2023-2024學年遼寧省丹東市通遠堡高中高三第三次全國大聯(lián)考：數(shù)學試題卷

2022-2023學年遼寧省丹東市通遠堡高中高三第三次全國大聯(lián)考：數(shù)學試題卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若sin(α+3π2A．-12 B．-132．某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年3．若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或4．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．5．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)（）A． B． C． D．7．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．158．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．9．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．11．已知集合，則等于（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（1，2），則sin（π﹣α）的值是_____．14．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線(a＞0)的一條漸近線方程為，則a＝_______．15．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則的面積為__________.16．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足：，，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；18．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.19．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.20．（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a21．（12分）設（1）證明:當時，；（2）當時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）22．（10分）一張邊長為的正方形薄鋁板（圖甲），點，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點，制作成一個無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.2．D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.3．D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.4．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．5．D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關的問題，本題屬于基礎題.6．B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復數(shù).故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.7．C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．8．D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關于f1.5≤2故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關于1,0中心對稱是解題的關鍵.9．B【解析】

結合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關系,構造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.10．A【解析】

如圖設平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.11．C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.12．A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計算sinα，再利用誘導公式計算得到答案.【詳解】由題意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，誘導公式，意在考查學生的計算能力.14．3【解析】

雙曲線的焦點在軸上，漸近線為，結合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a＞0)的漸近線為，且一條漸近線方程為，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線，明確雙曲線的焦點位置，寫出雙曲線的漸近線方程的對應形式是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15．【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，考查計算能力.16．192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.（3）分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當n為奇數(shù)時,.猜測：當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明：,命題成立；假設當時,命題成立；當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）把點代入橢圓方程，結合離心率得到關于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達定理可得，，設的中點為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關鍵;屬于中檔題.19．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結果；（2）利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】（1），，由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的解集為；（2），，由絕對值三角不等式可得.因此，.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用絕對值三角不等式證明不等式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.20．(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.21．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構造函數(shù)，求得并令，由導函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導，變形后討論當時的函數(shù)單調(diào)情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構造函數(shù)，利用導函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當時不滿足題意，因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當時代入可得，令，，則，令解得，當時，所以在單調(diào)遞增，當時，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時，當時，，則在時單調(diào)遞減，所以，即當時成立；所以此時需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當時取得最小值，則，，，所以此時滿足的整數(shù)的最大值為；當時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當時，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了導數(shù)在證明不等式中的應用，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關系和應用，構造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號，綜合性強，屬于難題.22．（1），；（2）當值為時，無蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】

（1）由已知求得，