山東省新泰市紫光實驗中學2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題

新泰市紫光實驗中學2024年開學檢測高二數(shù)學試題

一、選擇題(共40分)1．(5分)已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，下列說法正確的是()A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2．(5分)已知兩個單位向量，的夾角為，則()A. B.3 C. D.53．(5分)平行六面體中，底面為正方形，，，E為的中點，則異面直線BE和DC所成角的余弦值為()A.0 B. C. D.4．(5分)已知矩形ABCD的長,寬.點P在線段BD上運動（不與B,D兩點重合）,則的取值范圍是()A. B. C. D.5．(5分)已知非零向量，滿足：向量與向量垂直，且向量與向量垂直，則與的夾角為()A. B. C. D.6．(5分)如圖，在中，E是的中點，,,與交于點M，則()A. B. C. D.7．(5分)已知向量,，若，則()A. B. C. D.8．(5分)如圖，在長方體中，，，，，，則直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、多項選擇題(共18分)9．(6分)已知非零向量,,,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則 B.若則C.若,則 D.向量與向量垂直10．(6分)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則()A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為11．(6分)中,角A,B,C所對的邊為a,b,c下列敘述正確的是()A.若,則一定是銳角三角形B.若,則一定是等邊三角形C.若,則D.若,則三、填空題(共10分)12．(5分)若向量,,且,則________.13．(5分)已知三棱錐的體積為6，M是空間中一點，，則三棱錐的體積是________.四、雙空題(共5分)14．(5分)已知球的半徑為3,則該球的表面積等于____________,則該球的體積等于_________.五、解答題(共77分)15．(13分)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求角B的大??；(2)若，，求的面積.16．(15分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,,,,.（1）求證:平面PAB.（2）在棱PA上是否存在點M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.17．(15分)如圖，等腰梯形ABCD中，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.(1)證明：面面ACD；(2)若M為PD上的一點，點P到面ACM的距離為，求的值及平面MAC和平面DAC夾角的余弦值.18．(17分)如圖，四棱錐中，底面，，，.（1）若，證明：平面PBC；（2）若，且二面角的正弦值為，求AD.19．(17分)如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，M為棱PC的中點.（1）證明：平面PAD；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是？若存在，求出PQ的值；若不存在，說明理由.

參考答案1．答案：D解析：對于A，若，，，則或者l,m異面，故A錯誤，對于B，若，，且l與，的交線垂直，才有，否則l與不一定垂直，故B錯誤，對于C，若，，則或者，故C錯誤，對于D，若，，則，D正確，故選：D2．答案：A解析：因為兩個單位向量，的夾角為，所以，所以.故選：A3．答案：A解析：由題意，，，又，，所以，即有，故選：A.4．答案：A解析：由題意得,點P在線段BD上,設(shè),,,且.以A為坐標原點,建立平面直角坐標系如圖所示,則,,,,則,由,故,所以,由于,所以.故選:A.5．答案：C解析：因為向量與向量垂直，所以，所以，因為向量與向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即與的夾角為.故選：C6．答案：A解析：在中，設(shè)，由，可得，故.又E是的中點，，所以,，所以.由點E,M,F三點共線，可得，解得，故.故選：A.7．答案：D解析：因為，，所以，，由可得，，即，整理得：.故選：D.8．答案：B解析：取上靠近的三等分點F，取上三等分點H,E，連接，，，，，，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以直線與所成角即為直線與所成角，，由正方體的性質(zhì)可得：平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，所以直線與所成角的余弦值為.故選：B.9．答案：ABD解析：對于選項A,因為為非零向量,若,則,故,所以選項A正確,對于選項B,若,故,所以選項В正確,對于選項C,若,則,得到,不能確定,所以選項C錯誤,對于選項D,,故,所以選項D正確,故選：ABD.10．答案：AC解析：對于A，依題意，圓錐母線長，，，所以底面圓的半徑，圓錐的體積為，故A正確；對于B，該圓錐的側(cè)面積為；故B錯誤；對于C，如圖，取AC的中點M，連接PM，OM，則，又因為，所以，故為二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正確；對于D，由選項C可知，，，，所以的面積為，故D錯誤.故選AC.11．答案：BC解析：對于A選項,在中,因為,又,所以,即C為銳角,但題中沒有告訴C最大,所以不一定是銳角三角形,故A錯誤;對于B選項,,由正弦定理得,整理得,即,一定是等邊三角形,故B正確;對于C選項,因為,在單調(diào)遞減,所以,故C正確;對于D選項,由,得,所以,由余弦定理可得,,當且僅當時,等號成立,則當,時,,即角可以大于,故D錯誤;故選:BC.12．答案：/解析：因為,所以,解得.故答案為:13．答案：4解析：，故，，不妨令，則，又，故點H，A，B，C共面，故.故答案為：4.14．答案：;解析：因為球的半徑為3,所以球的表面積為,體積為.故答案為：,.15．答案：(1)；(2)或解析：（1）方法一即得：方法二：得即得：（2）由余弦定理得：.得：或或.方法二：由正弦定理：或或.16．答案：（1）證明見解析;（2）存在,的值為.解析：（1）因為平面平面ABCD,且平面平面,,平面ABCD,所以平面PAD,因為平面PAD,所以,又因為,,所以平面PAB.（2）假設(shè)在棱PA上是否存在點M,使得平面PCD,取AD中點O,連接OC,OP,如下圖:因為,,所以,,從而,故平面PAD,又因為平面平面ABCD,且平面平面,所以平面ABCD,以O(shè)為坐標原點,OC,OA,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如下圖:由題意可知,,,,,設(shè),因為點M在棱PA上,故,,所以,故,設(shè)平面PCD的法向量為,故,令,則,,從而平面PCD的法向量可以取,因為平面PCD,所以,解得,,故假設(shè)成立,存在這樣的點M,使得平面PCD,此時,即,從而.17．答案：(1)答案見解析；(2)，解析：(1)如圖所示，在梯形ABCD中，取AD中點N，連接CN，易知四邊形ABCN為平行四邊形，可得，即，又，平面PAC，所以平面，因為平面，所以面面；(2)取AC的中點O，則，因為，所以，結(jié)合(1)的結(jié)論，可以以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)，即，設(shè)面ACM的一個法向量為，則有，令，即，則點P到面ACM的距離為，即；易知平面ACD的一個法向量可為，設(shè)平面MAC和平面DAC夾角為，易知,所以.18．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：由于底面，底面，，又，，平面，平面PAB，又平面，.，，，平面，平面，平面PBC.（2）由題意知DC，AD，AP兩兩垂直，以D為坐標原點，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點D且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，，則，，，，，.設(shè)平面CPD的法向量為，則，即，可取.設(shè)平面ACP的法向量為，則，即，可取.二面角的正弦值為，余弦值的絕對值為，故，又，，即.19．答案：（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，解析：（1）取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：為棱PC的中點，，，，，，，四邊形ABMN是平行四邊形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD.（2），，，，，平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD，又AD，平面ABCD，，而，，以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直