國開中學數學教學研究第1章至第9章自測練習

第一章自測題1.試述中學數學教學研究的內容。????答：中學數學教學研究對象限定為“中學數學教學”，即現階段我國普通中學進行的有統(tǒng)一的數學課程標準、有確定的數學教材、由教師和學生共同參與、能產生預期社會效果的教與學的活動。對中學數學教學的研究由來已久，但是還遠未形成一門成熟的理論，僅就中學數學教學的本質和如何對它進行研究這樣的問題，迄今仍然眾說紛紜。一般認為，中學數學教學的研究涵蓋教與學兩個方面，是教與學的統(tǒng)一。2.試述中學數學教學研究的特點。答：學習和研究一門學科必須掌握它的特點。下面著重介紹幾個比較顯著的基本特點：1．綜合性所謂綜合性是指中學數學教學是一門與數學、哲學、教育學、心理學、邏輯學等學科相關聯的綜合性學科。但中學數學教學不是這些學科的隨意拼湊與組合，而是從數學與數學教學的特點出發(fā)運用這些學科的原理、結論、思想、觀點和方法，來解決中學數學教學本身的問題。研究數學教育、教學必須要有一定的數學修養(yǎng)，而且數學的造詣越高，越能把握數學內部的精髓，正是從這個意義上說，研究數學教學一刻也不能離開數學。但值得指出的是，數學教學不是數學的自然結果，因為數學教學有其自身的規(guī)律性。數學學習是一個特殊的認識過程，它當然要受制于一般的認識規(guī)律。但是數學學習的對象有其自身的特點（如抽象性、概括性較強，基本上是演繹的體系，知識的前因后果聯系比較緊密等），這樣，數學學習又有其特殊性。數學教學研究的綜合性就是這種一般性與特殊性的高度統(tǒng)一。這種統(tǒng)一不是簡單地把特殊性作為一般性的肯定例證，換句話說，不是一般性結論加數學教學方面的例子，而是在一般性理論(教育學、心理學等)指導下，從數學教學的特殊性出發(fā)引出適合于數學教學的必要的一些結論，從而充實、豐富一般性結論。中學數學教學研究的綜合性特點要求我們：要注意與數學教學密切相關的學科的發(fā)展。例如，認知心理學派提出關于數學認知結構的觀點；教學論里吸收了許多系統(tǒng)論、信息論與控制論的觀點等等，都要引起我們的注意與研究。2．實踐性中學數學教學研究主要是探討中學數學教學的規(guī)律。其中有：教學的規(guī)律；學生學習的規(guī)律；數學教學評價等，以及它們之間的關系，以期更有效地提高中學數學教學質量。中學數學教學研究的實踐性表現在以下三個方面：第一，中學數學教學研究要以廣泛的實踐經驗為其背景。實踐始終是數學教學研究的源泉，離開了實踐，數學教學研究就成為無源之水、無本之木。例如，在概念的教學中，教師總結出許多方法，如揭示概念本質特征的對比、類比及正反例論證的方法；在體系中掌握概念的知識結構與內在聯系的方法等。這些都是我們研究概念的教學與學習的豐富背景。離開這些背景，只是從理論到理論的論述，是不能解決教學實際問題的。但是，任何實踐經驗，都缺乏一定的概括，都帶有一定的局限性，它一般是與當時特定的情景、條件聯系在一起的，因此，有必要加以提煉、概括，把它們上升為適用范圍較廣的理論，而這正是數學教學研究的任務之一。第二，數學教學所研究的問題來自于實踐。以數學學習和教學為例來說，就有許多懸而未決的問題需要去研究。如數學學習具有怎樣的心理規(guī)律？數學問題解決的心理機制是什么？如何通過數學教學培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力？現代化教學手段對教學內容的選擇、教學材料的組織、教學進度的影響，以及對學生學習態(tài)度、學習方法的影響等問題，都是當前亟待解決的問題，也是數學教學應該研究的問題。第三，數學教學研究要能指導數學教學實踐，并通過實踐檢驗其理論。由于數學教學研究是對中學生學習數學知識、發(fā)展數學思維的規(guī)律以及數學教學規(guī)律的研究，其理論必將對中學教師的教學實踐提供依據，指導教師的教學實踐，并受中學數學教學實踐的檢驗。3．理論性中學數學教學研究的理論性體現在，數學教學研究要符合數學學習、數學教學的一般規(guī)律，符合事物發(fā)展的趨勢，符合其它學科的一般規(guī)律，符合實際。要根據數學教學過程的固有特性和本質規(guī)律來揭示數學教學過程，對數學學習、數學教學等方面的問題給予系統(tǒng)的回答。數學教學研究的實踐性并不是脫離理論指導的盲目實踐。因此，這門學科，不僅具有很強的實踐性，同時又是一門理論。4．發(fā)展性中學數學教學研究的發(fā)展性體現在數學教學研究要跟上時代發(fā)展的步伐。由于社會的不斷發(fā)展，社會對基礎教育不斷提出新的要求。例如，在教學要求上，由于科學技術的發(fā)展，勞動的性質越來越具有智力的成分，再加上科學發(fā)展之迅速，不可能使學生在學校學到一輩子受用的知識，主要靠他在畢業(yè)后自身去獲取知識，于是發(fā)展智力、培養(yǎng)自主學習能力的問題就提出來了。時代的發(fā)展對教學提出了新的要求，這樣，一些舊的教育思想就不太適應了，需要加以革新，使之符合數學教育發(fā)展的趨勢。又由于教育科學、技術的進步和數學教學研究不斷取得新的成果以及教學經驗的積累，使得數學教學研究的理論更加豐富。事實上，數學教學研究的4個特點有其各自的作用。綜合性是數學教學理論研究的依托，實踐性是數學教學研究的出發(fā)點與歸宿，理論性是數學教學研究的基本要求，發(fā)展性是數學教學研究豐富的源泉。4個特點本身也是相關的，沒有實踐性與發(fā)展性就談不上理論性，實踐性、理論性本身就有數學教學研究的因素等。因此，我們應該在數學教學研究的整體下，統(tǒng)一地來考慮這4個特點。3.中學數學教學的研究有哪些重大課題?????答：一般認為，中學數學教學的研究涵蓋教與學兩個方面，是教與學的統(tǒng)一。這樣就涉及到以下諸方面的研究：教什么？學什么？怎么教？怎么學？教得怎樣？學得怎樣？為什么這樣教與學？具體地說，以下課題特別受到重視：第一，關于中學數學課程問題。主要研究中學數學課程目標制定的依據，“知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”三個維度課程目標的關系，研究中學數學課程的總體目標和階段性目標的關系等。第二，關于中學生“學習心理”問題。譬如，研究中學生學習數學的心理特征，研究中學生數學認知結構的形成和發(fā)展過程，研究中學生認知發(fā)展過程中外界條件的促進作用，研究中學生數學能力的結構及其演變等。第三，關于數學思維和數學能力的問題。包括研究數學思維和數學能力的特點，如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和數學能力，如何發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維等重要的課題。第四，關于中學數學教學的問題。主要是在一般教學理念下，研究新課程下的數學教學觀，數學教學的特點、數學教學設計等重要課題。第五，關于中學數學教學的“教學方法”問題。主要研究諸如啟發(fā)式教學思想、講授教學法、發(fā)現教學法、自學輔導教學法和計算機輔助教學等各種教學方式，以及這些教學方法如何適應數學特點、如何推進中學數學教學的科學化和現代化等。第六，關于中學數學教學的整體改革問題。譬如，研究國內外數學課程改革情況，研究如何使中學數學課程與教學能適應社會進步和科技發(fā)展，研究如何引進先進教學改革的方案等。第七，關于中學數學教學的“評價”問題。譬如，研究如何進行教師評價、學生評價，研究教學評價中如何進行自我評價與相互評價，研究如何使教學評價計量化、科學化等。4.如何理解中學數學教學研究的方法？????答：中學數學教學研究是一門綜合的實踐性很強的理論學科，其研究方法大致可以歸納為如下4種：1．歷史研究方法歷史研究方法就是從歷史中吸取教育思想的啟迪，不是去重復和復制歷史；把現實的研究問題放到數學和數學教育歷史中看清其歷史地位；把歷史資料和現實資料加以對比分析，從歷史的全局上把握本質。2．理論研究方法數學教學研究是一門實踐性很強的理論學科，并不否定理論的研究或思辨性研究，而往往要用思辨性的研究作理論分析，分解出研究問題的構成因素，形成假說；研究各種因素的性質和相互關系；從眾多資料中作理論概括，抽出規(guī)律，形成理論體系。3．實證研究方法實證研究方法是通過收集資料，進行調查和統(tǒng)計，分析和比較以及剖析典型事例，來研究構成教育問題的基本因素，以把握問題的實質和規(guī)律性。常用的方法是觀察和調查。