浙江省杭州市西湖區(qū)三墩中學2023-2024學年上學期期中考試八年級數(shù)學試卷

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)三墩中學八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）第19屆亞運會在浙江杭州成功舉辦．下列圖形中是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）若，則下列式子正確的是A． B． C． D．3．（3分）下列語句是命題的是A．作直線的垂線 B．同旁內角互補 C．在線段上取點 D．垂線段最短嗎？4．（3分）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出△的是A．，， B．，， C．，， D．，5．（3分）如圖，于點，于點，．要根據(jù)“”證明，則還需要添加的條件A． B． C． D．6．（3分）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，則線段的長為A．9 B．6 C．5 D．47．（3分）如圖，中，，的中垂線交于，交于，若，，則的周長為A．16 B．14 C．20 D．188．（3分）如圖，在中，，，是邊上的一個動點（不與頂點重合），則的度數(shù)可能是A． B． C． D．9．（3分）如圖，在中，，下列尺規(guī)作圖，不能得到的是A． B． C． D．10．（3分）如圖，中，，點，分別是，的中點，在上找一點，使最小，則這個最小值是．二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）根據(jù)“的4倍小于3”，列不等式：．12．（4分）命題“對頂角相等”的逆命題是，這個逆命題是命題．13．（4分）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中等于．14．（4分）如圖，、和、、分別在的兩邊上，且，若，則的度數(shù)是．15．（4分）在△中，，其中一腰上的高為3，求底邊．16．（4分）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點落在邊上的點處，折痕為．（1）已知，，則度；（2）如果，，則．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）在下面三個的方格中，各作出一個與圖中三角形成軸對稱的圖形，且所畫圖形的頂點與方格中小正方形的頂點重合，并給所畫圖形涂上陰影（所畫的三個圖形不能重復）．18．（6分）如圖，點，在上，，，，與交于點．（1）試說明：；（2）試判斷的形狀，并說明理由．19．（6分）如圖，在△中，，．（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線交于，交于；（2）連結，求證：平分．20．（6分）已知中，，，，．（1）若，．求；（2）若，．求．21．（8分）如圖，已知平分，于，于，且，（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（10分）△、△均為等腰直角三角形．（1）連接，，如圖，若當，，求；．（2）繞點旋轉到一定角度后，如圖．①求證：△△；②探究與的數(shù)量和位置關系．23．（12分）勾股定理在幾何問題中有著廣泛地應用，大約公元222年，中國古代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個完全一樣直角三角形可以拼成圖1的大正方形，采用面積法證明．（1）類比證明：伽菲爾德年任美國第20屆總統(tǒng)）于1876年4月1日《新英格蘭教育日志》上證明勾股定理．在△和△中，，易證△△．請你用兩種不同的方法表示梯形的面積（圖，并證明：．（2）嘗試畫圖：正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．①畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；②畫一個三邊長都為無理數(shù)的直角三角形；③畫一個鈍角三角形，使它的面積為4．（3）拓展應用：如圖3，在直線上依次擺放五個正方形．已知斜放兩個正方形的面積分別是2、3，正放三個正方形的面積依次是，，，則（直接寫出答案）．24．（12分）如圖，在△中，，，，在射線上有一動點．（1）求長；（2）當△為直角三角形時，求值；（3）當△為等腰三角形時，求值．

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)三墩中學八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）第19屆亞運會在浙江杭州成功舉辦．下列圖形中是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項判斷即可．【解答】解：、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；、圖形是軸對稱圖形，符合題意；、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意．故選：．【點評】本題考查軸對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．（3分）若，則下列式子正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用不等式的基本性質分別判斷得出答案．【解答】解：、，，故此選項錯誤，不符合題意；、，，故此選項錯誤，不符合題意；、，，故此選項錯誤，不符合題意；、，，故此選項正確，符合題意；故選：．【點評】此題主要考查了不等式的基本性質，正確把握不等式的基本性質是解題關鍵．3．（3分）下列語句是命題的是A．作直線的垂線 B．同旁內角互補 C．在線段上取點 D．垂線段最短嗎？【分析】根據(jù)命題的定義分別進行判斷即可．