《機械控制工程基礎(chǔ) 第2版》 課件 王潔 第5-7章 控制系統(tǒng)的誤差分析、控制系統(tǒng)的頻域分析、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1第5章

控制系統(tǒng)的誤差分析5.15.2單擊添加標題穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念穩(wěn)態(tài)偏差的計算5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念系統(tǒng)的誤差：是指被控對象的期望輸出信號與實際輸出信號之差。xor(t)是期望輸出xo(t)是實際輸出e(t)為誤差，E1(s)誤差拉氏變換5.1.1系統(tǒng)的誤差與偏差系統(tǒng)的偏差：是指控制系統(tǒng)的輸入信號與控制系統(tǒng)的主反饋信號之差。xi(t)是輸入信號b(t)為主反饋信號

(t)為偏差5.1.1系統(tǒng)的誤差與偏差閉環(huán)系統(tǒng)之所以能對輸出xo(t)進行自動控制，就在于運用偏差E(s)進行控制。當偏差E(s)不等于零，實際輸出與期望輸出不同，E(s)起控制作用，力圖將實際輸出Xo(s)調(diào)節(jié)到期望輸出Xor(s)。當偏差E(s)=0，控制系統(tǒng)無作用，實際輸出是期望輸出。5.1.1系統(tǒng)的誤差與偏差誤差信號E1(s)、e(t)與偏差信號E(s)、

(t)的關(guān)系：對于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)誤差與偏差相同:因此，求出偏差E(s)、

(t)，就能求出系統(tǒng)誤差E1(s)、e(t)。5.1.2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差定義：系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。同理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差,與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和輸入信號形式有關(guān).5.2.1系統(tǒng)的類型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):K為系統(tǒng)的開環(huán)增益;

i、Tj為各環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

為開環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。系統(tǒng)分類，按

值分：

=0，無積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)。

=1，有一個積分環(huán)節(jié)，稱為I型系統(tǒng)。

=2，有兩個積分環(huán)節(jié)，稱為II型系統(tǒng)。5.2與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：一個積分環(huán)節(jié)，I型系統(tǒng)只與開環(huán)放大倍數(shù)K、開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個數(shù)

有關(guān)1.位置無偏系數(shù)Kp系統(tǒng)輸入為單位階躍信號：5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：令：因此，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：Kp——位置無偏系數(shù)0型系統(tǒng):I型、II型系統(tǒng):0型系統(tǒng)I、II型系統(tǒng)5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：單位反饋系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應曲線2.速度無偏系數(shù)Kv系統(tǒng)輸入為單位斜坡信號時:5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：令：因此，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：Kv—速度無偏系數(shù)0型系統(tǒng):I型系統(tǒng):0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng):II型系統(tǒng)5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：單位反饋系統(tǒng)對單位斜坡輸入的響應曲線3.加速度無偏系數(shù)Ka系統(tǒng)輸入為單位加速度信號時:5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：令：因此，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：Ka—加速度無偏系數(shù)0型和I型系統(tǒng):II型系統(tǒng):II型系統(tǒng)跟隨單位加速度輸入信號時的輸出波形5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：表5-1在不同輸入時不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)表5-1概括了0型、I型、II型系統(tǒng)在各種輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)偏差。對角線上方穩(wěn)態(tài)偏差為無窮大，對角線下方穩(wěn)態(tài)偏差為零。穩(wěn)態(tài)偏差取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和輸入信號穩(wěn)態(tài)偏差值與系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K有關(guān)。K值越大，穩(wěn)態(tài)偏差越?。籏值越小，穩(wěn)態(tài)偏差越大。對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差相等。對于非單位反饋系統(tǒng)，可由式

，

將穩(wěn)態(tài)偏差轉(zhuǎn)換為穩(wěn)態(tài)誤差。5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)當輸入信號是上述典型信號的線性組合：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差是它們分別作用時的穩(wěn)態(tài)偏差之和。例5-1某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

，試分別求出系統(tǒng)對單位階躍、單位斜坡、單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差。解