比如通過自己的數學教學實踐，或通過調查了解有關中學的數學教學工作，可能發(fā)現一些有價值的問題，對這些問題進行深入全面的分析，制訂解決方案，進行實踐，通過解決問題，可能總結出一些規(guī)律性的東西，充實數學教育學的內容。4．實驗研究方法實驗研究方法是依據一定的理論假說，在教育實踐中進行，運用必要而又合乎教育情理的控制方法，變革研究對象，探索教育的因果規(guī)律的一種科學研究活動。在實驗研究中也采用許多實證研究的方法，如觀察和調查，但有本質的區(qū)別。這就是實驗研究中，人為地制造了嚴密地驗證實驗假說的系統(tǒng)和環(huán)境，即要有嚴格的控制條件。首先要提出和論證實驗課題，作出實驗假說。實驗課題要明確，要有必要性，假說要簡明，要具有可驗證性、充分性和無矛盾性。根據實驗假說確定實驗類型，取樣，控制實驗條件，進行教學實驗；采用研究性談話、問卷、測試、系統(tǒng)觀察與個案研究等方法收集資料；使用經驗歸納法、統(tǒng)計分析法等分析處理資料，得出結論，最后寫出實驗報告或論文。 第二章自測題1、舉例說明數學的研究對象和主要特點。答：數學的發(fā)展已經過幾千年的歷程。在學數學、用數學和研究數學的過程中，也許每個人對數學都有自己的理解，然而要準確地回答數學是什么、數學研究什么，并得到公認，似乎還沒有人真正做到這一點。人們對數學的認識是隨著時代的發(fā)展而發(fā)展的。1．古代人們對數學的認識古希臘的亞里士多德認為：數學是研究數量的科學。并說“數是一種離散的數量”，“線是一種連續(xù)的數量”。研究數及其屬性（例如奇偶性、對稱性以及比例關系等）的學問叫做算術，研究量及其屬性（例如對稱、相交、平行等)的學科叫做幾何學。2．19世紀以前人們對數學的認識數學史表明，在19世紀以前，古典數學的主要成就是算術、幾何學、代數學、微積分。這些數學學科所研究的都是客觀事物的空間形式和數量關系。對此，恩格斯曾經概括為:“純數學的研究對象是現實世界的空間形式和數量關系?！?．人們對現代數學的認識世紀以來，數學的基本部分——分析學、幾何、代數均發(fā)生質的變化，它的研究對象已經超出了對數量關系和空間形式最初意義的理解。數學不僅要研究考察現實世界時所產生的概念，而且要研究“思維對象”，比如，在無限維空間中的球和螺線；在邏輯上研究可能的純粹形式和關系。在這種情況下，數學的對象到底是什么，再度引起人們的思考。例如，布爾巴基學派就認為“數學是研究抽象結構的科學?！彼麄冇媒Y構的觀點看待數學，認為最普遍、最基本的數學結構有代數結構、順序結構、拓撲結構，這是三個母結構，此外還有許多各式各樣的子結構，由母結構和某些子結構一起，形成某個數學分支的結構。蘇聯著名數學家亞歷山大洛夫在《數學——它的內容、方法和意義》一書中指出：“數學以純粹形態(tài)的關系和形式作為自己的對象”。我國數學家丁石孫認為“數學的研究對象是客觀世界的和邏輯可能的數學關系和結構關系?！薄＿€有不少數學家認為，只要擴充對有關數量關系和空間形式的理解，恩格斯的數學對象觀仍然適用于現代數學。目前，《普通高中數學課程標準（實驗）》在談到數學的對象時，就是把恩格斯定義中的“現實世界”去掉了，即“數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具?！笨磥磉@些觀點從各個不同的側面，對數學的對象作了較好的概括，在本質上是不矛盾的。二、數學的特點談到數學的特點，哲學家、數學家多有表述，一般仍引用《數學——它的內容、方法和意義》中的提法，把數學的特點歸結為：高度的抽象性；嚴謹的邏輯性；應用的廣泛性。1．高度的抽象性數學與自然科學相比較，具有更高抽象的程度。任何科學都具有抽象性，“數學以及其他科學都是把物體現象生活的一個方面抽象化”。物理學只保留物理屬性而舍棄其他；數學的抽象，則只保留量的關系而舍棄一切質的特點，只保留一定的形式、關系、結構。例如，變速運動中，某一時刻的瞬時速度，這是從物理學中抽象出來的規(guī)律，而我們數學的抽象就是從數量關系上抽象：這里已舍去了其物理意義，因而數學的抽象具有高度的抽象性。這種形式、關系和結構已是一種形式化的思想材料，或者是一種抽象結構。例如，世界上本來并沒有“二次方程”，它是人們從現實世界數量關系中抽象出來的思想材料。沒有抽象，就不會有自然數、方程式和函數，也就沒有數學的研究對象。數學的抽象是逐步發(fā)展的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象。從直接概括現實對象屬性的抽象，到拓=撲空間、一般代數系統(tǒng)、算法等高水平的抽象都是從簡單到復雜，從具體到抽象這樣不斷深化的過程，也就是說，數學的抽象不僅表現在廣度上，而且表現在不同層次的深度上。2．嚴謹的邏輯性數學要求邏輯上無懈可擊、結論要精確，一般稱之為數學具有嚴謹的邏輯性。（1）數學概念必須嚴格地加以定義或用公理確定。一個數學概念，沒有邏輯上自足的刻畫，就不能進一步進行研究。在數學定理的證明中，據以證明的前提，在邏輯上是清楚的，至少原則上如此；定理證明的步驟在邏輯上是完全的，是嚴格無誤的。（2）數學推理、論證必須符合邏輯規(guī)則。數學的結論是否正確，一般不能像物理等學科那樣，借助于可重復的實驗來檢驗，而主要靠嚴格的邏輯推理來證明；而且一旦由推理證明了結論，那么這個結論也就是正確的。數學的高度抽象性質預先規(guī)定了數學只能用從概念本身出發(fā)的推理來證明，數學的概念原則上是邏輯地可以自足的。（3）數學的結論必須明確。正是數學概念的這種確定性以及邏輯本身的普遍意義，使數學的結論具有邏輯的必然性，也就是結論的精確性。從而數學常被稱為“神機妙算”，使數學具有高度的預見性。當然，邏輯的嚴謹性不是絕對的。例如，微積分剛建立時，邏輯上是很不嚴密的，然而其結論是正確的，獲得了驚人的有效應用；直到后來，經過數學家很長時間的努力，才給微積分建立了比較嚴謹的理論基礎。類似微積分這樣的事例在數學中還有很多，但這種邏輯上的不嚴密只能是暫時的，隨著人們認識能力的提高而逐步加強。3．應用的廣泛性數學的高度抽象性和邏輯的嚴謹性帶來了數學應用的廣泛性。正如華羅庚教授所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”數學在日常生活中、在生產技術中的應用已毋庸置疑，科學技術的發(fā)展也離不開數學。1994年，王梓坤院士為中國科學院數學物理部作了題為《今日數學及其應用》的報告，對60年代之后數學的應用作了重要補充，并列舉了數學在現代科學技術中被廣泛應用的有趣故事。例如，第一次世界大戰(zhàn)被稱為“化學戰(zhàn)”；第二次世界大戰(zhàn)被稱為“原子戰(zhàn)”；而在90年代初的海灣戰(zhàn)爭中，因為數學計算在戰(zhàn)爭決策中起了重要的作用，因此被稱為“數學戰(zhàn)”。2、舉例說明數學的教育價值。答：所謂數學的教育價值，即數學教育對人的發(fā)展的價值。所謂數學的實踐價值，是指數學對于認識客觀世界、改造客觀世界的實踐活動所具有的教育作用和意義。任何一門科學其教育價值都是建立在它的實踐價值基礎之上的，如果一門科學不具備任何方面的實踐價值，這種知識對教育來說可以認為是沒有多大價值和意義的。正如數學家拉普拉斯所說：“數學是一種手段，而不是目的，是人們?yōu)榻鉀Q科學問題而必須精通的一種工具?！边@種工具的作用主要表現在以下三個方面：1．數學是科學的語言任何科學都有自己的語言，這種語言能高度準確地描述科學所固有的特性。不難想見，化學反應方程式的語言何等清晰洗練。它使化學家們不僅能記下化學過程的進行情況，而且能預見到可能產生的結果。盡管這種語言如此重要，但充其量也只能用來解決化學自身中的問題，卻不可能將它用到其他方面的知識領域中去。在這方面，數學語言則有不可比擬的優(yōu)越性，從一定意義來講，數學是適合于描述不同質的過程的萬能語言。在初中代數中，用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子，叫代數式。用代數式總能表達一個意思。因此，代數式是數學語言中的詞匯或短句。而列方程就是把日常生活語言翻譯成代數語言。要想掌握代數這個工具，就要學會認讀代數式，會翻譯其含義，并且會由代數式展開推理。這是學好代數，以致于學好數學的基本功。數學語言由于其本質上包含著思維的經濟性，使得我們可用少量的語言和公式來描述不同質的過程。例如，二次函數 既可描述自由落體運動 ，又可描述物體運動的動能，也可表示半徑為r的半圓形鐵板的面積還可成為數學發(fā)現的有力工具。譬如，

