2025屆河南省信陽市普通高中高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆河南省信陽市普通高中高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前項和為，則關于的方程的解的個數(shù)為（）A.0 B.1C.無數(shù)個 D.0或無數(shù)個2．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.3．如圖，A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.4．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.5．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.6．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.7．某研究所為了研究近幾年中國留學生回國人數(shù)的情況，對2014至2018年留學生回國人數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學生回國人數(shù)/萬36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)求得留學生回國人數(shù)（單位：萬）與年份代碼滿足的線性回歸方程為，利用回歸方程預測年留學生回國人數(shù)為（）A.63.14萬 B.64.72萬C.66.81萬 D.66.94萬8．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.49．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.10．曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.912．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數(shù)為__________.14．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.15．，若2是與的等比中項，則的最小值為___________.16．在空間直角坐標系中，向量為平面ABC的一個法向量，其中，，則向量的坐標為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三角形ABC中，三個頂點的坐標分別為，，，且D為AC的中點.（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產(chǎn)生的相交弦的長度.18．（12分）已知平面內(nèi)兩點.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求線段的垂直平分線方程.19．（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.20．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點（1）若線段的中點為，求的值；（2）若，求證：原點到直線的距離為定值22．（10分）已知是邊長為2的正方形，正方形繞旋轉形成一個圓柱；（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞順時針旋轉至，求異面直線與所成角的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，當時，，因為，所以無解，即方程的解的個數(shù)為0，當時，，所以時，方程有無數(shù)個偶數(shù)解，當時，方程無解，綜上，關于的方程的解的個數(shù)為0或無數(shù)個.故選：D.2、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B3、B【解析】根據(jù)向量的線性運算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算進行計算可得答案,【詳解】因為，所以=，故選：B.4、C【解析】設出橢圓的標準方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結果.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.5、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.6、B【解析】A.利用正切函數(shù)的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；故選：B7、D【解析】先求出樣本點的中心，代入線性回歸方程即可求出，再將代入線性回歸方程即可得到結果【詳解】由題意知：，，所以樣本點的中心為，所以，解得：，可得線性回歸方程為，年對應的年份代碼為，令，則，所以預測2022年留學生回國人數(shù)為66.94萬，故選：D.8、C【解析】根據(jù)線面關系、距離關系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C9、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數(shù)乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A10、C【解析】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B12、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個數(shù)，第行有個數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個數(shù)，第行從左向右的最后一個數(shù)是，所以第行從左向右的第個數(shù)為.故答案為：14、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；15、3【解析】根據(jù)等比中項列方程，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當且僅當時等號成立.故答案為：16、【解析】根據(jù)向量為平面ABC的一個法向量，由求解.【詳解】因為，，所以，又因為向量為平面ABC的一個法向量，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點，即可求解；（2）根據(jù)題意，結合點到直線的距離，以及弦長公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點，半徑為BC長度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問2詳解】因為D為AC的中點，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長度為.18、（1）（2）【解析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式方程求解即可；（2）求出線段的中點坐標，求出斜率然后求解垂直平分線方程.試題解析：（1）∵點∴∴由點斜式得直線的方程（2）∵點∴線段的中點坐標為∵∴線段的垂直平分線的斜率為∴由點斜式得線段的垂直平分線的方程為19、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【小問1詳解】解：命題“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可得其否定“存在兩個等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問2詳解】解：根據(jù)全稱命題與存在性命題關系，可得：命題的否定為.因為，所以命題為真命題.20、（1）（2）【解析】（1）設是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運用通項公式可得，，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和.【小問1詳解】解：（1）設是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問2詳解】解：，則數(shù)列的前n項和為.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設出兩點的坐標，利用點差法即可求出的值；（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達；根據(jù)，求出，從而可證明原點到直線的距離為定值【小問1詳解】設，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因為線段的中點