【解答】解：、作直線的垂線為描敘性語言，不是命題，所以選項錯誤；、同旁內角互補為命題，所以選項正確；、在線段上取點為描敘性語言，不是命題，所以選項錯誤；、垂線段最短嗎為疑問句，不是命題，所以選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．4．（3分）根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出△的是A．，， B．，， C．，， D．，【分析】要滿足唯一畫出△，就要求選項給出的條件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫出的圖形不一樣，也就是三角形不唯一，而各選項中只有選項符合，是滿足題目要求的，于是答案可得．【解答】解：、因為，所以這三邊不能構成三角形；、因為不是已知兩邊的夾角，無法確定其他角的度數(shù)與邊的長度；、已知兩角可得到第三個角的度數(shù)，已知一邊，則可以根據(jù)來畫一個三角形；、只有一個角和一個邊無法根據(jù)此作出一個三角形．故選：．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定及三角形的作圖方法等知識點；能畫出唯一三角形的條件一定要滿足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的畫出的三角形不確定，當然不唯一．5．（3分）如圖，于點，于點，．要根據(jù)“”證明，則還需要添加的條件A． B． C． D．【分析】由斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，即可得到答案．【解答】解：于點，于點，．要根據(jù)“”證明，還需要添加的條件是．故選：．【點評】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是掌握直角三角形全等的判定方法：．6．（3分）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，則線段的長為A．9 B．6 C．5 D．4【分析】根據(jù)中，和的平分線相交于點．求證，，再利用兩直線平行內錯角相等，求證出，，即，，然后利用等量代換即可求出線段的長．【解答】解：和的平分線相交于點，，，，交于點，交于點，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查了學生對等腰三角形的判定與性質和平行線段性質的理解和掌握，此題難度不大，是一道基礎題．7．（3分）如圖，中，，的中垂線交于，交于，若，，則的周長為A．16 B．14 C．20 D．18【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再由線段垂直平分線的性質得出，即，再由即可求出答案．【解答】解：中，，，，，是線段的垂直平分線，，，即，的周長．故選：．【點評】本題考查的是勾股定理及線段垂直平分線的性質，能根據(jù)線段垂直平分線的性質求出是解答此題的關鍵．8．（3分）如圖，在中，，，是邊上的一個動點（不與頂點重合），則的度數(shù)可能是A． B． C． D．【分析】只要證明即可解決問題．【解答】解：，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（3分）如圖，在中，，下列尺規(guī)作圖，不能得到的是A． B． C． D．【分析】利用等腰三角形的性質，三角形的外角的性質一一判斷即可．【解答】解：、由作圖可知，，，本選項不符合題意；、由作圖可知，，，，，本選項不符合題意；、由作圖可知，點在線段的垂直平分線上，，，，本選項不符合題意．、無法判斷，．故選：．【點評】本題考查作圖復雜作圖，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．10．（3分）如圖，中，，點，分別是，的中點，在上找一點，使最小，則這個最小值是．【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化，的值，從而找出其最小值．【解答】解：如圖，連接，，則，，當、、三點共線時，的值最小，中，，點，分別是，的中點，，，的最小值是．故答案為：．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，解題時注意轉化思想的運用．二、填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）根據(jù)“的4倍小于3”，列不等式：．【分析】根據(jù)題意和運算順序列式即可．【解答】解：由題意，不等式為：，故答案為：．【點評】本題考查列不等式，理解題意，以及運算順序，掌握列不等式的方法是解題關鍵．12．（4分）命題“對頂角相等”的逆命題是相等的角是對頂角，這個逆命題是命題．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【解答】解：“對頂角相等”的條件是：兩個角是對頂角，結論是：這兩個角相等，所以逆命題是：相等的角是對頂角，它是假命題．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．13．（4分）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中等于75．【分析】在圖中標記，，利用三角形的外角性質，可求出的度數(shù)，再結合，即可求出的度數(shù)．【解答】解：在圖中標記，，如圖所示，，又，．故答案為：75．【點評】本題考查了三角形的外角性質，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關鍵．14．（4分）如圖，、和、、分別在的兩邊上，且，若，則的度數(shù)是．【分析】由，根據(jù)等腰三角形的性質，即可得，，，，又由三角形外角的性質與，即可求得的度數(shù)．