等。好的數學語言本身的符號記法能使你發(fā)現即使通過幾十個數值例子都不大可能發(fā)現的東西：三次方程根與系數的關系。2．數學是計算的工具數值計算是數學的基本功用之一。一門學科從定性的描述到定量的分析，是這門學科達到成熟階段的重要標志。因此，數學科學的實踐價值的一個方面就在于它是計算的工具。天體力學理論依據數學計算和推導，正確地預言了海王星的存在；生物遺傳學中的基因理論就是從兩兩具有不同性狀的個體雜交實驗中獲得了大量實驗數據，進行大量計算，并經過數理統(tǒng)計推斷分析才提出來的。下面我們來看一段錄像，看一看學生是怎樣運用數學這個計算的工具來求得圓周率π的？【參考本章教學實例1視頻：概率中幾何概型的問題】現在，數值計算都可以使用計算器甚至用計算機，還學數學做什么？“實際上，數學是一門藝術，是一門通過發(fā)展概念和技巧以使人們更為輕快地前進，從而避免靠蠻力計算的藝術?！北热?，計算：靠蠻力計算甚至用計算器都可求得結果，然而觀察分母特點進行拆分，原式= ，省時省力又準確?？梢?，數學教給人們的是計算的藝術。3．數學是科學抽象的工具運用數學的抽象，數學模型的方法，在理想狀態(tài)下分析最純粹的過程，是科學研究的重要手段。數學作為科學抽象的工具，在科學史上可以找到無數的事例?！緟⒖急菊陆虒W實例2】近、現代的科學成就，如相對論、量子力學、信息論、控制論等，都是因為有了相應的數學為之提供了科學抽象的工具，才使得它們成為了現代科學發(fā)展的里程碑。通過數學學科教育，可以使人們熟練地掌握打開科學大門的鑰匙。牛頓研究天體力學，中心的物理概念是引力。而引力的作用是完全不能用物理的術語解釋。牛頓不給解釋，只給出一個顯明而有用的數量公式，表明引力是怎樣作用的。這就是為什么牛頓在《自然哲學的數學原理》的開端處說：因此，我計劃在這里只給出這些力的數學概念，不考慮它們的物理原因的根底。雖然牛頓放棄物理的機械解釋而改用數學的描寫，甚至使杰出的科學家也感到震驚，曾遭到過惠更斯、萊布尼茲等人的非議。“但是，只有依靠數學的描寫（即使完全缺乏物理的了解時也依靠它）才使得牛頓的驚人的貢獻成為可能，更不用說后來的發(fā)展了?！彼^數學的認識價值，是指學習和掌握數學科學知識及其過程在發(fā)展人的認識能力上所具有的教育作用和意義。認識價值是評價一門科學是否具有教育價值的最根本的標準和出發(fā)點。數學的認識價值表現為兩方面。1．數學是鍛煉思維的體操，啟迪智慧的鑰匙首先，邏輯思維能力是思維能力的核心，數學是培養(yǎng)學生邏輯思維能力最好的、最經濟的材料。因此，加里寧說：“數學是鍛煉思維的體操。”化學家羅蒙諾索夫說：“至于數學，即使是只不過使人們的思維有條理，也應該學習?！边@些話都是至理名言。其次，數學訓練思維能力的價值不僅在于嚴格的邏輯推理，同時數學也是學習合情推理的理想的課堂，學習發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題思維程序，培養(yǎng)探索解決問題能力的最經濟的場地。而數學中包含了很多這種合情推理的材料?！緟⒖急菊陆虒W實例3】最后，數學方法的思維功能是數學教育功能最突出的體現。在數學具有價值的內容體系中，數學方法是核心內容，因為數學思維從宏觀上看是一種觀念形態(tài)的策略創(chuàng)造，數學教學的重點就在于培養(yǎng)學生如何用數學的眼光、數學的方法去透視事物；提出數學概念；解決數學問題，而數學方法就是數學思維策略創(chuàng)造的結晶。要學會創(chuàng)造就要從數學思想方法的學習與應用開始。中學數學中的主要數學思想方法，包括轉化的思想、函數與方程的思想、分類討論的思想、數形結合的思想和建模的思想?！緟⒖急菊陆虒W實例4】2．數學是辯證的輔助工具和表現方式數學抽象思維除了它的抽象概括性、簡明性和嚴謹性之外，還有辯證性。數學概念的形成，數學思想的更新，數學方法的演進，處處充滿了辯證的邏輯。抽象與具體，理論與實際，量與質，數與形，正與負，常量與變量，連續(xù)與離散，有限與無限，精確與模糊等對立的數學概念，在一定條件下實現相互轉化，這表明數學中充滿了辯證法。人們要認識世界只有形式邏輯思維方式遠遠不夠，還必須用辯證唯物的觀點看世界。正像R.E.莫里茲所說：“數學使思維產生活力，并使思維不受偏見、輕信與迷信的影響與干擾?！弊阋姅祵W對于提高人才素質有重大的教育價值和意義。所謂數學的德育價值，是指數學在形成和發(fā)展人的科學世界觀、道德色彩和個性品質所具有的教育作用和意義。以往人們對于數學形成和發(fā)展學生辯證唯物主義世界觀，以及正確、嚴謹的邏輯思維能力的作用和意義，已經有相當多的討論了，而數學教育對學生形成和發(fā)展道德品質和個性特征所具有的教育作用，在傳統(tǒng)數學教育中還沒有受到應有的重視。人的毅力、刻苦精神、對真理的追求、對問題的事實求是的態(tài)度、協作共事的作風，這些做人的基本準則和一個人的品質，都不是先天鑄就的，而是后天通過教育、學習、實踐培養(yǎng)鍛煉逐步形成并完善的，其中數學學科教育對此具有重要的功能。前蘇聯數學家、數學教育家A.R.辛欽曾說：“數學課對于培養(yǎng)正確與嚴密的思維能力方面的作用和意義已經被人們討論得很多了。相反，關于數學課對于形成學生性格和道德個性幾乎還沒有被誰談到過。在通過數學教育形成學生的性格特征中，辛欽著重談及了4點：真誠、正直、堅韌和勇敢。數學是一門論證科學，其論證的嚴謹使人誠服，數學的真理性使人堅信不移。數學無聲地教育人們尊重事實，服從真理這樣一種科學的精神。數學是一門精確的科學，在數學演算中，來不得半點馬虎，在數學推理中，更容不得粗心大意。粗枝大葉、敷衍塞責是與數學的嚴謹性格格不入的，因此數學使人縝密。數學可以造就精力集中、做事認真負責的品質。數學是一門循序漸進、邏輯性很強的抽象科學。學習數學，攻克具有挑戰(zhàn)性的問題，會逐漸鑄就人們腳踏實地、堅韌勇敢、頑強進取、攀登奮斗的精神。一個人學習數學，工作以后很可能由于長期不接觸數學，而“把數學都還給老師了”。但學習數學過程中領悟的數學的精神、思想和方法，作為一種品格力量，卻一直發(fā)揮著作用，這集中體現了數學的德育價值。所謂數學的美學價值，是指數學在培養(yǎng)發(fā)展學生審美情趣和能力方面所具有的教育作用和意義。什么是美？美是心借物的形象來表現情趣，是真與善、規(guī)律性與目的性的統(tǒng)一。美又是自由的形式：完好、和諧、鮮明。科學家從自己科學研究實踐中已經深刻認識到科學美、數學美的存在與作用。比如，作為一個偉大的科學家，彭加勒對科學美與數學美有強烈的感受：“一個名副其實的科學家，尤其是數學家，他在他的工作中體驗到和藝術家一樣的印象，他的樂趣和藝術家的樂趣具有相同的性質，是同樣偉大的東西?！边@種“偉大的東西”就是與藝術美相提并論的科學美（數學美）?！案惺艿阶匀缓腿祟惖拿?，并用美麗的語言謳歌她，這就是詩歌；用美麗的色彩和形態(tài)去表現她，這就是繪畫；而感受到存在于數與形的美，并以理智引導下的證明去表現她，這就是數學?！闭軐W家常說，美的就是真的，而數學就是這樣一門“既美而又真”的科學。正如英國數學家、哲學家羅素所說：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至上的美。正像雕刻的美，是一種冷而嚴厲的美。這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地?！睌祵W與科學知識之所以給人以美的感受和力量，就在于秩序、和諧、對稱、整齊、結構、簡潔、奇異，這些都是人們產生美感的客觀基礎，而數學恰恰集中了美的這些特點，并以純粹的形式表現出來。1.?和諧美芭蕾舞演員翩翩起舞的時候，要時不時的踮起腳尖，這是為什么呢？原因在于，她在踮起腳尖的時候，肚臍以下的部分和她身高的比，正好是黃金分割比0.618，給人的視覺是一種和諧的美。2.?對稱美中國的世博會的中國館，它給人的一種美是幾何圖形的對稱美。3.?幾何圖形的美我們知道，著名詩人杜甫，有一非常著名的《絕句》，兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。事實上，杜甫的這首詩惟妙惟肖的描述了一幅立體圖畫，將幾何的點、線、面、體全部融入到詩中。這里面兩個黃鸝鳴翠柳中的“兩個黃鸝”是點，“一行白鷺上青天”是空間的線，“窗含西嶺千秋雪”展現在我們面前的是一個面，“門泊東吳萬里船”則是一幅立體的圖畫。顯示了幾何圖形的美。人們對數學的統(tǒng)一美、簡單美、奇異美等的追求，在很大程度上促進了數學的發(fā)展。例如射影幾何的對偶原理，數學中自然對數的引進都是基于對稱美的追求；二進制的建立是對簡單美的追求；集合論中的悖論是對奇異美的追求；而公理化方法是數學抽象美的高層次的顯示?！