2025屆浙江省臺(tái)州市高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆浙江省臺(tái)州市高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)又本€的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.3．已知三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A.6 B.8C.10 D.124．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A. B.C. D.5．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.36．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.147．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.8．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.10．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－212．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，，則__________14．已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為______15．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上的點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.16．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：（I）直線；（II）．19．（12分）已知圓與直線（1）若，直線與圓相交與，求弦長(zhǎng)（2）若直線與圓無公共點(diǎn)求的取值范圍20．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實(shí)數(shù)取值范圍21．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的中垂線交軸于，當(dāng)變化時(shí)，是否為定值?若是，定值為多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設(shè)知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.2、A【解析】由題意設(shè)直線方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線上求參數(shù)即可得方程.【詳解】由題設(shè)，令直線方程為，所以，可得.所以直線方程為.故選：A.3、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計(jì)算【詳解】由得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由得則，化簡(jiǎn)得所以故選：D4、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：C5、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A6、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點(diǎn)，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.【詳解】因?yàn)闄E圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點(diǎn)，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.7、C【解析】畫出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C8、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.9、D【解析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.10、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A11、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D12、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無實(shí)數(shù)解故過點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】拋物線焦點(diǎn)為,由于直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡(jiǎn)得,解得,故.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義:到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).最后求得面積比.14、【解析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)題意，列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式即．則點(diǎn)的軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求點(diǎn)的軌跡方程【詳解】設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，，點(diǎn)的軌跡方程為，故答案：15、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因?yàn)椋?，整理，得，又，所以，由，解?故答案為：16、【解析】由題意可得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)判斷時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，可得時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令可得，若函數(shù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則可得方程有三個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，是以為頂點(diǎn)開口向下的拋物線，此時(shí)與的圖象沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出其圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.18、（I）證明見解析（II）證明見解析【解析】證明：（I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)（II），又，所以19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求弦長(zhǎng)；（2）由圓心到直線的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)（2）若直線與圓無公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑解得或20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】圓：圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）通過構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.22、（1）（2）是，【解析】(1)由拋物線方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)列出，的方程，解方