【解答】解：，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點評】此題考查了等腰三角形的性質與三角形外角的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．15．（4分）在△中，，其中一腰上的高為3，求底邊或．【分析】分兩種情況：①當?shù)走呥吷系母邽?時；②當腰上的高時，且在三角形內部時；③當高在△的外部時；根據(jù)勾股定理先求得，根據(jù)線段的和差求得，根據(jù)勾股定理求得底邊的長．【解答】解：分兩種情況：①當腰上的高，且在三角形內部時，如圖1所示：則，，；②當高在△的外部時，如圖2所示：在△中，，高，，，；綜上所述：底邊的長是或．故答案為：或．【點評】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質．注意熟練運用勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．16．（4分）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點落在邊上的點處，折痕為．（1）已知，，則90度；（2）如果，，則．【分析】（1）由，折疊等腰三角形紙片，使點落在邊上的點處，可得，即得，而，故；（2）根據(jù)，，得，設，則，在△中，可列方程，即可解得．【解答】解：（1），，折疊等腰三角形紙片，使點落在邊上的點處，，，，即，，，，，故答案為：90；（2），，，設，則，折疊等腰三角形紙片，使點落在邊上的點處，，在△中，由勾股定理得，解得，．故答案為：．【點評】本題考查等腰三角形中的折疊問題，涉及勾股定理、三角形內角和等知識，解題的關鍵是掌握折疊的性質，熟練應用勾股定理列方程解決問題．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）在下面三個的方格中，各作出一個與圖中三角形成軸對稱的圖形，且所畫圖形的頂點與方格中小正方形的頂點重合，并給所畫圖形涂上陰影（所畫的三個圖形不能重復）．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質判斷即可．【解答】解：如圖，三角形即為所求作．【點評】本題考查利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．18．（6分）如圖，點，在上，，，，與交于點．（1）試說明：；（2）試判斷的形狀，并說明理由．【分析】（1）利用等式的性質可以證得，則依據(jù)即可證得三角形全等；（2）依據(jù)全等三角形的性質，即可證得，然后依據(jù)等角對等邊從而證得．【解答】解：（1），，在和中，，；（2），，，即是等腰三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定于性質，以及等腰三角形的判定定理：等角對等邊，正確證明兩個三角形全等是關鍵．19．（6分）如圖，在△中，，．（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線交于，交于；（2）連結，求證：平分．【分析】（1）直接作出的垂直平分線得出即可；（2）利用等腰三角形的性質以及垂直平分線的性質得出即可．【解答】（1）解：如圖，即為所求；（2）證明：，，，垂直平分，，，平分．【點評】此題主要考查了作圖基本作圖，線段垂直平分線的作法以及其性質，等腰三角形的性質，根據(jù)已知得出是解題關鍵．20．（6分）已知中，，，，．（1）若，．求；（2）若，．求．【分析】（1）根據(jù)勾股定理，可以計算出的值；（2）根據(jù)勾股定理，可以計算出的值．【解答】解：（1），，，，，，，即的值是；（2），，，，，，，即的值是8．【點評】本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理的知識解答．21．（8分）如圖，已知平分，于，于，且，（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)已知條件可得和，和都是直角三角形，然后利用即可證明；（2）先證明，可得．進而可以解決問題．【解答】（1）證明：平分，于點，于點，，，和，和都是直角三角形．在和中，，；（2）解：在和中，，，．由（1）知，，．，，，，，．【點評】本題考查了全等三角形判定與性質，角平分線的性質，解決本題的關鍵是得到．22．（10分）△、△均為等腰直角三角形．（1）連接，，如圖，若當，，求2；．（2）繞點旋轉到一定角度后，如圖．①求證：△△；②探究與的數(shù)量和位置關系．【分析】（1）證明△△，得出，，再利用直角三角形性質求出長即可解決問題；（2）①先證明，即可證出全等；②根據(jù)全等三角形性質得出與的數(shù)量和位置關系．【解答】解：（1）△、△均為等腰直角三角形，，，，，△△，在△中，，，，，，，故答案為：2，；（2）①△、△均為等腰直角三角形，，，，，即，△△；②，，理由如下：△△，，，，，，．【點評】本題考查了全等三角形判定與性質及直角三角形性質，旋轉的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．23．（12分）勾股定理在幾何問題中有著廣泛地應用，大約公元222年，中國古代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個完全一樣直角三角形可以拼成圖1的大正方形，采用面積法證明．（1）類比證明：伽菲爾德年任美國第20屆總統(tǒng)）于1876年4月1日《新英格蘭教育日志》上證明勾股定理．在△和△中，，易證△△．請你用兩種不同的方法表示梯形的面積（圖，并證明：．（2）嘗試畫圖：正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．①畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；②畫一個三邊長都為無理數(shù)的直角三角形；③畫一個鈍角三角形，使它的面積為4．（3）拓展應用：如圖3，在直線上依次擺放五