緟⒖急菊陆虒W實例5】數學家馮·諾伊曼曾指出：“我認為數學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要都是美學的?！彼终f“數學家成功與否和他的努力是否值得的主觀標準，是非常自足的、美學的、不受(或近乎不受)經驗的影響?！睌祵W家阿達瑪則更明確地表示：“若要問及研究工作的未來是否能產生卓有成效的結果，嚴格地說，我們對此真是一無所知，但審美感是可以告訴我們的，除了美感以外，就看不出有任何東西能夠幫助我們去做預見了?！边@正是對數學審美創(chuàng)造的深刻體驗和精辟概括。馬克思認為，社會進步就是人類對美的追求的結晶。數學對自身發(fā)展所具有的創(chuàng)造性的審美價值，要求我們在教育過程中必須注意誘導、培養(yǎng)學生的感受數學美的能力，這是數學教育的一個重要目標。到底什么是數學的教育價值？我們可以得到如下的基本認識：數學是一個有機的整體，是科學思考與行動的基礎。美國一位數學家說：“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構成了數學科學的生命、用途和它的崇高價值?！辈ㄌm技術專家科日艾布斯基認為，人類的最大特征是“具有隨著時代的節(jié)拍不斷進步發(fā)展的性質，即具有發(fā)明、發(fā)現和創(chuàng)意創(chuàng)新的能力。而這種能力正是一切其他生物幾乎不具有的、人類獨特的本領。”日本數學教育家米山國藏讀后深受啟發(fā)，認為：致力于啟發(fā)和培養(yǎng)這種特征，乃是人類最大的責任和義務。米山國藏曾在大學和高中的數學教育實踐中取得了許多的成績，并探索過科學精神和文藝的根基與數學的精神和思想的根基之間的密切關系。米山國藏指出：“我歷來認為，要啟發(fā)人類獨有的這種最高貴的性能，莫過于妥善利用數學教育。”這個結論是很有說服力的。3、當前我國中學數學教育改革的特點是什么？為什么要進行改革？答：1949年10月中華人民共和國成立，同年11月教育部成立。新中國成立后，為了適應我國社會主義建設的需要，在改革教育的同時，我國的中學數學教育也進行過多次改革和實驗，取得了很大的成績，積累了豐富經驗，也遭受了不少挫折，走過了一條曲折的道路。大致經歷了7次大的改革，在這7次大的改革中間，還有一些小的變化。第一次，1950年——1953年。建國初期的1950年，原教育部頒布了“中學暫行教學計劃（草案）”，規(guī)定數學為必修課，包括算術、代數、平面幾何、三角、立體幾何、大代數和解析幾何。采用的教材是東北地區(qū)編譯的蘇聯課本。東北地區(qū)對蘇聯教材進行了三年實驗，效果尚可。到1952年秋季，在全面學習蘇聯的口號下，我國各地中學普遍采用了東北編譯的蘇聯中學數學課本。這套教材是分科的，包括算術、代數、平面幾何、立體幾何和平面三角，不包括解析幾何。由于這套教材是完全照搬蘇聯的，結合我國中學數學教學的實際情況不多，一般的反應不是很好，認為使用這套教材降低了我國中學生的數學水平。這是全面學蘇聯階段。第二次，1953年——1957年。1953年，在毛澤東同志關于“所謂教學改革，就是改革教學內容和教學方法，因此應當改編教材”的指示下，1953年10月，原教育部頒布了“中學教學計劃（修訂草案）”，并責成人民教育出版社立即改編教材，要求以蘇聯中學課本為藍本，在總結第一套全國通用課本經驗的基礎上，結合我國的實際情況，進行改編。1956年，編出了全部的中學數學課本和相應的教學參考書。在內容上與蘇聯的教材差別不大，仍然沒有解析幾何，但在形式上改變了蘇聯教材中課本和習題分開的形式。這套教材使用后，廣大中學數學教師普遍反映良好。認為課本的科學性、思想性、系統(tǒng)性都比第一套教材加強了，并且重視理論和實踐的結合。從實際中引入概念，以培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀，重視培養(yǎng)學生運用數學知識解決實際問題的能力。教材中配備了例題、習題和復習題，較前套教材的課本和習題分開優(yōu)越得多。第三次，1958年——1961年。1958年5月，中國共產黨八大二次會議制訂了“鼓足干勁，力爭上游，多快好省地建設社會主義”的總路線，全國城鄉(xiāng)迅速掀起了“大躍進”的高潮，教育革命也進入了高潮。19589月，中央發(fā)布了“關于教育工作的指示”，之后，開始了學制改革試驗，主要的實驗學制有：小學五年一貫制，中學五年一貫制，中小學七年、九年、十年一貫制，中學四二制、三二制、四年一貫制，等等。在教學內容上，認為舊教材內容陳舊落后，脫離生產勞動。針對這種情況，各省市自編了教材。結合學制的改革，改革數學教學內容。這些教材較1956年教材增加了微積分初步、概率統(tǒng)計初步、解析幾何、數理邏輯初步、向量、矩陣和制圖。在編排上，反對循環(huán)排列，要按直線排列。從各地的實驗情況來看，由于增加了許多內容，學生負擔太重，學的不牢固，有的內容像蜻蜓點水一帶而過。學生根本消化不了，基本訓練不夠，而且?guī)熧Y培訓也跟不上，這樣，造成了數學教育的混亂，欲速則不達，反而降低了教學質量。第四次，1961年——1965年。針對當時數學教育的混亂狀況，1961年開始整頓。1962年起，人民教育出版社總結教育改革的經驗，吸收了學習蘇聯時的經驗，結合我國的實際情況，陸續(xù)編出了全日制十二年制的中學數學教材。這套教材分為代數、平面幾何、立體幾何、平面三角、平面解析幾何五科（算術內容下放到小學），1963年起陸續(xù)在全國使用。這套教材使用后，當時普遍認為這套教材是建國以來最好的一套教材。和1956年的統(tǒng)編教材相比，增加了平面解析幾何，適當加深加寬了數學各科內容。例如，初中幾何增加了三角初步知識，高中代數增加了概率初步知識、行列式。增加的內容比較適合我國國情，較大幅度地提高了初中、高中的數學程度。第五次，1966年——1976年。文化大革命期間，一切都搞亂了，教育也一樣。第六次，1977年——1999年。1977年9月，原教育部根據鄧小平同志的指示，召集人民教育出版社成員，又集中了全國各地一些有經驗的教師、教材編寫人員，根據精簡、增加、滲透的六字方針，1978年編輯出版了全日制十年制統(tǒng)編教材（小學五年，中學五年三二制）。這套教材在內容上：（1）精簡了傳統(tǒng)的中學數學內容，從傳統(tǒng)內容中精選出參加工農業(yè)生產和學習現代科學技術所必需的基礎知識。刪去了傳統(tǒng)數學中用處不大的內容。（2）增加微積分以及概率統(tǒng)計、邏輯代數等的初步知識。（3）把集合、對應等思想適當滲透到教材中去。在體系上，把精選出的代數、幾何、三角等內容和微積分結合成一門數學課。1983年，原教育部認為，由于我國幅員遼闊，各地經濟、文化發(fā)展極不平衡，因而在教材上不能搞一刀切，應實行統(tǒng)一性和多樣性相結合。于是提出實行兩種教學要求，對一般中學實行基本要求。概率初步、微積分初步、二次曲線切線等內容作為選學內容。高考按基本要求命題。1985年，國家教委作了一個指示，為了減輕初中學生的學習負擔，對某些內容作了調整。較大的變動是初中代數的二次函數部分內容移到高中學習?，F在的教材改革已經側重在如何適應義務教育上了。除了統(tǒng)編教材以外，另外還有幾套較有影響的中學數學實驗教材。這些教材在一定程度上反映了時代的要求，現作簡要介紹如下：（1）由教委委托，北京師范大學牽頭，根據美國加州大學伯克利分校數學系項武義教授的《關于中學實驗數學教材的設想》組織編寫的《中學數學實驗教材》。這套教材的基本結構是：代數、幾何分科，初中、高中螺旋上升地安排體系。教學按初一下學期、初二，代數、幾何雙科并進；初三學函數；高一、高二，代數（包括概率）、幾何雙科并進，高三學微積分初步的程序安排。這套教材內容有深度，偏重說理，適合于重點中學使用。實驗表明，這套教材對于“尖子學生”的知識學習和能力培養(yǎng)是有利的。（2）中國科學院心理研究所盧仲衡教授主持的自學輔導教材。這套教材只有初中部分，影響也比較大，效果也較好。這套教材的基礎是程序數學，內容基本上與傳統(tǒng)教材一致，但它是以自學為主、輔導為輔的精神來編寫的。體現了學生學習的主體性和自覺掌握知識的進程。這套教材在程序教學的基礎上作了如下改造：①步子適當，有小到大，從展開到壓縮；②把學生自覺置于教師直接指導下，并把教師講解列入教學環(huán)節(jié)的組成部分；③把個別教學和集體教學結合起來；④把學生自我檢查與教師檢查結合起來；自學輔導重點放在自學，放在個別化上，但又兼顧班級授課。