數(shù)字信號處理（第2版）課件 錢玲 第1-3章-引言、離散時間信號與系統(tǒng)、離散傅里葉變換（DFT）

數(shù)字信號處理2024/10/28dsp-chap1-20181知識是引導人生到光明與真實境界的燈燭

----李大釗

離開了信號，系統(tǒng)將失去意義。離開了系統(tǒng)，沒有孤立存在的信號。信息（信號）人（我、系統(tǒng)）2024/10/28dsp-chap1-20182語音處理：語音編碼、語音合成、語音識別、語音增強、語音郵件、語音儲存等。數(shù)字信號處理的典型應用2024/10/28dsp-chap1-20183數(shù)字信號處理的典型應用圖像/圖形：二維和三維圖形處理、圖像壓縮與傳輸、圖像識別、動畫、機器人視覺、多媒體、電子地圖、圖像增強等。輪廓重建指紋識別導航軟件P圖軟件圖像處理視頻識別…….2024/10/28dsp-chap1-20184數(shù)字信號處理的典型應用軍事；保密通信、雷達處理、聲吶處理、導航、全球定位、跳頻電臺、搜索和反搜索等。全球定位系統(tǒng)長劍巡航導彈2024/10/28dsp-chap1-20185數(shù)字信號處理的典型應用儀器儀表：頻譜分析、函數(shù)發(fā)生、數(shù)據(jù)采集、地震處理等。數(shù)字多媒體設(shè)備信息通訊設(shè)備路由器工業(yè)儀器網(wǎng)絡(luò)終端生物感應器醫(yī)療器械2024/10/28dsp-chap1-20186數(shù)字信號處理的典型應用自動控制：控制、深空作業(yè)、自動駕駛、機器人控制、磁盤控制等。智能機器人自動駕駛2024/10/28dsp-chap1-20187數(shù)字信號處理的典型應用醫(yī)療：助聽、超聲設(shè)備、診斷工具、病人監(jiān)護、心電圖等。彩色多普勒超聲診斷心電圖2024/10/28dsp-chap1-20188數(shù)字信號處理的典型應用家用電器：數(shù)字音響、數(shù)字電視、可視電話、音樂合成、音調(diào)控制、玩具與游戲等。2024/10/28dsp-chap1-20189數(shù)字信號處理的典型應用人工智能：感知、決策、反饋、博弈、決策、反饋等。柯潔戰(zhàn)阿法狗“女性”機器人索菲婭被授予了沙特公民的身份。本課程的宗旨顯化實現(xiàn)信號處理的過程（選用器件、算法設(shè)計與實現(xiàn)、產(chǎn)品）如何學習（根本）（1）獲取信息頻域特征的理論與算法；（2）簡單的系統(tǒng)設(shè)計方法（IIR和FIR數(shù)字濾波器設(shè)計）課程地位（大學課程）重要的基礎(chǔ)課程和主干課程；是通信與信息系統(tǒng)以及信號與信息處理等專業(yè)研究生入學考試的必考課程（或者是初試、或者是復試）；其次：提供了處理問題的一種新的思路或方法（取樣）。2024/10/28dsp-chap1-201810《數(shù)字信號處理》課程簡介《數(shù)字信號處理》課程簡介主要研究的內(nèi)容及課時安排

信號頻譜分析----理論、方法與應用

傅里葉變換理論，

離散傅里葉變換（DFT：第3章），

快速傅里葉變換（FFT：第4章）數(shù)字信號處理系統(tǒng)----數(shù)字濾波器理論及分析方法

（信號與系統(tǒng)課程中已經(jīng)大體講過：第2章）

數(shù)字濾波器設(shè)計理論與方法

（IIR（第5章）和FIR（第6章）數(shù)字濾波器設(shè)計）科學理論與實際應用中的差別----誤差討論（第7章）課時分配：56學時（48學時理論課+8學時實驗）2024/10/28dsp-chap1-201811第1章

引言信號與信號處理：信號：在課程《信號與系統(tǒng)》中，定義載有一定信息的一種物理體現(xiàn)為信號；事實上，任意發(fā)生在兩對象之間的交流信息都稱為信號。兩種信號處理方法（根據(jù)處理所依據(jù)的物理器件或信號特點）：模擬信號處理：信號是連續(xù)時間信號，采用模擬器件；數(shù)字信號處理：信號是數(shù)字信號（離散時間信號），采用數(shù)字器件。2024/10/28dsp-chap1-201812信號處理：對信號進行某種加工（數(shù)學計算），其目的是為了提取信號攜帶的有用信息。第1章

引言為什么采用數(shù)字信號處理方法？數(shù)字信號處理方法具有很多的優(yōu)點，比如：模擬系統(tǒng)也有特定的應用場合，是數(shù)字信號處理系統(tǒng)所不能替代的，如2024/10/28dsp-chap1-201813靈活性強；穩(wěn)定性好；精度高；可以實現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)所不能達到的指標；易于大規(guī)模集成；

實時信號處理領(lǐng)域；射頻（RF）信號。現(xiàn)在的研究熱點：人工智能！問題是：人工智能能否取代人類？如何看待、認識并使用人工智能？第1章

引言2024/10/28dsp-chap1-201814數(shù)字信號處理的一般過程和基本框圖？前置預濾波器A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號處理器D/A轉(zhuǎn)換器模擬濾波器圖1數(shù)字信號處理系統(tǒng)的簡單方框圖xa(t)ya(t)x[n]y[n]A/D轉(zhuǎn)換器：也稱模數(shù)轉(zhuǎn)換器，功能是將模擬輸入信號xa(t)轉(zhuǎn)換成數(shù)字序列x[n]，通常由采樣、量化和編碼等過程完成；數(shù)字信號處理器：是DSP系統(tǒng)的核心部分，功能是將數(shù)字序列x[n]按預定的要求進行加工處理，轉(zhuǎn)換成輸出序列y[n]；D/A轉(zhuǎn)換器：也稱數(shù)模轉(zhuǎn)換器，功能是將數(shù)字序列y[n]再轉(zhuǎn)換成模擬信號ya(t)。第1章

