2024中考數(shù)學重難點專練規(guī)律探究問題含解析

選擇題1.下面擺放的圖案，從其次個起，每個都是前一個按順時針方向旋轉90°得到，第2024個圖案中箭頭的指向是（）A．上方 B．右方 C．下方 D．左方【答案】C【解析】如圖所示：每旋轉4次一周，2024÷4＝504…3，則第2024個圖案中箭頭的指向與第3個圖案方向一樣，箭頭的指向是下方．故選：C．2.對于題目：“如圖1，平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù)n．”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長x，再取最小整數(shù)n．甲：如圖2，思路是當x為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取n＝13．乙：如圖3，思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取n＝14．丙：如圖4，思路是當x為矩形的長與寬之和的倍時就可移轉過去；結果取n＝13．下列正確的是（）A．甲的思路錯，他的n值對 B．乙的思路和他的n值都對 C．甲和丙的n值都對 D．甲、乙的思路都錯，而丙的思路對【答案】B【解析】甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，但是計算錯誤，應為n＝14；乙的思路與計算都正確；乙的思路與計算都錯誤，圖示狀況不是最長；故選：B．3.如圖，在平面直角坐標系中，點A1、A2、A3…An在x軸上，B1、B2、B3…Bn在直線y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為S1、S2、S3…Sn．則Sn可表示為（）A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3【答案】D【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，∵直線y＝x與x軸的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；故選：D．4.如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的多次復制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點從為坐標原點）動身，以每秒米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點的縱坐標為A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】點運動一個用時為秒．如圖，作于，與交于點．在中，，，，，，第1秒時點運動到點，縱坐標為1；第2秒時點運動到點，縱坐標為0；第3秒時點運動到點，縱坐標為；第4秒時點運動到點，縱坐標為0；第5秒時點運動到點，縱坐標為1；，點的縱坐標以1，0，，0四個數(shù)為一個周期依次循環(huán)，，第2024秒時點的縱坐標為是．故選：B．5.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形OABC繞點O順時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么點A2024的坐標是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【答案】A【解析】∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，發(fā)覺是8次一循環(huán)，所以2024÷8＝252…余3，∴點A2024的坐標為（，﹣）故選：A．6.在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點O動身，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路途如圖所示，第一次移動到點A1，其次次移動到點A2……第n次移動到點An，則點A2024的坐標是（）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2024÷4＝504…3，所以A2024的坐標為（504×2+1，0），則A2024的坐標是（1009，0）．故選：C．7.按肯定規(guī)律排列的單項式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n個單項式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1【答案】A【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n個單項式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故選：A．8.如圖，過點A0（0，1）作y軸的垂線交直線l：y＝x于點A1，過點A1作直線l的垂線，交y軸于點A2，過點A2作y軸的垂線交直線l于點A3，…，這樣依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面積分別記為S1，S2，S3，…，則S100為（）A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395【答案】D【解析】∵點A0的坐標是（0，1），∴OA0＝1，∵點A1在直線y＝x上，∴OA1＝2，A0A1＝，∴OA2＝4，∴OA3＝8，∴OA4＝16，得出OAn＝2n，∴AnAn+1＝2n?，∴OA198＝2198，A198A199＝2198?，∵S1＝（4﹣1）?＝，∵A2A1∥A200A199，∴△A0A1A2∽△A198A199A200，∴＝（）2，∴S＝2396?＝3×2395故選：D．9.如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（）A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D【解析】∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉結束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°，∴點D的坐標為（3，﹣10）．故選：D．10.如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，綻開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2024次操作時，余下紙片的面積為（）A．22024 B． C． D．【答案】C【解析】正方形紙片四角向內折疊，使四個頂點重合，綻開后沿折痕剪開，第一次：余下面積，其次次：余下面積，第三次：余下面積，當完成第2024次操作時，余下紙片的面積為，故選：C．二、填空題11.在平面直角坐標系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個正方形對角線長的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由題意可得，點A1的坐標為（0，1），點A2的坐標為（1，2），點A3的坐標為（3，4），點A4的坐標為（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n個正方形對角線長的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），設S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，則2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，則2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n個正方形對角線長的和是：×（2n﹣1），故答案為：（2n﹣1），12.