2025屆安徽省合肥市一六八中高二數學第一學期期末經典試題含解析

2025屆安徽省合肥市一六八中高二數學第一學期期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（）A. B.C. D.2．已知定義在上的函數滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.3．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產黨成立100周年慶?；顒訕俗R（圖1），標識由黨徽、數字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現中國共產黨團結帶領中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為的相交大圓，分別內含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.4．下列關于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④5．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.86．已知拋物線的焦點為F，直線l經過點F交拋物線C于A，B兩點，交拋物淺C的準線于點P，若，則為（）A.2 B.3C.4 D.67．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓8．已知、為非零實數，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當它第8次著地時，經過的總路程是（）A. B.C. D.10．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.11．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°12．過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，點是直線上的動點，則的最小值是_____________14．在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數的值為__________.15．已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經過拋物線C的焦點F,則___________16．雙曲線上一點P到的距離最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了了解高二段1000名學生一周課外活動情況，隨機抽取了若干學生的一周課外活動時間，時間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動時間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8（1）求第一組數據的頻率并計算調查中隨機抽取了多少名學生的一周課外活動時間；（2）求這組數據的平均數18．（12分）已知定義域為的函數是奇函數，其中為指數函數且的圖象過點（1）求的表達式；（2）若對任意的．不等式恒成立，求實數的取值范圍；19．（12分）設等差數列的前n項和為，已知（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值20．（12分）已知函數，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標22．（10分）已知函數.（1）當時，求的最大值和最小值；（2）說明的圖象由函數的圖象經過怎樣的變換得到？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據“凹函數”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B2、A【解析】令，利用導數可判斷其單調性，從而可解不等式.【詳解】設，則，故為上的增函數，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.3、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B4、B【解析】根據斜二側直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結論【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤.故選：B.5、C【解析】根據組合數的性質可求解.【詳解】,或，即或.故選：C6、C【解析】由題意可知設,由可得，可求得,，根據模長公式計算即可得出結果.【詳解】由題意可知，準線方程為，設,可知，，解得：，代入到拋物線方程可得：.,故選:C7、A【解析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.8、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.9、C【解析】根據等比數列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經過的路程為，第2次著地到第3次著地經過的路程為，組成以為首項，公比為的等比數列，所以第1次著地到第8次著地經過的路程為，所以經過的總路程是.故答案為：C.10、D【解析】設切點，點，聯立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉化為函數解析式，可利用導數的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.11、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B12、C【解析】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標，求出的值，即可的解.【詳解】設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接根據點到直線的距離公式即可求出【詳解】線段最短時，與直線垂直，所以，的最小值即為點到直線的距離，則.故答案為：.14、##【解析】分析可知，結合空間向量數量積的坐標運算可求得結果.【詳解】由已知可得，，因為，則，即，解得.故答案為：.15、64【解析】用字母進行一般化研究,先求出切點弦方程,再聯立化簡,最后代入數據計算【詳解】設,點處的切線方程為聯立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處的切線方程為設為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經過焦點所以,即聯立得所以所以本題中所以故答案為:64【點睛】結論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為16、2【解析】設出點P的坐標，利用兩點間距離公式結合二次函數求出最小值即可作答.【詳解】設，則，即，于是得，而，則當時，，所以雙曲線上一點P到的距離最小值為2.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.06，50名（2）64（分鐘）【解析】（1）利用頻率和為1可求解頻率，再利用頻率，頻數，總數之間的關系可求解學生人數；（2）平均數：頻率分布直方圖中每個小長方形的中點乘以對應的長方形面積之和；【小問1詳解】設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得所以．所以第一組數據的頻率為，設調查中隨機抽取了n名學生的課外活動時間，則，得，所以調查中隨機抽取了50名學生的課外活動時間小問2詳解】由題意，這組數據的平均數(分鐘)18、（1）；（2）.【解析】（1）設（且），因為的圖象過點，求得a的值，再根據函數f(x)是奇函數，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗是奇函數即可；（2）將分式分離常數后，利用指數函數的性質可以判定f(x)在R上單調遞減，進而結合奇函數的性質將不等式轉化為二次不等式，根據二次函數的圖象和性質，求得對于對任意的恒成立時a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）由題意，設（且），因為的圖象過點，可得，解得，即，所以，又因為為上的奇函數，可得，即，解得，經檢驗，符合，所以（2）由函數，可得在上單調遞減，又因為為奇函數，所以，所以，即，又因為對任意的，不等式恒成立，令，即對任意的恒成立，可得，即，解得，所以實數的取值范圍為【點睛】本題考查函數的奇偶性，指數函數及其性質和函數不等式恒成立問題，關鍵是利用函數的單調性和奇偶性將不等式轉化為二次不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，然后利用二次函數的圖象轉化為二次函數的端點值滿足的條件.另外注意，第一問中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意檢驗對于任意的實數x，f(x)=-f(-x)恒成立.19、（1）（2）10【解析】（1）由等差數列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據新定義求得，然后分組，結合等差數列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設等差數列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當時，因為，則.當時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以20、（1）（2）【解析】（1）根據題意求出值，求導后通過導數的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導數幾何意義得到過P點的切線方程，化簡后構造m的函數，求新函數的極大值極小值即可.【小問1詳解】因為，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問2詳解】設曲線與過點，的切線相切于點，則切線的斜率為，所以切線方程為因為點，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設，則，令，解得或，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，極大值為，所以實數的取值范圍是.21、（1）（2）①；②證明見解析，定點的坐標為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達定理整體思想，列出關于的方程從而得解；②由已知可知，得到關于、的一次關系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點坐標為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯立得.設，，則，解得，∴，，點到直線的距離為，∴，解得（舍去負值），∴.②設，，將與橢圓方程聯立，得，當時，∴