引言2024/10/28dsp-chap1-201815數(shù)字信號處理的實現(xiàn)

軟件實現(xiàn)：是指在通用計算機或微處理機上編寫程序?qū)崿F(xiàn)各種復雜的

信號處理算法。

優(yōu)點是靈活、開發(fā)周期短；

缺點是處理速度慢。專用硬件實現(xiàn)：是指實現(xiàn)某種專門信號處理的專用DSP芯片，這些芯片可以是專用數(shù)字信號處理機或?qū)Ｓ眉呻娐贰?/p>

優(yōu)點是處理速度快；

缺點是不靈活、開發(fā)周期長。軟硬件結(jié)合實現(xiàn)：是指在通用DSP芯片上開發(fā)用戶所需的信號處理功能。

優(yōu)點是既具有專用硬件實現(xiàn)的準實時性，又具有軟件實現(xiàn)的可靈活

編程的特點。第1章

引言2024/10/28dsp-chap1-201816第1章

引言2024/10/28dsp-chap1-201817第1章

引言2024/10/28dsp-chap1-201818數(shù)字信號處理的發(fā)展與應用

在理論和技術(shù)方面：（1）由簡單的運算走向復雜的運算；（2）由低頻走向高頻；（3）由一維走向多維。在科學學科和工程應用領(lǐng)域方面：（1）通信；（2）醫(yī)療和生物醫(yī)學工程；（3）資源勘探、能源利用和綠色生活；（4）國防與軍事；（5）消費電子產(chǎn)品。《數(shù)字信號處理》課程教材及參考教材1、教材：數(shù)字信號處理錢玲，谷亞林，王海青電子工業(yè)出版社（2018）2024/10/28dsp-chap1-201819考核方法：平時（20%）（考勤+作業(yè)） MATLAB測試（10%）

期末考試（70%）2、參考教材(1)吳鎮(zhèn)揚，數(shù)字信號處理（第三版），高等教育出版社(2)S.K.Mitra著，闊永紅改編.

數(shù)字信號處理----基于計算

機的方法（第4版：英文改編版）.北京：電子工業(yè)出版社，2013(3)A.V.奧本海姆，R.W.謝弗等著，劉樹棠，黃建國譯.

離散時間信號處理（第2版）.西安：西安交通大學出版社，2001（4）陳懷琛.數(shù)字信號處理教程----MATLAB釋義與實現(xiàn)（第3版）.北京：電子工業(yè)出版社，20132024/10/28dsp-chap1-2018202024/10/28dsp-chap1-201821復習自查（回答問題）：（1）

信號如何表示？線性時不變系統(tǒng)具有什么特點，如何表示？（2）

線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應和零輸入響應有什么關(guān)系？如何定義？（3）

線性時不變系統(tǒng)的自由響應和強迫響應有什么關(guān)系？如何定義？（4）

線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性有何意義？（5）以下述差分方程表示的線性時不變離散系統(tǒng)為例：說明或解釋上述問題y[n](1/3)y[n1]=2x[n1]（a）x[n]=(0.5)nu[n],y[1]=1。求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應、自由響應和強迫響應。（b）x1[n]=(0.5)n，

x2[n]=(0.5)n，x3[n]=1。求系統(tǒng)的輸出信號，分析與系統(tǒng)的頻率響應特性的關(guān)系。（c）分析判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性。第1章

引言第2章離散時間信號與系統(tǒng)2.4離散時間系統(tǒng)2.3離散時間信號的z變換2.2離散時間信號的傅里葉變換(DTFT)2.1離散時間信號------序列2024/10/28dsp-chap2-2018222.6用Matlab分析和實現(xiàn)離散時間信號和系統(tǒng)2.5離散時間系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號2024/10/28dsp-chap2-201823學習目標：熟練描述離散時間信號x[n]（時間域及變換域），區(qū)分離散時間信號與連續(xù)時間信號的差異；

（a）離散時間信號的時域描述方法及序列

[n]和u[n]的應用；

（b）序列的傅里葉變換及其性質(zhì)；

（c）序列的z變換及其性質(zhì)。2.理解線性時不變性（LTI）離散時間系統(tǒng)及其描述方法

（a）LTI離散時間系統(tǒng)的單位沖激響應h[n]及其應用；

（b）線性常系數(shù)非齊次差分方程及其求解；（c）系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應；（d）LTI離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。第2章離散時間信號與系統(tǒng)2.1離散時間信號—序列2.1.1離散時間信號的表示

只在某些離散瞬時給出函數(shù)值的時間函數(shù)，稱為離散時間信號，簡稱為離散信號或序列（sequence）。用符號表示為：f(tn),x(tn)；若tn=nT（n=0,

1,

2,…），則表示為f(nT)或x(nT)或進一步簡化為：f[n]，x[n]注：n只能取整數(shù)，表示各函數(shù)值在序列中出現(xiàn)的先后序號。稱f[n]（或x[n]）為信號在第n個樣點的“樣本”或“樣值”（sample）。2024/10/28dsp-chap2-2018242.1.1離散時間信號的表示2024/10/28dsp-chap2-201825x1[n]12340

1n例：當n=0時，x1[n]|n=0=0；或：x1[0]=01．單位樣值信號

[n]12340

1n1或：

[nm]1230

1n1mm

12．單位階躍序列2024/10/28dsp-chap2-2018262.1.1離散時間信號的表示u[n]12340

1n1

23．矩形序列RN[n]12340

1n1

2N

1N明顯地：RN[n]=u[n]

u[n

N]

