5.1.4-用樣本估計(jì)總體學(xué)案

5.1.4用樣本估計(jì)總體考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征掌握利用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差通過頻率分布或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)掌握通過樣本的頻率分布或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)【教學(xué)重點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征、通過頻率分布或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)【教學(xué)難點(diǎn)】通過頻率分布或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)作出總體估計(jì)問題1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)1：一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征。特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也成為樣本方差）與總體對(duì)應(yīng)地值問題2：分層抽樣下用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)2：假設(shè)第一層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為；第二層有個(gè)數(shù)，分別為，平均數(shù)為，方差為，則如果記樣本均值為，樣本方差為，則可以計(jì)算出問題3.用樣本的分布估計(jì)總體的分布知識(shí)點(diǎn)3：同數(shù)字特征的估計(jì)一樣，分布的估計(jì)一般也有誤差。如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為：，樣本每一組對(duì)應(yīng)的頻率為，一般來說，0，同樣，當(dāng)樣本的容量越來越大時(shí)，.例1.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：Kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.【變式練習(xí)】1．某醫(yī)院急診中心關(guān)于病人等待急診的時(shí)間記錄如下：等待時(shí)間/min510152021頻數(shù)18521則病人候診時(shí)間的平均數(shù)為________.2.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰的成績比較穩(wěn)定．【解題方法】在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)．方差大說明取值離散程度大，方差小說明取值離散程度小或者取值集中、穩(wěn)定．例2.某高校欲了解在校學(xué)生用于課外進(jìn)修(如各種考證輔導(dǎo)班、外語輔導(dǎo)班等)的開支，在全校8000名學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣抽出了一個(gè)200人的樣本，根據(jù)學(xué)生科的統(tǒng)計(jì)，本科生人數(shù)為全校學(xué)生的70%，調(diào)查最近一個(gè)學(xué)期課外進(jìn)修支出(元)的結(jié)果如下：層樣本量樣本均值樣本方差本科140253.4231研究60329.4367試估計(jì)全校學(xué)生用于課外進(jìn)修的平均開支和開支的方差．【變式練習(xí)】在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差．【解題方法】1．計(jì)算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形，樣本方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2.2．在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，我們可以用樣本平均數(shù)和樣本方差估計(jì)總體平均數(shù)和總體方差.例3.我們是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100個(gè)家庭的月均用水量（單位，t）,將數(shù)據(jù)按照分層5組，支撐了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的a的值；（2）設(shè)該市有10萬個(gè)家庭，估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù).【變式練習(xí)】某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分．(4)試估計(jì)80分以上的學(xué)生人數(shù)．【解題方法】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：在頻率分布表中，中位數(shù)是累計(jì)頻率(樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率叫作該數(shù)值點(diǎn)的累計(jì)頻率)為0.5時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的值，而在樣本中有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)．因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率