如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標原點O，它們的半徑分別為1，2，3，…，依據(jù)“加1”依次遞增；一組平行線，l0，l1，l2，l3，…都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為l，其中l(wèi)0與y軸重合若半徑為2的圓與l1在第一象限內交于點P1，半徑為3的圓與l2在第一象限內交于點P2，…，半徑為n+1的圓與ln在第一象限內交于點Pn，則點Pn的坐標為．（n為正整數(shù)）【答案】（n,eq\r(2n+1)）【解析】連接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3與x軸分別交于A1、A2、A3，如圖所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐標為（1，），P2的坐標為（2，），P3的坐標為（3，），……，…依據(jù)此規(guī)律可得點Pn的坐標是（n，），即（n，eq\r(2n+1)）故答案為：（n，eq\r(2n+1)）．13.如圖，由兩個長為2，寬為1的長方形組成“7”字圖形。（1）將一個“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標系中，記為“7”字圖形ABCDEF，其中頂點A位于x軸上，頂點B，D位于y軸上，O為坐標原點，則的值為．（2）在（1）的基礎上，接著擺放其次個“7”字圖形得頂點F1，擺放第三個“7”字圖形得頂點F2，依此類推，…，擺放第a個“7”字圖形得頂點Fn-1，…，則頂點F2024的坐標為．【答案】（1)（2）（,）【解析】(1)依題意可得，CD=1，CB=2∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°∴∠BDC=∠OBA又∠DCB=∠BOA=90°∴△DCB∽△BOA∴eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)依據(jù)題意標好字母，如圖所示依題意可得CD=1，CB=2，BA=1∴BD=EQ\R(5)由（1）知eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)，∴OB=EQ\F(\R(5),5),OA=EQ\F(2\R(5),5)易得△OAB∽△GFA∽△HCB∴BH=EQ\F(4\R(5),5)，CH=EQ\F(2\R(5),5)，AG=EQ\F(3\R(5),5)，F(xiàn)G=EQ\F(6\R(5),5)∴OH=EQ\F(4\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)=EQ\R(5)，OG=EQ\F(3\R(5),5)+EQ\F(2\R(5),5)=EQ\R(5)∴C（EQ\F(2\R(5),5)，EQ\R(5)）．F（EQ\R(5)，EQ\F(6\R(5),5)）∴由點C到點F橫坐標增加了EQ\F(3\R(5),5)，縱坐標增加了EQ\F(\R(5),5)，……∴，F(xiàn)n(EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)n,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)n)∴F2024（EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)×2024,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)×2024)即F2024（eq\f(6062\r(5),5),405eq\r(5))14.如圖，在矩形中，，，一發(fā)光電子起先置于邊的點處，并設定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向放射，碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經過2024次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是．【答案】672【解析】如圖，依據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經過6次反彈后動點回到動身點，且每次循環(huán)它與邊的碰撞有2次，，當點第2024次遇到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的第3次反彈，點的坐標為它與邊的碰撞次數(shù)是次，故答案為67215.正方形，，，按如圖所示的方式放置，點，，，和點，，，分別在直線和軸上．已知點，點，則的坐標是．【答案】(47,16)【解析】由題意可知縱坐標為1，的縱坐標為2，的縱坐標為4，的縱坐標為8，，和，和，和，和的縱坐標相同，，，，，的縱坐標分別為1，2，4，8，16，依據(jù)圖象得出，，，直線的解析式為，的縱坐標為16，的縱坐標為16，把代入，解得，的坐標是，故答案為．三、解答題16.（1）閱讀理解如圖，點A，B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，連接AB，取線段AB的中點C．分別過點A，C，B作x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，G，CF交反比例函數(shù)y＝的圖象于點D．點E，F(xiàn)，G的橫坐標分別為n﹣1，n，n+1（n＞1）．小紅通過視察反比例函數(shù)y＝的圖象，并運用幾何學問得出結論：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一個關于，，，之間數(shù)量關系的命題：若n＞1，則．（2）證明命題小東認為：可以通過“若a﹣b≥0，則a≥b”的思路證明上述命題．小晴認為：可以通過“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，則a≥b”的思路證明上述命題．請你選擇一種方法證明（1）中的命題．【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，∴+＞．故答案為：+＞．（2）方法一：∵+﹣＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．17.（1）方法選擇如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，AB＝BC＝AC．求證：BD＝AD+CD．小穎認為可用截長法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM…小軍認為可用補短法證明：延長CD至點N，使得DN＝AD…請你選擇一種方法證明．（2）類比探究探究1如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD，BC是⊙O的直徑，AB＝AC．試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關系，井證明你的結論．探究2如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關系式是．（3）拓展猜想如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關系式是．【解析】（1）方法選擇：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如圖①，在BD上截取DEMAD，連接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）類比探究：如圖②，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，過A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