RN[n]稱為長度為N的有限長度序列。4.單邊實指數(shù)序列2024/10/28dsp-chap2-2018272.1.1離散時間信號的表示5．單邊正弦序列若

0

=

/10

周期N0

=20

2024/10/28dsp-chap2-2018282.1.1離散時間信號的表示若

0

=

，設(shè)x2[n]=cos

0n=(1)nx2[n]12340

1n1

2

1

周期N2

=2若

0

=2，設(shè)x3[n]=cos2n----非周期序列對正弦序列如果：2

/

0

=p/q（p,q為互質(zhì)整數(shù)）為有理數(shù)，則正弦序列為周期序列；如果：2/

0是無理數(shù)，則正弦序列是非周期序列。

0為序列正弦包絡(luò)的振蕩頻率，也稱為正弦序列的頻率。例：2024/10/28dsp-chap2-2018292.1.1離散時間信號的表示6．復指數(shù)序列2024/10/28dsp-chap2-2018302.1.1離散時間信號的表示復數(shù)值：直角坐標表示：即x[n]=cos

0n+jsin

0n

極坐標表示：即2.1.2周期序列周期序列應滿足：x[n]=x[n+rN]，0

n

N

1，r是任意整數(shù)設(shè)正弦序列：x[n]=cos

0n則?。簒[n+rN]=cos(

0n+rN

0)，所以當且僅當

0rN=2

k（k是整數(shù)）時，正弦序列是周期序列，且周期為2024/10/28dsp-chap2-2018312.1.2周期序列例2.1-1

判斷下列序列的周期性，若是周期序列，求出其周期。解：周期N1=8周期N2=10非周期序列N3=周期N4=42024/10/28dsp-chap2-2018322.1.2周期序列例1

比較下列連續(xù)周期信號與離散周期序列的頻率特點(其中k是整數(shù))：解：周期T1k=T1/k周期N2k=mN/rk隨著整數(shù)k的增加，信號x1k(t)的周期T1k減小，

而頻率k1增加；隨著整數(shù)k的增加，序列x2k[n]的周期N2k不總是減小，

因而頻率k1也不總是增加；2024/10/28dsp-chap2-2018332.1.2周期序列如：周期信號的傅里葉級數(shù)展開：當整數(shù)k=0,1,2，…,7變化時，其圖形如下，可見其周期N2k不單調(diào)減小，因而頻率k1也不單調(diào)增加；而當k=8,9,10，…,15等等變化時，其圖形變化重復上述的序列變化。1n0816

1cosk

0n(a)

0=0，k=02461012141n0816

1cosk

0n(b)

0=

/4，k=1

12024/10/28dsp-chap2-2018342.1.2周期序列1n0816

1cosk

0n(d)

0=

/4，k=3

11n0816

1cosk

0n(f)

0=

/4，k=5

11n0816

1cosk

0n(c)

0=

/4，k=2

11n0816

1cosk

0n(e)

0=

/4，k=4

11n0816

1cosk

0n(h)

0=

/4，k=7

11n0816

1cosk

0n(g)

0=

/4，k=6

12.1.3序列的運算及參數(shù)特征（1）序列的加減：

x[n]=x1[n]

x2[n] （2）序列的乘積和數(shù)乘：

x[n]=x1[n]x2[n]

y[n]=ax[n]（3）序列移位：

y[n]=x[n–m] 從而有這樣2024/10/28dsp-chap2-2018351、序列的基本運算：（4）序列的差分和累加運算：序列的一階前向差分定義為：

x[n]=x[n+1]-x[n]序列的一階后向差分定義為：

x[n]=x[n]

-

x[n-1]序列的累加運算定義為：

（5）序列的反褶：y[n]=x[-n]2024/10/28dsp-chap2-201836（6）序列的單位脈沖疊加運算：

2.1.3序列的運算及參數(shù)特征（7）序列的卷積和2024/10/28dsp-chap2-2018372.1.3序列的運算及參數(shù)特征卷積和的計算方法也類似于卷積積分的四個步驟，即反褶、時移、相乘、求和。例2.1-2

假設(shè)兩序列分別為：求下列序列并畫出它們的圖形：（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]（3）z[n]=y[n+2]+y[n2]解：2024/10/28dsp-chap2-2018382.1.3序列的運算及參數(shù)特征或通過表格列表法求解：x[n]322

1y[n]20

1

3

2

21644

2s[n]641

4

21（a）例2.1-2中卷積和序列s[n]4611

4

2

101234ns[n]（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]={}=6

[n]（3）z[n]=y[

n+2]+y[n+2]={2，0，

，0，2}v[n]

6

10123nz[n]212

2

102n

22024/10/28dsp-chap2-2018392.1.3序列的運算及參數(shù)特征2、序列的特征：（1）奇序列和偶序列奇序列xod[n]滿足：

xod[n]=

xod[

n]偶序列xev[n]滿足：

xev[n]=xev[

n]x[n]=xod[n]+xev[n]其中：xod[n]={x[n]

x

n]}/2；

xev[n]={x[n]+x

n]}/2（2）序列的能量E和功率P序列的能量定義為：序列的功率定義為：當M

時，2024/10/28dsp-chap2-2018402.1.3序列的運算及參數(shù)特征2、序列的特征：（3）序列的長度N有限長度序列和無限長序列（4）因果序列如果n<0時，序列x[n]=0，則稱序列x[n]是因果序列。例如：序列x[n]=｛1,2,3,0,0,0,