由于學生能自己控制進度，不懂可以返過來再學，學懂一點，前進一步，所以這套教材對中、下學生掌握知識特別有利。（3）北京師范大學鐘善基教授主持的“五、四、三”初中數學教材。這套教材是為學制從六、三、三過渡到五、四、三，初中實行義務教育做準備的。這套教材的內容基本上和統(tǒng)編教材一致，但在編寫上比較注意說理，貫穿數學思維方法和學生數學能力的培養(yǎng)。加強了教材的科學性和趣味性。這套教材的實驗開始不久，但隨著義務教育的實現，會不斷地完善起來的，因而是很有前途的一套教材。（4）華南師范大學教育科學研究所郭思樂同志主持的實驗教材。其內容也基本上與統(tǒng)編教材一致，但注重知識的發(fā)生過程、推理判斷，在這過程中展開學生的思維，發(fā)展他們的能力。第七次，1999年至今。改革開放以來，我國廣大的數學教育工作者進行了一系列積極的探索和實驗，我國的數學教育取得了舉世公認的成績：中小學生學習勤奮，基本功扎實，基礎知識和基本技能熟練。1999年12月，教育部組織學科專家，依據《中國基礎教育課程改革指導綱要》，對現行《義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用）》和《全日制普通高級中學數學教學大綱（試用）》進行了修改，并于2000年3月出版了《義務教育全日制初級中學數學教學大綱（修訂版）》和《全日制普通高級中學數學教學大綱（修訂版）》。新大綱重視對學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)；強調數學知識的應用；增加了選修內容；增加了“數學探索性活動”和“研究性課題”等。進入21世紀，我國開始了新一輪的基礎教育數學課程改革。2001年7月，中華人民共和國教育部頒布了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，并遵循“先實踐，后推廣”的思路，于2001年9月，在全國27個省市自治區(qū)的38個試驗區(qū)進行實驗（后來擴大到42個實驗區(qū)），2005年在全國范圍內推廣。2003年4月，中華人民共和國教育部頒布了《普通高中數學課程標準（實驗稿）》，并于2004年9月開始試驗。這次課程改革是建國以來規(guī)模最大，涉及面最廣，將會產生深遠影響的一次改革。4、試述當前國際數學教育改革的趨勢。答：2．國際數學教育的改革特點分析（1）注重數學應用應用數學的能力與意識，是能適應現代生活的人所必須具有的素質。數學的作用，除了傳統(tǒng)的訓練思維外，更多的是為社會服務，強調數學在各行各業(yè)中的應用。在數學教育中強調數學應用，讓學生掌握更多的實用知識，培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力，是當今國際數學教育的目標之一。例如，在新加坡的中小學數學教育的目標中就提出：“使學生獲得必需的數學知識和技能，發(fā)展思維方法并應用于生活上將要遇到的數學情境之中。”特別地，英國的“國家數學課程”把“運用和應用數學”專列為目標之一，十分注重解決實際問題與日常生活問題，包括提出問題、設計任務、收集信息、選用數學、運用策略、獲得結論、檢驗和解釋結果等。同時，把對這一目標的要求貫徹在其余四項目標與學習大綱中，強調數學知識、技能和理解力的應用。（2）重視問題解決第六屆國際數學教育大會上，“問題解決和模型的應用”課題組在其課題報告中闡述：“數學問題一般指對人類具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現成方法、程序或算法可以直接套用的那類問題。”它主要指非傳統(tǒng)的文字應用題、聯系生產或生活實際的問題、開放性問題等。問題解決主要指解決上述問題，它要求學生從給出的問題中經過分析，建立數學模型，靈活運用已學過的知識單元、方法或算法來解決。重視問題解決對加強學生應用意識，提高數學修養(yǎng)，培養(yǎng)探索能力起到了重要作用。當今信息社會要求人們隨時根據變化了的情況，能利用數學知識對實際問題作出有條理的分析和預測，以供決策和選擇。因此，重視問題解決是各國數學教育目標的又一顯著特點。美國課程標準把“成為數學問題的解決者”列為學校數學要達到的五個課程目標之一，并在其分項標準中將“作為問題解決的數學”列于首位，可見其被重視的程度。下面列舉出美國中學5年級～8年級和9年級～12年級課程標準中此項目標的內容要求。5年級～8年級課程標準1：作為問題解決的數學，要求使學生能夠：通過解決問題的探討去接觸和理解數學內容；把數學和非數學問題的情境表述成數學問題；發(fā)展和應用各種策略解決問題，強調多步的和非常規(guī)問題；根據問題的原始情境來檢驗和解釋答案；概括解決新問題的方法和策略；在有意義地運用數學的過程中獲得信心。9年級～12年級課程標準1：作為問題解決的數學，要求學生能夠：帶著不斷增加的自信，運用解題方法去探討和理解數學內容；應用與數學解題相結合的策略，去解決來自數學內部與外部的問題；認識并用公式表示出來自數學內部與外部情境的問題；把數學模型的程序應用到客觀世界的問題情境中。從上面對不同年段的要求可以看出，隨著學生在數學上的成熟和對解決數學問題的方法的深化與擴充，對這一目標的要求在不斷地提高。英國80年代的《cockcroft報告》提出以數學應用和問題解決為主的數學教育總目標。英國在1992年施行的《英國國家數學課程》中提出的目標是：使用和應用數學。指出“使學生會解決現實生活中的問題”。日本正式將“課題學習”的內容納入數學教學大綱中，使“問題解決”以法律的形式固定下來?！罢n題學習”即是以“問題解決”為特征的數學課，以解決智力型的實際問題為主要內容，強調創(chuàng)造性，強調學生自己探索發(fā)現，注意培養(yǎng)發(fā)散思維。（3）注重數學思想方法要提高學生的數學素養(yǎng)，不僅要使學生掌握數學知識，而且要使學生掌握滲透于知識中的數學思想方法，使他們能用數學知識和方法去解決實際應用問題。這一目標要求在各國的數學教育目的中的體現是十分明確的。在處理中小學數學思想方法上有兩種基本作法：其一是通過純數學知識的學習，逐步使學生理解和掌握數學的思想和方法；其二是通過解決實際問題，使學生在掌握數學內容的同時，形成對人的素質有影響的那些基本思想方法，如試驗、猜想、模型化、合情推理、系統(tǒng)分析、優(yōu)化思想等。（4）注重數學交流數學作為現代文化的重要組成部分，其語言日益成為人們交流的科學語言。交流對數學學習十分重要，交流可以幫助學生在非正式的、直覺的觀念與抽象的數學語言之間建立起聯系，幫助學生把實物的、圖畫的、符號的、口頭的及心智描繪的數學概念聯系起來。學生通過解釋、推斷對自己的思想進行口頭或書面表達時，可以發(fā)展和深化對數學的理解。學會數學交流是當今國際數學教育目標共同注重的內容.“使學生能使用數學作為交流的工具”，是新加坡教學大綱規(guī)定的四條總目的之一，也是“數學課程目的”中所要培養(yǎng)的“技能”的重點之一。新加坡中小學數學課程的具體目標均有“會使用數學語言、符號和圖表形式說明和解釋信息”。美國的課程標準提出的五個總目標之第四就是“學會數學交流，會讀、寫和討論數學”，并在其分項標準中“作為交流的數學”位居第二。澳大利亞把“學生充分掌握數學表達、數學表示和數學應用的技能，以便應用數學解釋有關信息……與他人溝通聯系”，作為教育目的之一?？v觀各國大綱，數學交流這一要求反映在：(1)數學思想的表達。把自己的思想通過直觀的或非直觀的、口頭的或書面的、普通語言或數學語言的形式表達出來；(2)以聽、讀、看、模等方式接受來自他人的思想；(3)把數學思想從一種表達方式轉換成另一種表達方式，如把一個概念用圖畫或符號表示出來。（5）注重培養(yǎng)能力各國對在數學教學目的中的能力培養(yǎng)這一要求都很重視，幾乎所有的國家都提出“要發(fā)展學生運用數學知識分析和解決實際問題的能力”。例如，在美國的數學課程標準中提出培養(yǎng)推理能力、數學洞察力、解決問題的能力、對數學的欣賞能力及交流問題的能力、理解力等。另外，在不少國家的大綱中明確提出數學可以培養(yǎng)的能力在一般智力結構中占有重要地位，如觀察、分析、綜合、歸納、概括、想象等能力。在英國的課程目標中提出重視學生的計算能力，學生的機算(計算器和計算機)、心算和估算能力。（6）重視數學美育我們從數學的語言、數學的推理、圖形的對稱與變換等內容中，都可以體驗到數學美。