2025屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個2．對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則3．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動點(diǎn)P的軌跡是一個周長為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.45．是數(shù)列，，，－17，中的第幾項(xiàng)()A第項(xiàng) B.第項(xiàng)C.第項(xiàng) D.第項(xiàng)6．等差數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.7．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.9．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.410．我國古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人11．在數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.112．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離（）A. B.C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為___________.14．雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則的面積為__________15．在學(xué)習(xí)《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學(xué)們：你想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學(xué)的回答：甲：曲線關(guān)于對稱；乙：曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；丙：曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；?。呵€與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學(xué)回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）16．一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一臺還可以用的機(jī)器由于使用的時(shí)間較長，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/秒)1615129每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關(guān)關(guān)系:（1）求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(參考:回歸直線方程為，其中，）18．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線（1）求及線段BC的長；（2）求△ADE的面積19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為（1）求C的方程；（2）直線與C交于A，B兩點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由21．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，證明：22．（10分）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)n、點(diǎn)都在因數(shù)的圖象上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】①：根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔儯源匠滩蛔?，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，因此本命題正確；④：，因?yàn)?，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】對于選項(xiàng)A，可以舉反例判斷；對于選項(xiàng)BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項(xiàng)錯誤；B.，所以，所以該選項(xiàng)錯誤；C.，所以該選項(xiàng)正確；D.，所以該選項(xiàng)錯誤.故選：C3、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.4、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C5、C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為，公差d＝－4的等差數(shù)列{}，，令，得故選：C6、C【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得.故選：C.7、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導(dǎo)數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當(dāng)時(shí)，取最小值-1，故，故選：D8、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A9、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.10、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項(xiàng)、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B11、A【解析】利用條件可得數(shù)列為周期數(shù)列，再借助周期性計(jì)算得解.【詳解】∵∴，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故選：A.12、B【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：14、【解析】由平行線的性質(zhì)求出斜率，由點(diǎn)斜式求出直線方程，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，所以漸近線方程為，不妨設(shè)直線FB的方程為，將代入雙曲線方程整理，得，解得，，所以，所以故答案為：.15、甲、乙、丙、丁【解析】結(jié)合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比和與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【詳解】對于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線關(guān)于對稱，甲回答正確.對于乙：和兩個點(diǎn)都滿足方程，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，乙回答正確.對于丙：直線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線與曲線都滿足，，，所以在第一象限，直線的圖象在曲線的圖象上方，所以，丙回答正確.對于?。簣A與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線與曲線都滿足，，，，所以在第一象限，曲線的圖象在曲線的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁16、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側(cè)面積為考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).【解析】(1)結(jié)合已知數(shù)據(jù)，代入公式中，先求出，然后求出，進(jìn)而可求出，從而可得回歸方程.(2)由題意得，即可求出轉(zhuǎn)速的最高速度.【詳解】解：(1)由題意知，，所以，則，即關(guān)于的回歸直線方程為.(2)由可得，解得，所以機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).18、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結(jié)合角平分線、中線的性質(zhì)求得三角形的面積.小問1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.【小問2詳解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線，∴，∴.19、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解，?dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍20、（1）（2）見解析【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程得出拋物線方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立，得由，得，假設(shè)C上存在點(diǎn)Q，使得直，則又即存在點(diǎn)滿足條件.21、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即又2