2,

1｝,

3

n

4，

則此序列的長度為N=8。有界序列：如果|x[n]|A（常數(shù)），稱序列x[n是有界序列。例如：等幅變化的正弦序列x[n]=Acos(

0n+

0)是有界序列

（無線長度的）。2024/10/28dsp-chap2-2018412.1.4序列的產(chǎn)生（1）本質(zhì)離散的自然序列如：人口統(tǒng)計數(shù)字，每年太陽黑子的平均數(shù)等等（統(tǒng)計的數(shù)據(jù)）（2）對連續(xù)信號的采樣x[n]=xa(nT)=xa(t)|t=nTT----采樣周期。在本章第5節(jié)具體討論，更詳細的分析可以參閱《信號與系統(tǒng)》教材。2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2.2.1序列DTFT的定義2024/10/28dsp-chap2-201842序列x[n]的DTFTX(ej

)定義為X(ej

)是

的連續(xù)函數(shù)，且還是周期函數(shù)，周期為2

。

稱為數(shù)字角頻率，量綱為弧度（rad）。DTFT存在的充分條件：序列x[n]絕對可和，即例2.2-1

求下列序列的DTFT。（1）x1[n]=

[n]；

（2）x2[n]=u[n]

u[n

N]；

（3）x3[n]=anu[n]，（|a|<1）2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201843解：根據(jù)DTFT的定義，有由于X(ej

)是以2

為周期的周期函數(shù)，從而其逆變換，即IDTFT為：序列x[n]及其DTFTX(ej

)總是一一對應的，通常記作DTFT變換對，即：2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2.2.2DTFT的特點與性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-2018441.DTFT的特點X(ej

)的變量

是實的頻率變量；X(ej

)是以2

為周期的周期函數(shù)；X(ej

)的函數(shù)值一般是復數(shù)值：直角坐標表示：

X(ej

)=Xre(ej

)+jXim(ej

)極坐標表示：

X(ej

)=|X(ej

)|ej

(

)，

其中：

|X(ej

)|----稱為幅度頻譜函數(shù)（簡稱幅度譜）

(

)=arg[X(ej

)]----稱為相位頻譜函數(shù)定義相位譜

(

)的取值范圍為：

(

)<

，稱該區(qū)間為相位譜的主值區(qū)間。2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201845例2.2-2

已知一周期連續(xù)譜如圖2.2-2所示，求其對應的序列x[n]。X(ej

)

2

2

c1

c2

c2

c110解：根據(jù)IDTFT計算式，有當n=0時，當n

0時，2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2.2.2DTFT的特點與性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-2018462.DTFT的性質(zhì)記：x1[n]=x*[n]=xre[n]

jxim[n]x2[n]=x[

n]=xre[

n]+jxim[

n]則：證明：2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201847所以：Xcs(ej

)稱為共軛對稱函數(shù)，

其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)；

且幅度譜是偶函數(shù)，相位譜是奇函數(shù)；Xca(ej

)為共軛反對稱函數(shù)，正好與Xcs(ej

)相反，

其實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。這一對關(guān)系也表明：實序列的DTFT是共軛對稱函數(shù)Xcs(ej

)，因而幅度譜是偶函數(shù)，相位譜是奇函數(shù)。2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201848類似地：這一對關(guān)系也表明：共軛對稱序列的DTFT是實函數(shù)Xre(ej

)，而共軛反對稱序列的DTFT是純虛函數(shù)jXim(ej

)。例2

求下列序列的DTFT，其中|a|<1。2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201849解：根據(jù)DTFT的定義，有2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/28dsp-chap2-201850由于傅里葉變換對的一一映射關(guān)系，因此頻域中傅里葉變換對信號的描述與時域中的時間函數(shù)對信號的描述具有等價性，那么序列x[n]在時域所做的各種運算(見2.1.3節(jié))必然引起其頻域函數(shù)X(ej

)產(chǎn)生相應的變化。為便于講述，假設(shè)有兩對DTFT對：1.線性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，則

X(ej

)=

G(ej

)+

H(ej

)。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，

則

X(ej

)=e

jm

G(ej

)。3.頻譜移位：

若4.卷積定理：若x[n]=g[n]*h[n]，

則

X(ej

)=G(ej

)H(ej

)。5.調(diào)制定理：

若x[n]=g[n]h[n]6.頻域微分：

若x[n]=ng[n]，

則2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/28dsp-chap2-2018517.帕斯瓦爾定理：或用信號的能量表示為(即如果：g[n]=h[n])例2.2-3

計算序列x[n]=(n+1)anu[n]，（|a|<1）的DTFTX(ej

)。解：記x1[n]=anu[n]，則

x[n]=nx1[n]+x1[n]根據(jù)例2.2-1，根據(jù)頻域微分性質(zhì)，有再根據(jù)線性性質(zhì)，則得到2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201852例2.2-4

若序列x[n]=sin(

cn)/(

n)，證明：證明：根據(jù)帕斯瓦爾定理，知由例2.2-2的求解，得到從而例2.2-5

若序列x[n]=｛42

15

31

242｝，

6

n

2。

其DTFT為X(ej

)，求下列表達式的值。（1）X(ej0)，

（2）X(ej

)，2.2離散時間信號的傅里葉變換（DTFT）2024/10/28dsp-chap2-201853解：（1）根據(jù)DTFT的定義，直接計算（2）類似（1）（3）根據(jù)IDTFT（4）根據(jù)帕斯瓦爾定理（5）根據(jù)頻域微分定理和帕斯瓦爾定理2.3離散時間信號的z變換2.3.1z變換定義及其收斂域2024/10/28dsp-chap2-2018541.序列的z變換（也稱雙邊z變換）定義為其中z是復變量，記為z=rejw，可以用復平面（z平面）上的點來定義：RezjImzz=ej