不少國家把美育教育列為數學教育的目的之一。英國16歲～19歲的數學課程總目標提出“發(fā)展對數學的美學觀與歷史的鑒賞力”。新加坡教學大綱中數學課程的基本目標提出“發(fā)展學生在解決數學問題上的能力，在問題解決時學生能欣賞到數學美的力量”。前蘇聯教學大綱中指出“中學數學課要揭示數學內在的和諧性，培養(yǎng)對數學推理的美的感受，數學對學生的美育作出了相當大的貢獻”。（7）注重培養(yǎng)自信心以往的教育是把數學作為“篩子”而不是作為“泵”來發(fā)展人，致使學生的自信心受到傷害。從數學教育思想的角度出發(fā)，不少國家把自信心的培養(yǎng)作為數學教育的一個基本目標，使學生從自身的生活背景中發(fā)現數學、創(chuàng)造數學、運用數學，并在此過程中獲得自信。【更多】例如，美國數學課程標準的總目標之第二是“對于自己的能力的自信”。在英國國家數學課程的數學成績目標中提出“學生應自信地運用涉及其它目標的學習大綱所指定的適當的數學內容”。英國關于16歲～19歲的數學課程總目標中提出“發(fā)展對數學應用的能力與自信心”。澳大利亞的提法是“使學生獲得數學知識、思維方法和運用數學指導日常生活事物的自信心”。新加坡教學大綱中數學課程基本目標中的“態(tài)度”是指學習情感方面：“使學生喜歡做數學、欣賞數學美的力量、在運用數學時表現出自信”。這些都體現出對于培養(yǎng)自信心的要求。（8）重視計算器和計算機的使用廣泛運用計算器和計算機是當代數學改革的一個趨向，是面向21世紀技術飛速發(fā)展和信息時代的需要。計算機和計算器必然要定進課堂。英國的課程目標從水平4開始，每個目標都提到了使用計算器或計算機的要求。例如，在目標3(代數)中水平7要求：“在計算機或計算器上生成各種類型的圖象并作出解釋”；在水平10要求：“用計算器或計算機研究由迭代法給出的數列的收斂性?！庇秩缭谀繕?(圖形和空間)中水平6要求：“用計算機生成圖形并進行圖形變換”；水平9要求：“用計算器或計算機生成三角函數并作出解釋?！痹谌毡靖咧袛祵WA、B、C的目標要求中均有對運用計算機的要求，如在前述的《數學C》中，又如在《數學A》中提出“使學生理解……或有關用計算機進行的計算”；在《數學B》中提出“使學生理解向量、復數和復數平面、概率分布以及有關應用計算機的算法”。 第三章自測題1、影響數學課程的因素有哪些？答：影響課程設置的因素是多方面的，既有來自課程內部的因素，又有來自課程外部的一系列因素。這些因素是課程改革、更新、發(fā)展的基本依據和必需條件。主要有社會因素、數學因素、學生因素三種。2、社會因素具體從哪些方面制約著中學數學課程的設置？答：①社會生產的需要社會生產的需要是科學技術發(fā)展的強大動力，也是課程選擇和接受科技成果的主要準則，它制約著課程發(fā)展的速度和方法。社會生產的需要越是迫切，越是普遍，課程發(fā)展的步子就越大，速度也就越快。在古代的巴比倫、埃及和中國，數學是生活、生產的產物，當時的數學只是一些簡單的測量和技術法，人們對數學的需求也僅限于此。因此，數學是作為一種有助于解決各種實際問題的技術而傳授給后代的。到了古希臘、羅馬時代，由于亞里士多德、柏拉圖等古代思想家和哲學家為了思辨的需要，賦予數學以一定的邏輯內容，把數學作為訓練學生思維的工具。世紀中葉，第一次技術革命以前，由于社會生產基本上是以自給自足的小農經濟為主，生產力的發(fā)展水平決定了對數學的需求極為有限，數學課程內容是非常簡單的。第一次技術革命后，資本主義大工業(yè)代替了手工業(yè)生產，促使社會對勞動者的數學知識的要求相當提高，數學課程不僅成了主科，而且內容上相應地有了很大的提高。現在，隨著經濟適應信息時代的需要，與這些經濟活動相關的數學，如比和比例、利息與利率、統(tǒng)計與概率、運籌與優(yōu)化以及系統(tǒng)分析與決策等，就應成為中小學要學的數學了。即社會的發(fā)展需要人們在數學方面具備更高的素養(yǎng)，也對數學課程提出了新的更高的要求。②科學技術的發(fā)展科學技術是社會發(fā)展的動力，科學技術的發(fā)展不僅意味著社會可能提供更多的教育，而且也意味著社會必須提供更多的教育?？茖W技術的發(fā)展在兩方面影響著數學課程的設置：一是科學技術越是發(fā)展，應用數學的程度越高，人們就越是要通過數學才能掌握其他的科學技術，數學課程就應該反映這一點。二是科學技術的發(fā)展直接或間接地影響著數學課程內容的改變。課程的設置只能吸引最有價值的科學成果，而科學技術的發(fā)展，最有價值的標準也隨之改變了，這是對數學課程內容的直接影響；科學技術的發(fā)展，教學手段也隨之改變，而教學手段的改變也會引起課程內容的改變，這是對數學課程內容的間接影響。計算器和計算機已經深刻地改變了數學世界。它們不僅影響到什么數學是重要的，而且也影響到如何做數學?！靖唷坑嬎闫骱陀嬎銠C不僅改變了什么數學重要，而且也改變了數學應當如何教。它們把困難的變得容易，使不可行的變得可行?！靖唷啃录夹g使數學更加現實，計算機出現之前，難以完成現實問題所要求的計算，有了計算機計算不再是障礙，只要問題能被學生掌握，就能解出；實驗中得到的現實數據可以得到分析處理；表達重要物理現象的方程可以解出；許多精深的概念用計算機更易于理解。③人們生活的變化當前，人們的社會生活發(fā)生了很大改變。了解公民的基本數學需求有多種角度，為了避免使這樣的研究維度過多、層次太龐雜，下面的研究選擇了與老百姓日常生活緊密相連的報刊雜志作為獲取數據信息的基本來源。數據信息來自《光明日報》、《工人日報》《農民日報》《參考消息》《中國教育報》《經濟日報》《中國證券報》《廣州日報》《甘肅日報》等與百姓生活聯系密切的報章雜志，這些大眾化的報刊具有較寬的覆蓋面，因而具有一定的代表性。調查分三個時間段：20世紀90年代初期(1990年6月)、中期(1995年6月)、后期(19996月)，并在每個時間段對上述報刊雜志進行了逐日統(tǒng)計。通過對這3個不同時間段所調查情況的變化趨勢進行縱向分析，可以大體上把握20世紀最后10年報刊雜志上反映的數學信息。統(tǒng)計結果表明，與公民生活聯系密切的數學信息按出現頻率排列，主要包括：大數、百分數、分數、比例、圖形及圖表、統(tǒng)計、數學術語這幾個方面。這些內容所出現的不同領域包括：政治、軍事、經濟、科技、教育、文化、衛(wèi)生、體育、生活、金融保險、廣告等。根據統(tǒng)計結果，可以得出以下結論：數學的定量化特征越來越多地表現在人們的日常生活中。從調查和最后的統(tǒng)計數據中不難看出，大數和百分數以相當高的比例出現在經濟、科技、政治、生活的新聞及廣告中，這說明在以商品經濟為主和科技日益發(fā)展的社會中，信息的傳遞和交流更多的是定量的，而不是定性的。圖形圖表，尤其是各種各樣的統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表(如直方圖、扇形統(tǒng)計圖以及一些形象的統(tǒng)計圖)出現較多，它們以清楚、明了、信息量大、對比度強等特點出現在報刊中。從這些頻頻出現的直方圖、扇形統(tǒng)計圖、數據統(tǒng)計表中，我們看到，為了了解信息、看懂報紙，統(tǒng)計的基本知識和方法已必不可少?！吨袊C券報》是一份比較專業(yè)化的報紙，在調查的兩個不同時間段(1995年和1996年)的結果中，都出現了比較復雜和比較多的數學表達式(主要是代數式)，在此不予列舉。調查的其他報紙，在《中國教育報》和《農民日報》中，都有數學表達式出現。這反映了，隨著社會的進步，數學在社會生活中的地位和作用愈來愈重要。從調查統(tǒng)計結果中容易看到，與生活相關的報道及廣告中的數學內容很多也很豐富。在廣告中，這些內容多與保險、房地產、儲冒、旅游等行業(yè)有關，如方位圖、直方圖、數學術語、公式等。隨著上述各行業(yè)的不斷發(fā)展，不難預計，在未來的社會中，數學必將和人們的日常生活發(fā)生越來越密切的關系。3、社會發(fā)展對數學課程提出了哪些要求？答：①目的性教育必須為社會主義經濟建設服務。這就要求數學課程要有明確的目的性，即要為社會主義經濟建設培養(yǎng)各級人才奠定基礎，為提高廣大勞動者的素質做出貢獻。當今社會正由工業(yè)社會向信息社會過渡，在信息社會里多數人將從事信息管理和生產工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術進步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應日新月異的社會，必須把勞動者的素質、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學習的能力。