來自不同班級”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7)＋C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).由題意知隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)，所以隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以隨機變量X的期望為E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).10．(2021·青島二中月考)某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間(單位：min)進行調查，將收集的數據分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六組，并作出頻率分布直方圖(如圖)．將日均課外體育鍛煉時間不低于40min的學生評價為“課外體育達標”．(1)請根據直方圖中的數據填寫下面的2×2列聯表，并通過計算，判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關．課外體育不達標課外體育達標總計男60女110總計(2)現按照“課外體育達標”與“課外體育不達標”進行分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8名學生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調查．記“課外體育不達標”的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．解：(1)由題意得“課外體育達標”人數為200×[(0.020＋0.005)×10]＝50，則“課外體育不達標”人數為150，所以列聯表如下：課外體育不達標課外體育達標總計男603090女9020110總計15050200所以χ2＝eq\f(200×(60×20－30×90)2,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061<6.635.所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，不能認為“課外體育達標”與性別有關．(2)采用分層隨機抽樣在“課外體育達標”的學生中抽取2人，在“課外體育不達標”的學生中抽取6人，由題意可知，ξ的所有可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)，故ξ的分布列為ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故ξ的數學期望E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).B組新高考培優(yōu)練11．(多選題)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)，D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結論正確的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(4,9)AB解析：因為隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，故B正確；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq\f(2,9)＝2，故C錯誤；在D中，D(X)＝eq\f(2,9)，故D錯誤．故選AB．12．(多選題)某市有A，B，C，D四個景點，一位游客來該市游覽．已知該游客游覽A景點概率為eq\f(2,3)，游覽B，C和D景點的概率都是eq\f(1,2)，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立．用隨機變量X表示該游客游覽的景點的個數，則(ABD)A．游客至多游覽一個景點的概率為eq\f(1,4)B．P(X＝2)＝eq\f(3,8)C．P(X＝4)＝eq\f(1,24)D．E(X)＝eq\f(13,6)13．(多選題)袋內有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取1個小球，直至取到白球后停止取球，則()A．抽取2次后停止取球的概率為eq\f(3,5)B．停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率為eq\f(9,10)C．取球次數ξ的期望為2D．取球次數ξ的方差為eq\f(9,20)BD解析：設取球次數為ξ，可知隨機變量ξ的可能取值有1,2,3，則P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10).對于A選項，抽取2次后停止取球的概率為P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，A選項錯誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數不少于黑球的概率為P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，B選項正確；對于C選項，取球次數ξ的期望為E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)，C選項錯誤；對于D選項，取球次數ξ的方差為D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,10)＝eq\f(9,20)，D選項正確．故選BD．14．(2020·四川南充高三模擬)為弘揚新時代的中國女排精神．甲、乙兩個女排校隊舉行一場友誼比賽，采用五局三勝制(即某隊先贏三局則獲勝，比賽隨即結束)．若兩隊的競技水平和比賽狀態(tài)相當，且每局比賽相互獨立，則比賽結束時已經進行的比賽局數的數學期望是________．eq\f(33,8)解析：因為兩隊的競技水平和比賽狀態(tài)相當，所以每場比賽甲贏或乙贏的概率都是0.5.設比賽結束時已經進行的比賽局數為ξ，則ξ的可能取值為3,4,5.P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，所以ξ的分布列為ξ345Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(3,8)E(ξ)＝3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＝eq\f(33,8).15．某種大型醫(yī)療檢查機器生產商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元．某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器．現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，得下表：維修次數0123臺數5102015以這50臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發(fā)生的概率．記X表示這2臺機器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？解：(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6.P(X＝0)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(1,25)，P(X＝2)＝