單位圓

j

11jz平面圖2.3-1z平面及復變量z=ej

例2.3-1求下列序列的z變換：解：2.3離散時間信號的z變換2024/10/28dsp-chap2-201855RezjImz|z|=|a|z平面O解：RezjImz|z|=|a|z平面O對任意給定的序列，使z變換收斂的z值集合稱為收斂域(ROC)。一般情況，雙邊z變換的收斂域是一個環(huán)形區(qū)域：R+<|z|<R

。2.z變換的收斂域（ROC）例3求下列序列的z變換：2.3離散時間信號的z變換2024/10/28dsp-chap2-201856解：其中如果，0<|a|<1，則如果，|a|

1，則2.3離散時間信號的z變換2024/10/28dsp-chap2-2018572.z變換的收斂域（ROC）（1）有限長序列：設(shè)x[n]=0，

n

<

n1且n>n2，則其z變換的ROC至少

為0<|z|<

，但有時可能會包括z=0或z=

；（2）右邊序列：設(shè)x[n]=0，n<n1，則其z變換的ROC是z平面上一個

以原點為圓心、半徑為R+的圓的外部，即|z|>R+；（3）左邊序列：設(shè)x[n]=0，n>n2，則其z變換的ROC是z平面上一個

以原點為圓心、半徑為R

的圓的內(nèi)部，即|z|<R

；（4）雙邊序列：設(shè)x[n]=0，n取任意值，則其z變換的ROC是z平面上

的一個圓環(huán)，即

R+<|z|<R

。3.常見z變換的函數(shù)形式：2.3離散時間信號的z變換2024/10/28dsp-chap2-2018583.常見z變換的函數(shù)形式：其中系數(shù)ai，bi都是實數(shù)，也即一般的常見z變換是一個分式形式，其分子和分母分別是z的高次實系數(shù)多項式，又稱為有理分式。根據(jù)多項式分解理論，又可以寫為右端的因式分解表達，那么：零點：當z=zi時，X(zi)=0，則zi稱為X(z)的零點；極點：當z=pi時，X(pi)=(或1/X(pi)=0)，則pi稱為X(z)的極點。零點：極點：2.3離散時間信號的z變換2.3.2逆z變換及其求解2024/10/28dsp-chap2-201859----部分分式展開法例2.3-3

求z變換函數(shù)的逆z變換：解：將展開成部分分式為其中：2.3離散時間信號的z變換2024/10/28dsp-chap2-2018602.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換定理2024/10/28dsp-chap2-201861假設(shè)z變換對：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_1.線性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，則

X(z)=

G(z)+

H(z)，max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，則X(z)=z

mG(z)，Rg+<|z|<Rg_。3.z域尺度變換：若x[n]=

ng[n]，則X(z)=G(z/

)，Rg+<|z/

|<Rg_。4.序列共軛：若x[n]=g*[n]，則X(z)=G*(z*)，Rg+<|z|<Rg_。5.序列反轉(zhuǎn)：若x[n]=g[

n]，則X(z)=G(1/z)，Rg+<|1/z|<Rg_。6.卷積定理：若x[n]=g[n]*h[n]，則X(z)=G(z)H(z)，

max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。7.z域微分：

若x[n]=ng[n]，則2.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-201862假設(shè)z變換對：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_8.初值定理：因果序列x[n]，其z變換為X(z)，則序列x[n]的初值為：9.終值定理：因果序列x[n]，其z變換為X(z)，則序列x[n]的終值為：10.調(diào)制定理：若x[n]=g[n]h[n]，則11.帕斯瓦爾定理：2.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-201863例2.3-4求z變換，設(shè)X(z)=Z

[x[n]]。(1)求Y(z)，已知(2)求

W(z)，已知w[n]=rncos(

0n)x[n]。解：（1）由于根據(jù)z變換的移位性質(zhì)和線性性質(zhì)，有：Y(z)

z

1Y(z)=X(z)，（2）利用Eular公式：由z域尺度變換性質(zhì)：2.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-201864單邊z變換移位序列x[n

m]的單邊z變換也要做相應的修正Z

[x[n-1]]=z-1X(z)+x[-1]，Z

[x[n-2]]=z-2X(z)+z-1x[-1]+x[-2]Z

[x[n+1]]=zX(z)-zx[0]，

Z

[x[n+2]]=z2X(z)-z2x[0]-zx[1]例2.3-5利用z變換求差分方程在不同條件下的解y[n]，n

0。

y[n]+2y[n-1]-

3y[n-2]=x[n]+

x[n-1]（1）y[-1]=0，y[-2]=0，x[n]=

[n]；(2)y[-1]=1，y[-2]=-1，x[n]=u[n]解：對差分方程兩邊分別取單邊z變換，2.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-201865(1)代入條件(1)，即X(z)=1，y[-1]=0，

y[-2]=0(2)代入條件(2)，即y[-1]=1，

y[-2]=-1，右端第一項記為2.3離散時間信號的z變換2.3.3z變換的性質(zhì)2024/10/28dsp-chap2-201866右端第二項記為2.3離散時間信號的z變換2.3.4z變換與DTFT的關(guān)系2024/10/28dsp-chap2-201867在序列x[n]的z變換X(z)中，如果ROC包含復變量z=ej