②實用性數學課程的內容應具有應用的廣泛性，可以運用于解決社會生產、社會生活以及其他學科中的大量實際問題；運用于訓練人的思維。應該精選現代社會和生活中廣泛應用的數學知識作為數學課程的內容。另外，還要考慮其他學科對數學的要求。數學課程還應滿足現代科學技術發(fā)展的需要，增加應用廣泛的數學知識，如計算機初步知識、統(tǒng)計初步知識、離散數學、統(tǒng)計初步等知識。數學不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓練人的思維，培養(yǎng)有數學素養(yǎng)的社會成員，要使學生懂得數學的價值，對自己的數學能力有信心，有解決數學問題的能力，學會數學交流，學會數學思想方法。③思想性和教育性我們培養(yǎng)的人應該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業(yè)，具有為國家興旺發(fā)達而艱苦奮斗的精神；應當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數學課程適當介紹中國數學史，以激發(fā)學生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內容，有意識地體現數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點；體現運動、變化、相互聯系的觀點。4、20世紀，數學產生了哪些驚人的變化？答：①集合論成為各個學科的共同基礎，純粹數學轉向研究基本的數學結構19世紀末葉，德國數學家康托爾最先創(chuàng)造了一般集合論，經過發(fā)展，到20世紀，集合論已成為數學最基本的語言。不管數學所研究的對象如何復雜、抽象，它總是一些元素組成的集合。有了集合論作基礎，純數學轉向研究基本的結構，特別是20世紀20年代法國布爾巴基學派的創(chuàng)立，提出了數學建立在3個最基本的結構之上學說，即代數結構、序結構和拓撲結構。20世紀的數學，其研究的特點之一，是把各種各樣的結構搞清楚，弄清彼此間的關系，并設法將同構的集合歸并在一起，用不同的結構來區(qū)分。②數學抽象化的勢頭越來越大，分科越來越細，內在聯系揭露得越來越深20世紀的幾何學，以拓撲學的形式進入了新階段，代數拓撲學和微分拓撲學成了20世紀的“女王”。20世紀的代數學從原先的解代數方程的研究轉向群、環(huán)、域、理想、模等的研究。20世紀的分析是無限維空間上的微積分，即函數分析，從原來研究數與數之間的函數關系轉向了研究函數與函數之間的關系（算子）。③電子計算機進入了數學領域，推進了數學的發(fā)展過去認為數學不是實驗科學，有了計算機就不同了，很復雜的方程從理論上研究比較困難，但可以利用電子計算機進行數值求解，然后把解畫到圖上，用靜態(tài)的圖把全過程反映出來，就等于在計算機上做實驗。計算機還有一個作用就是用來完成數學上的證明，它影響著純數學的發(fā)展?！敬蜷_實例】④數學的發(fā)展使人們對“數學是什么”的認識有了變化數學是一門科學，觀察、實驗、發(fā)現、猜想等實踐部分和任何自然科學是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調研，以及度量和分類是數學家常用的部分技巧，學校應當教。實驗室作業(yè)和實習作業(yè)對于理解數學是什么及其如何使用不但是適宜而且是必需的。在數學實驗室里計算器和計算機是必需的工具。實際數據（科學實驗、人口統(tǒng)計、民意測驗等的數據）、觀察和度量的對象（骰子、方塊、球）和作圖工具（尺子、細繩、量角器、膠泥、坐標紙）都是必需的。像生物是有機體的科學，物理是物和能的科學一樣，數學是模式和秩序的科學。這種表述至少可以回溯到笛卡兒，他把數學稱作“序的科學”，后來物理學家斯梯文·溫伯格（Steven?Weinberg）用它去解釋數學預測自然的神奇能力時作了改進。類似地把數學看成“模式與關系”的科學，形成了在《美國大眾科學》(Science?for?All?Americans)中表述數學的基礎。數學也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數學不僅是一門科學，而且數學也是一種語言。不僅是自然所說的語言，而且也是商業(yè)、貿易的合適語言。數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎。由于計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業(yè)和工業(yè)都越來越依靠不僅是傳統(tǒng)的而且是現代數學的分析方法。數學作為商業(yè)和科學的語言，是一種每個人都必須學習使用的語言。數學的這些發(fā)展和變化，將迅速直接或間接地影響中學數學課程。直接的影響：現代數學的思想、內容和方法直接滲透到中學，成為中學數學課程的一部分。例如，中學數學要學一點數理統(tǒng)計的初步知識，學一點計算機知識和滲透算法思想等。間接的影響：一種教育水平上的變革，必定將引起較低水平的教育的變革，所以高等學校數學課程的改革必定會影響中學數學課程的改革。前面說過，20世紀以來，數學有了驚人的發(fā)展，數學的發(fā)展史必定影響大學的基礎“三高”，即數學分析、以多項式理論和線性方程（組）論、向量空間為基礎的高等代數，以及影射幾何為主的高等幾何。現在的大學數學基礎課程除了這“三高”以外，又加入了泛涵分析、抽象代數、拓撲學的“新三高”，而且有一種后者逐漸代替前者的趨勢。又如，以連續(xù)為主的數學受到了以離散為主的數學的沖擊，在大學不僅要學連續(xù)數學，而且還要學離散數學，這兩者的比例還將有所變化。教育具有連續(xù)性，大學數學課程的變革，勢必要求中學數學課程作相應的變革?？傊?，無論是過去、現在，還是將來，學科本身的發(fā)展必定要對該科課程的設置產生影響。4、數學科學的發(fā)展對數學課程提出了哪些要求？答：①應對代數、幾何、分析和概率統(tǒng)計的基礎部分進行恰當的整合數學研究對象是現實世界的數量關系和空間形式。基礎數學的對象是數、空間、函數，相應的是代數、幾何、分析等學科，它們是各成體系，但又密切聯系的?，F代數學中出現了許多綜合性數學分支，都是在它們的基礎上產生并發(fā)展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數、幾何、分析在相鄰學科和解決各種實際問題中都有廣泛應用，所以中學數學課程應當是它們恰當配合的整體。所以，中學數學課程應當是代數、幾何、分析和概率統(tǒng)計這4科的基礎部分恰當配合的整體。②適當地增加數據處理﹑算法﹑優(yōu)化﹑離散數學等內容現代社會，數據處理﹑預測風險已經成為信息社會中一個合格公民所必備的基本素質。統(tǒng)計與概率由于它既有極其廣泛的應用，又是唯一培養(yǎng)學生從隨機（或統(tǒng)計）角度觀察世界的數學內容，因此被很多國家的教材所采用，而我國卻將它僅僅列為“代數”中的一個單元，并且由于種種原因得不到重視。這種狀況應該得到切實的改觀。另一些受到廣泛重視的是與計算機科學密切聯系的內容——算法﹑離散數學﹑優(yōu)化等。其實1986年ICMC在科威特討論“90年代學校數學”時就建議數學課程中要引進與計算機科學有關聯的離散數學的概念；要重新強調算法，并讓學生去比較解決同一問題的不同算法的效率。我國也有許多數學家大力呼吁應在義務教育階段滲透算法﹑離散數學﹑優(yōu)化思想等方面的內容。③重視數學的應用如前所述，20世紀下半葉數學的一個最大進展是它的廣泛應用，數學的價值觀因此發(fā)生了深刻的變化。這一變化必將對數學教育產生這樣的影響，最直接的一個結論就是數學教育要重視應用意識和應用能力的培養(yǎng)。其實，培養(yǎng)學生的數學應用意識和應用能力，能幫助學生對數學的內容﹑思想和方法有一個直觀生動而深刻的理解，它有助于學生正確認識數學乃至科學的發(fā)展道路，了解數學用以分析問題和解決問題的思維方式，可以使學生真正懂得數學究竟是什么。數學是很有用的，但有用之處并不僅僅在于它的哪一條公式有用﹑哪一條定理有用，而是整個數學會提供給學生們很重要的一種思想方法，這種思想方法不但對于具體的學科有很大的作用，而且對今后做一切工作都會有用。