《空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示》題型突破

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示》題型突破重難點(diǎn)突破1.空間向量的坐標(biāo)表示設(shè)Ax1yAB這表明一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).2.空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱問題對(duì)稱問題常利用對(duì)稱的定義求解:一般地,點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy,Oyz,Ozx的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xy-z,-xyz,x-yz;關(guān)于x軸、y軸、z3.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示完全一致.設(shè)a=aaaλa當(dāng)b≠0時(shí),a//b4.空間向量的模的公式與夾角公式(1)空間向量的模的公式設(shè)a=a1a(2)空間向量的夾角公式設(shè)a=a1a注意:(1)當(dāng)cosab=1時(shí),a與(2)當(dāng)cosab=-1時(shí),a與(3)當(dāng)cosab=0時(shí)5.空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用設(shè)P1則P1求解距離問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定點(diǎn)的坐標(biāo),正確使用空間兩點(diǎn)間的距離公式.若是在具體的立體幾何問題中,則需建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,結(jié)合具體的圖形特征,利用空間兩點(diǎn)的距離公式求解.6.利用坐標(biāo)法求解立體幾何問題時(shí)的三個(gè)步驟:(1)在立體幾何圖形中建立空間直角坐標(biāo)系;(2)依題意確定各相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)通過坐標(biāo)運(yùn)算得到答案.典型例題剖析題型1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示例1已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是2-12,45-1,(1)OP=(2)AP=解析:利用向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB,AC,然后進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算得到OP,AP,答案:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是2-12,所以AB=(1)OP=12AB-AC=1(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為xyz,則AP=(x-2,y+1由(1)知,AP=則x-2=3,y+1=3所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為51變式訓(xùn)練1已知空間三點(diǎn)A-202,B(-1,1,2),C-30答案:因?yàn)锳-2所以AB=-11所以2AB+3AC題型2空間向量的平行與垂直例2已知A100,B010解析:由已知條件DB//AC,DC//AB,轉(zhuǎn)化為向量平行,用共線向量定理及空間向量平行的坐標(biāo)表示,可求得點(diǎn)D的坐標(biāo).答案:設(shè)Dxyz,由DB//AC,可設(shè)DB=λ即-x1-y則-x=-λ,1-y=0,-z=2λ,解得x=λ,y=1,z=-2λ,所以DC=又DC//AB,所以DC//AB,設(shè)即-λ-1則-λ=-μ,解得λ=μ=-1.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為-11變式訓(xùn)練2如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱A答案:如圖所示,以CACBCC1為正交基底依題意得B010,A1于是A1所以A1所以A1故A1題型3用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題例3如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點(diǎn),G(1)求證:EF?B(2)求EF與C1G(3)求FH的長(zhǎng).解析:根據(jù)正方體的特殊性,可考慮建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo),利用數(shù)量積、夾角、模的坐標(biāo)表示公式即可.答案:(1)如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,易知E001因?yàn)镋F=12所以EF?所以EF?B1C(2)由(1)易知C1所以C1所以cosEF即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為(3)由(1)知F1所以FH=所以|FH即FH的長(zhǎng)為418變式訓(xùn)練3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90(1)求BN的長(zhǎng);(2)求BA1與B答案:如圖,以CACBC(1)依題意得B0所以|BN|=1-02+0-1(2)依題意得A1102所以BA又BA所以cosBA1CB1=B規(guī)律方法總結(jié)1.用坐標(biāo)表示空間向量的步驟:2.(1)判斷空間向量垂直或平行的步驟:①向量化:將空間中的垂直或平行轉(zhuǎn)化為向量的