，則X(ej

)存在，即例2.3-6分別求序列

x[n]=u[n]-u[n-8]的z變換和DTFT。解：序列x[n]的z變換為可以看到，X(z)的極點為p=0(7階)，零點為，k=1，2，…，7。其DTFT為2.4離散時間系統(tǒng)2.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)離散時間系統(tǒng)可以看成為一個離散信號的變換器，當輸入信號x[n]經(jīng)過該離散系統(tǒng)后，將變換成另一個序列------輸出信號y[n]，其框圖如圖所示。最基本的一類系統(tǒng)：線性時不變離散時間系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)是指滿足疊加性與均勻性的離散系統(tǒng)。2024/10/28dsp-chap2-201868時不變離散系統(tǒng)是指在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應與激勵施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)。即：若激勵信號x[n]產(chǎn)生的響應為y[n]，則激勵信號x[n

m]產(chǎn)生的響應為y[n

m]，即發(fā)生同步延遲。2024/10/28dsp-chap2-2018692.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)例2.4-1

判斷滑動平均濾波器的線性特性及時不變特性。廣義的滑動平均系統(tǒng)的輸出y[n]與輸入x[n]滿足以下關(guān)系解：假設(shè)y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分別為輸入x1[n]和x2[n]時的輸出信號。（1）當輸入信號為x3[n]=ax1[n]時，輸出信號為因而該系統(tǒng)滿足均勻性。2024/10/28dsp-chap2-2018702.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)（2）輸入信號為x4[n]=x1[n]+x2[n]時，輸出信號為該系統(tǒng)滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。2024/10/28dsp-chap2-2018712.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)72（3）假設(shè)輸入信號為x5[n]=x1[n

m]，則輸出信號為因而該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)。2024/10/28dsp-chap2-2018722.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)例2.4-2

判斷下式表示的系統(tǒng)是否具有線性特性及時不變特性解：假設(shè)y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分別為輸入x1[n]和x2[n]時的輸出信號。因而該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。2024/10/28dsp-chap2-2018732.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)（1）當輸入信號為時，輸出信號為x3[n]=a1x1[n]+a2x2[n]74（2）假設(shè)輸入信號為x4[n]=x1[n

m]，則輸出信號為因而該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。綜合以上討論，該系統(tǒng)是一個非線性時變系統(tǒng)。2024/10/28dsp-chap2-2018742.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)75因果離散系統(tǒng)與穩(wěn)定離散系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號y[n]在n=n0時刻的輸出樣本y[n0]僅由輸入信號x[n]在n

n0時刻的樣本值，即{x[n]|n

n0}決定，而與n>

n0時的樣本值x[n]無關(guān)，則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。當且僅當每一個有界的輸入信號x[n]激勵系統(tǒng)時，產(chǎn)生的輸出信號y[n]也是有界的，則系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)（BIBO）。2024/10/28dsp-chap2-2018752.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)例4

判斷滑動平均濾波器的因果性與穩(wěn)定性解：（1）如果M2>M1

0，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，如取M1=0，M2=1，則y[n]=(x[n]+x[n

1])/2，即輸出樣本僅取決于現(xiàn)在的輸入樣本x[n]和過去的輸入樣本x[n

1]。如果M1<M2

0，則系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，如取M1=

1，M2=0，則y[n]=(x[n+1]+x[n])/2，即輸出樣本取決于包括現(xiàn)在的輸入樣本x[n]和未來的輸入樣本x[n+1]。2024/10/28dsp-chap2-201876（2）如果M1，M2是有限數(shù)值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.4.1離散時間系統(tǒng)及其性質(zhì)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，以單位脈沖信號

[n]作為激勵，所產(chǎn)生的響應稱為“單位脈沖響應”，也稱單位沖激響應，或者樣值響應，以h[n]表示。類似地，系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，以單位階躍信號u[n]作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應稱為“單位階躍響應”，以g[n]或s[n]表示。定義2024/10/28dsp-chap2-2018772.4.2LTI離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應首先，如果LTI離散時間系統(tǒng)的脈沖響應為h[n]，則系統(tǒng)對任意輸入信號x[n]產(chǎn)生的響應為y[n]=T[x[n]]，由于2024/10/28dsp-chap2-2018782.4.2LTI離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應例5

求下式所表示的滑動平均濾波器的單位脈沖響應。解：令x[n]=

[n]，則如果：M1=0，M2=M1，則即在上述條件下，滑動平均濾波器的脈沖響應是一個長度為M的有限長序列。脈沖響應是有限長序列（長度為M）的離散系統(tǒng)，又稱為有限沖激響應濾波器（FIR數(shù)字濾波器，且其階數(shù)為(M1)）。2024/10/28dsp-chap2-2018792.4.2LTI離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應例6

求5階滑動平均濾波器的輸出響應，設(shè)輸入信號x[n]=6{u[n]

u[n6]}。解：5階滑動平均濾波器的單位樣值響應為：從而系統(tǒng)的輸出信號為：2024/10/28dsp-chap2-2018802.4.2LTI離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應例7

求下式所表示累加器的單位脈沖響應。解：令x[n]=

[n]，則即累加器的脈沖響應是單位階躍序列，是無限長度的序列。脈沖響應是無限長序列的離散系統(tǒng)，又稱為無限沖激響應濾波器（IIR數(shù)字濾波器）。將上式中累加器的輸出-輸入方程進行變形，可以得到：LTI離散系統(tǒng)的輸出-輸入關(guān)系一般可以用上述的差分方程表示。LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學模型----線性常系數(shù)差分方程：1.沖激響應h[n]的求解將x[n]=

[n]及h[i]=0，i=1，2

，3，…，

N代入上式差分方程，（為便于計算，假設(shè)系數(shù)aN=1）得2024/10/28dsp-chap2-2018812.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程其中系數(shù)ai，bi都是實數(shù)。

上述利用迭代的方法比較簡單，但難以給出閉式的解。2024/10/28dsp-chap2-201882可以利用通用的時域經(jīng)典解法：由于輸入x[n]=

[n]=0,n>0,故其強迫響應部分yp[n]=0,n>0。而系數(shù)Ak可以由初始狀態(tài)h[n]，n=0,1,2,…,N1求出。2.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程可以利用z變換域解法：例8：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所表示系統(tǒng)