因此，我們的數學課程和教學應該為學生提供大量的機會，使他們在解決實踐問題的過程中逐步形成數學應用的意識和初步的應用能力。數學教育要有助于學生建立對數學全面﹑正確的認識，使學生具有適應生活和社會的能力，使他們能親身運用所學的知識和思想方法去思考和處理問題。同時，我們還應該認識到，從知識的掌握到知識的應用不是一件簡單的﹑自然而然就能實現的事情，必須經過充分的﹑有意識的訓練。④突出數學思想和方法數學對國家的貢獻不僅在于國富，而且在于民強。除了能解決實際問題之外，數學還提供了某些普遍適用并且強有力的思考方式，包括直觀判斷﹑歸納類比﹑抽象化﹑邏輯分析﹑建立模型﹑將紛繁的現象系統(tǒng)化（公理化方法）﹑運用數據進行推斷﹑最優(yōu)化等。用這些方式思考問題，可以使人們更好地了解周圍的世界；使人們具有科學的精神﹑創(chuàng)新的本領；使人們充滿自信和堅韌。數學教育不僅要培養(yǎng)學生的應用意識，而且要使學生學會數學地思考問題。數學在培養(yǎng)學生思維方面，更重要的是培養(yǎng)學生這種思維思考方式，并將它應用于日常生活和工作。很多思想家用這種思維方式研究科學和社會問題，獲得了巨大的成功。運用這種思維方式，對于一個現代社會的公民來說，同樣是十分重要的?，F代數學進行著不同領域的思想、方法的相互滲透。許多曾經認為沒有任何共同之處的數學分支，現在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎上了。數學思想和方法把數學科學聯結成一個統(tǒng)一的有結構的整體。所以，我們應該突出數學思想和數學方法。5、學生的身心發(fā)展對數學課程的影響體現在哪些方面？答：課程教材的直接服務對象是學生，學生主要是通過教材來獲取知識的。因此，學生也是影響課程設置的重要因素。從課程設置的角度來說，學生的身心發(fā)展對數學課程的影響包括以下4個方面：①已有的知識水平“影響學習最重要的因素是學生已經知道的東西。”在設計課程時，需要仔細地考慮學習是否具有與學習新任務相聯系的概念和技能。學習的順利進行受背景知識的強烈影響，因此，學生的知識水平影響課程的設置。根據奧蘇伯爾的學習理論，學習者產生有意義的接受學習必須具備兩個條件：第一，學習者必須具有有意義學習的心向，即學生必須把學習任務和適當的目的聯系起來。如果學生企圖理解學習材料，有把新學習的和以前學過的東西聯系起來的愿望，那么該生就是以有意義的方式學習新內容。如果學習者不想把新知識與以前學習的知識聯系起來，那么有意義學習就不會發(fā)生。第二，新學習的內容和學習者原有的認知結構之間具有潛在的意義。通過把新的數學概念和原理與已有的數學知識相聯系，學生就能把新內容同化到原有的認知結構中去。為了保證有意義學習，教師必須幫助學生建立他們自己的認知結構與數學學科結構之間的聯系。使得每一個新的數學概念或原理都與學習者原有認知結構中相應的數學概念和原理相聯系。教學的一個最重要的出發(fā)點是學生已經知道了什么。教學的策略就在于怎樣建立學生原有認知結構中相應的知識和新知識的聯系，以及激發(fā)學生有意義學習的心向。因此，課程設計的一個最重要的出發(fā)點是學生已經知道了什么，怎樣建立學生原有認知結構中相應的知識和新知識的聯系，以及激發(fā)學生有意義學習的心向。即學生的知識水平是影響課程的設置的一個因素。②學生在數學學習中認知、情感發(fā)展的階段性特點雖然不同的個體，其認知發(fā)展、情感和意志要素不完全相同，但相同年齡的學生卻有著整體上的一致性，而不同年齡段的學生在整體上有比較明顯的差異。具體說來：小學低年級至中年級的學生更多地關注“有趣、好玩、新奇”的事物。因此，學習素材的選取與呈現以及學習活動的安排都應當充分考慮到學生的實際生活背景和趣味性（玩具、故事等），使他們感覺到學習數學是一件有意思的事情，從而愿意接近數學。小學中年級至高年級的學生開始對“有用”的數學感興趣。此時，學習素材的選取與呈現以及學習活動的安排更應當關注數學在學生的學習（其他學科）和生活中的應用（現實的、具體的問題解決），使他們感覺到數學就在自己身邊，而且學數學是有用的、必要的（長知識、長本領），從而愿意并且想學數學。小學高年級至初中的學生開始有比較強烈的自我和自我發(fā)展的意識。因此對與自己的直觀經驗相沖突的想象，對“有挑戰(zhàn)性”的任務很感興趣。這使得我們在學習素材的選取與呈現以及學習活動的安排上除了關注數學的用處以外，也應當設法給學生經歷“做數學”的機會（探究性問題、開放性問題），使他們能夠在這些活動中表現自我、發(fā)展自我，從而感覺到數學學習是很重要的活動，并且初步形成“我能夠而且應當學會數學地思考”?？梢?，處于不同發(fā)展階段的兒童，其思維水平、思維方式與思維特征有顯著的差異，而處于同一發(fā)展階段的兒童則具有較為明顯的一致性，這種匹配性是客觀存在的，而且其發(fā)展又主要通過學習活動來實現。與此相適應，學生有效的數學學習也應當經歷不同的階段性。處于每一發(fā)展階段的學生應當有適合他們自己思維水平和思維方式的學習素材，應當經歷對他們來說有意義的學習活動。課程教材是學生學習的依據。因此，在安排數學課程時，應考慮各年齡段的學生思維發(fā)展水平，既不要超出學生的思維發(fā)展水平，又不要遷就學生的接受能力?！靶聰祵W”中，把知識體系抽象化和形式化，超出了學生的思維發(fā)展水平，這樣的課程是達不到課程目標的。同樣，課程過于簡單、容易，也難達到課程目標。③學生的認識興趣學生的認識興趣在學習中是一個很有效的因素，它能大大地促進學習。如果學生對學習內容不感興趣，那么就很難做出持久的努力，去學好數學。所以，要讓學生學好數學，首先要激發(fā)學生的學習興趣。正像科學史家貝弗里奇在《科學研究的藝術》藝術中所說的那樣：“從事研究的人必須對科學有興趣，科學必須成為他生活的一部分，視它為糧食和愛好。”而激發(fā)學生興趣的最有效的辦法就是對于學習材料本身感興趣。因此，課程的設置要考慮學生的認識興趣，加強趣味性，激發(fā)學生學習數學的興趣。④學生的認識特點對學生學習的理解有變化。學習不是一種被動地吸取知識，并通過反復練習，強化儲存知識的過程，而是學生利用原有知識處理每項新的任務，同化新知識，并構建他們自己的意義，再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過去用的自然語言及遇到過的情況相聯系。這種對學習的積極的、構造性的觀點必須在教數學的途徑中反映出來。教學實踐和試驗表明，學生的認識結構有其固有的特點。關于這一點，曾有人作過如下調查?！敬蜷_實例】因此，如果課程內容和編寫順序符合學生的認知特點的話，無疑能促進學習。當然，怎樣的課程才是符合學生的認知特點的，學生的認知具體有哪些特點，等等，都是有待研究的問題。7.簡述你對義務教育數學課程的理念、目標和內容的理解。答：2001年7月，中華人民共和國教育部頒布了《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》（以下簡稱《標準》），提出的數學課程理念是：1．數學課程數學課程應致力于實現義務教育階段的培養(yǎng)目標，體現基礎性、普及性和發(fā)展性。義務教育階段的數學課程要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展。2．課程內容課程內容既要反映社會的需要、數學學科的特征，也要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數學的結論，也應包括數學結論的形成過程和數學思想方法。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗、思考與探索。課程內容的組織要處理好過程與結果的關系，直觀與抽象的關系，直接經驗與間接經驗的關系。課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。3．教學活動教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的數學教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。【更多】數學教學活動應激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數學學習習慣、掌握有效的數學學習方法。學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教