的單位樣值響應h[n]2024/10/28dsp-chap2-201883解：方程兩邊作z變換，得到Y(jié)(z)

0.4z

1Y(z)+0.03z

2Y(z)=2X(z)2.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程a)如果收斂域ROC取：|z|>0.3，則b)如果收斂域ROC取：|z|<0.1，則c)如果收斂域ROC取：0.1<|z|<0.3，則2024/10/28dsp-chap2-2018842.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程2.求任意輸入信號和任意狀態(tài)下的系統(tǒng)響應可以利用通用的時域經(jīng)典解法：其中：yh[n]是自由響應（齊次解），反應系統(tǒng)特性，由系統(tǒng)決定；yp[n]是強迫響應，反應輸入信號經(jīng)系統(tǒng)處理后發(fā)生的變化；而系統(tǒng)的起始狀態(tài)y[i]，i=

1,

2,…,

N求出確定輸出信號的幅度等具體參數(shù)?？梢岳脝芜厇變換求解法（見2.3.3節(jié)）：上式中：第一項稱為是零狀態(tài)響應yzs[n]（起始狀態(tài)為零時的響應）；第二項稱為是零輸入響應yzi[n]（不加輸入信號，由起始狀態(tài)延續(xù)的響應）。例9：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所示系統(tǒng)的響應。

已知條件：x[n]=(0.3)nu[n]，

y[1]=1，y[2]=2。2024/10/28dsp-chap2-201885解：方程兩邊作單邊z變換，得到Y(jié)(z)

0.4{z

1Y(z)+y[

1]}+0.03{z

2Y(z)+z

1y[

1]+y[

2]}=2X(z)2.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程收斂域ROC取：|z|>0.3，則2024/10/28dsp-chap2-2018862.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程3.系統(tǒng)差分方程的建立利用系統(tǒng)對信號處理運算的過程與關(guān)系而建立，如：圖2.4-5例2.4-3的系統(tǒng)框圖

x[n]y[n]E

10.9E

1

0.232w[n]解：設(shè)左邊加法器輸出為w[n]，則：w[n]=x[n]+0.9w[n-1]

0.2w[n-2]而右邊加法器輸出信號（y[n]）可表示為：y[n]=3w[n]+2w[n-1]從而：y[n]

0.9y[n-1]+0.2y[n-2]=3x[n]+2x[n-1]例2.4-3

考察圖2.4-5所示的離散系統(tǒng)，試寫出其激勵x[n]和響應y[n]之間的差分方程式（其中符號

表示加法器，做加法運算；表示延時器，作延時1個時間單元運算；

表示數(shù)a和信號相乘，稱為數(shù)乘器或乘法器。）E

1

2024/10/28dsp-chap2-201887

例：銀行的儲蓄與貸款業(yè)務(wù)描述：

以銀行存款業(yè)務(wù)為例：零存整取存款方式儲蓄

設(shè)每月的存款額為R[n]，存款時間N個月，存款月利率為I，計算到期后賬戶款總額P。

設(shè)第n

1個月末賬戶款額為y[n

1]，第n個月末存款款額為y[n]，則它們之間的關(guān)系為y[n]=y[n

1]

+

R[n]+Iy[n

1]y[0]=R[0],R[n],0n

N12.4.3LTI離散時間系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程2024/10/28dsp-chap2-2018882.4.4LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應1.系統(tǒng)函數(shù)脈沖響應為h[n]的LTI離散系統(tǒng)，對輸入信號x[n]產(chǎn)生的響應y[n]可由卷積和計算得到，即由z變換的卷積定理Y(z)=X(z)H(z)或者－－稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（也稱傳輸函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應是一對ｚ變換對的關(guān)系，即2024/10/28dsp-chap2-2018892.4.4LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應1.系統(tǒng)函數(shù)當LTI離散系統(tǒng)由差分方程表示為：則系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為－－系統(tǒng)函數(shù)的零極點形式表示2024/10/28dsp-chap2-2018902.4.4LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應2.頻率響應特性脈沖響應為h[n]的LTI離散系統(tǒng)，對輸入信號x[n]產(chǎn)生的響應y[n]可由卷積和計算得到，即由DTFT變換的卷積定理Y(ej

)=X(ej

)H(ej

)或者－－稱為系統(tǒng)的頻率響應特性，簡稱頻響特性系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應是一對DTFT變換對的關(guān)系，即很顯然，只有當脈沖響應h[n]絕對可和時，系統(tǒng)的頻率響應方有意義。2024/10/28dsp-chap2-2018912.4.4LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應2.頻率響應特性另一方面，根據(jù)z變換與DTFT的關(guān)系：上式要求系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，即例2.4-5

分析一階差分方程

y[n]-ay[n-1]=x[n]，|a|<1

所描述的

離散系統(tǒng)頻率響應特性。解：系統(tǒng)函數(shù)為其零點為0，極點為a，所以其零點矢量為極點矢量為2024/10/28dsp-chap2-2018922.4.４LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應假設(shè)

1<a<0，且系統(tǒng)函數(shù)的ROC為|z|>|a|，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC包含單位圓周，其幅頻特性：|H(ej

)|=1/A，

相頻特性：

(

)=

例2.4-6設(shè)FIR系統(tǒng)的脈沖響應為h[n]=an{u[n]-u[n-N]}，0<a<1，

求其頻率響應特性。。解：系統(tǒng)函數(shù)為其零點為zi=aej(

/N)i，i=0，1，

，N

1；極點為pi=0(i=1，2，

，N

1，重極點)和p0

=a；2024/10/28dsp-chap2-2018932.4.4LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應所以其零點矢量為極點矢量為圖2.4-7例2.4-6FIR系統(tǒng)的零極點分布圖及頻響特性(a)RezjImz10|z|=a(4)

1(b)

2

2

0

|H(ej

)|

2

2

0

(c)

(

)2024/10/28dsp-chap2-2018942.4.5LTI離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性1.因果性因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)的輸出信號是由輸入信號的作用才產(chǎn)生的，因而輸出信號的出現(xiàn)不會超前于輸入信號。對于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)為系統(tǒng)的沖激響應h[n]是因果序列，即

h[n]=0，n<0，或者：h[n]=h[n]u[n]。對于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)在系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)上，則要求其收斂域滿足：|z|>R+

，且要求有理分式H(z)的分子多項式方次不高于分母多項式的方次。2024/10/28dsp-chap2-2018952.4.5LTI離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2.穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)是指當輸入信號有界時，輸出信號也有界的系統(tǒng)，即是有界輸入有界輸出（BIBO，BoundedInputBoundedOutput）意義上的穩(wěn)定。對于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)為系統(tǒng)的沖激響應h[n]具有絕對可和的特點，即對于LTI離散系統(tǒng)，表現(xiàn)在系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)上，則要求其收斂域包含z平面上的單位圓，或者說系統(tǒng)的頻率響應存在。對于因果穩(wěn)定的LTI離散系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點pi必定在z平面上單位圓的內(nèi)部，即|pi|<1。2024/10/28dsp-chap2-201896解：(1)因為h1[

1]=

2

0，因而該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)；例2.4-7設(shè)LTI離散系統(tǒng)的脈沖響應為下述序列，

判斷這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；再看其系統(tǒng)函數(shù)：(2)因為h2[

1]=1/2

0，因而該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)；因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；2.4.5LTI離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2024/10/28dsp-chap2-201897再看其系統(tǒng)函數(shù)：(3)因為當n<0時，h3[n]=0，因而該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；(4)因為當n<0時，h4[n]=0，因而該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；不收斂，因而該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)；再看其系統(tǒng)函數(shù)：其極點為p1,2=

j，收斂域|z|>1，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是因果的。備注：由于其極點剛好落在單位圓周上，且是一階的，因而屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。2.4.5LTI離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性2.5離散時間系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號2.5.1連續(xù)時間信號的數(shù)字化處理1.前置濾波器。保證后續(xù)數(shù)字化處理的有效性。2024/10/28dsp-chap2-201898前置預濾波器A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號處理器D/A轉(zhuǎn)換器模擬濾波器圖1數(shù)字信號處理系統(tǒng)的簡單方框圖xa(t)ya(t)x[n]y[n]2.A/D轉(zhuǎn)換器。完成對滿足采樣定理的模擬信號進行采樣、量化、編碼等

操作得到數(shù)字信號，為后面的數(shù)字信號處理器提供條件。3.數(shù)字信號處理器。是整個信號處理系統(tǒng)的核心環(huán)節(jié)，

可以在頻域進行，也可以在時域進行。2024/10/28dsp-chap2-2018992.5.1連續(xù)時間信號的數(shù)字化處理4.D/A轉(zhuǎn)換器。將處理后后的數(shù)字信號還原為模擬信號以供應用。5.平滑濾波器。由于D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號是階梯狀信號，

包含有大量的高頻信號，通過平滑濾波器可以去

除這些高頻信號的影響，而得到平滑的模擬信號。2.5.2連續(xù)時間信號的采樣及采樣定理1、采樣的等效過程沖激串轉(zhuǎn)換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)圖2.5-1兩步完成的連續(xù)信號采樣框圖第一步：xa(t)經(jīng)采樣得到?jīng)_激串信號xs(t)，其中T是采樣周期，即2024/10/28dsp-chap2-20181002.5.2連續(xù)時間信號的采樣及采樣定理1、采樣的等效過程沖激串轉(zhuǎn)換為序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)圖2.5-1兩步完成的連續(xù)信號采樣框圖第二步：取出沖激串信號xs(t)的幅度序列得到離散序列x[n]，即：x[n]=xa(nT)xa(t)xs(t)0t2T3T

T

2T

TT=T1

xa(t)xs(t)0T2T3T

T

2TtT=2T1x[n]=xa(nT1)0n23

1

2

145687

3

4

5

6

0nx[n]=xa(n2T1)2314567

1

2

3

4

52.采樣信號的頻譜2024/10/28dsp-chap2-20181012.5.2連續(xù)時間信號的采樣及采樣定理所以：X(ej

)|

=

T=Xs(j

)或

Xs(j

)|

=

/T=X(ej

)也就是說：序列x[n]的傅里葉變換X(ej

)是采樣的沖激串信號xs(t)的傅里葉變換Xs(j

)在頻率軸上的尺度變換，頻率尺度變換關(guān)系為

=

/T。又根據(jù)連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)展開，其中：2024/10/28dsp-chap2-20181022.5.2連續(xù)時間信號的采樣及采樣定理即，采樣的沖激串信號xs(t)的傅里葉變換Xs(j

)是原始連續(xù)信號xa(t)的傅里葉變換Xa(j

)幅度變?yōu)?/T倍后的周期性復制，復制的頻率周期是

T=2

/T。2024/10/28dsp-chap2-20181032.5.2連續(xù)時間信號的采樣及采樣定理Xa(j

)0

m

（a）

m1

Xs(j

)0

m

T

m

1/T2

T

T

(

T

m)

Xs(j

)0

T

T

1/T2

T

2

T

(

T

m)

3

T

4

T

T=2

/T

T>2

m

T<2

m3.奈奎斯特采樣定理：假設(shè)帶限信號xa(t)的傅里葉變換Xa(j

)滿足：Xa(j

)=0，|