位置偏差：速度偏差：加速度偏差：5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù),可知，該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，由位置無偏系數(shù)：速度無偏系數(shù)：加速度無偏系數(shù)：所以，該系統(tǒng)對三種典型輸入靜態(tài)無偏系數(shù)和穩(wěn)態(tài)偏差分別為：例5-2已知一個具有單位負反饋的自動跟蹤系統(tǒng)（I型系統(tǒng)），系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K=600rad/s，系統(tǒng)的最大跟蹤速度

max=24rad/s，求系統(tǒng)在最大跟蹤速度下的穩(wěn)態(tài)。解

由題意知，系統(tǒng)的輸入為恒速度輸入，即單位斜坡輸入，輸入信號為I型系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)為5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)所以，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：例5-3已知系統(tǒng)方框圖如圖5-5所示，當系統(tǒng)輸入信號為

時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。解根據(jù)系統(tǒng)方框圖，求開環(huán)傳遞函數(shù)由傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，開環(huán)增益將輸入信號分解成典型信號疊加形式：因此，系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)偏差

ss為：5.2.2靜態(tài)無偏系數(shù)習題5-12解：因為5-12系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求單位斜坡輸入時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差的K值所以，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，開環(huán)增益為K/5。在斜坡函數(shù)輸入時，習題5-14解：

由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，開環(huán)增益為100。系統(tǒng)在單位階躍信號、單位斜坡信號、單位加速度信號作用下的穩(wěn)態(tài)偏差分別為0、1/K、

5-14某單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求當輸入為時的穩(wěn)態(tài)偏差。

輸入信號是三種典型信號的疊加，即：所以，習題5-95-9控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題圖5-12所示，其中擾動信號

。試問：能否選擇一個合適的

值，使系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差為

。N(s)解：由書中式（5-24），可知系統(tǒng)在干擾信號n(t)單獨作用下引起的穩(wěn)態(tài)偏差為：所以，本題系統(tǒng)的擾動作用穩(wěn)態(tài)偏差為：由題意可得求得：習題5-9解：由書中式（5-24），可知系統(tǒng)在干擾信號n(t)單獨作用下引起的穩(wěn)態(tài)偏差為：5-9控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題圖5-12所示，其中擾動信號

。試問：能否選擇一個合適的

值，使系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差為

。N(s)所以，本題系統(tǒng)的擾動作用穩(wěn)態(tài)偏差為：由題意可得求得：22第6章控制系統(tǒng)的頻域分析法控制系統(tǒng)的頻域分析法頻率特性的對數(shù)坐標圖3頻率特性概述1頻率特性的極坐標圖2最小相位系統(tǒng)54頻域性能指標6.1頻率特性概述頻率特性頻率特性的求法求法舉例特點和作用6.1.1頻率響應頻率響應是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應。當線性系統(tǒng)輸入某一頻率的正弦波，經(jīng)過充分長的時間后，系統(tǒng)的輸出響應仍是同頻率的正弦波;而且輸出與輸入的正弦幅值之比，以及輸出與輸入的相位之差，對于一定的系統(tǒng)來說是完全確定的。6.1.2頻率特性當不斷改變輸入諧波頻率（由0變化到∞）時，6.1.3頻率特性的求法（1）定義法：通過拉氏反變換求系統(tǒng)時間響應。用時間響應的幅值除以輸入信號幅值，求幅頻特性。用時間響應的相位角減去輸入信號的相位角，求相頻特性。6.1.3頻率特性的求法

例6.1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其頻率特性。解：因為

所以再取Laplace逆變換并整理，得6.1.3頻率特性的求法

例6.1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其頻率特性。頻率特性為

表示為

或6.1.3頻率特性的求法

例6.1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其頻率特性。

系統(tǒng)的幅頻特性為

系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出響應為：6.1.3頻率特性的求法

例6.1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其頻率特性。6.1.3頻率特性的求法例6.26.1.4頻率特性的特點和作用（1）時間響應分析主要用于分析線性系統(tǒng)過渡過程，以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性；而頻率特性分析則通過分析不同的諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，以獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。（2）在研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響時，在頻域中分析比在時域中分析要容易些。根據(jù)頻率特性可較方便判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，對系統(tǒng)校正，使系統(tǒng)盡可能達到預期性能指標。（3）若系統(tǒng)在輸入信號的同時，在某些頻帶中有著嚴重的噪音干擾，則對系統(tǒng)采用頻率特性分析法可設(shè)計出合適的通頻帶，以抑制噪音的影響。6.2頻率特性的極坐標圖極坐標圖的概念一個復數(shù)可以用復平面上的一個點或一條矢量表示。在直角坐標或極坐標平面上以

為參變量，當

由0→∞時，畫出頻率特性G(j

)的點的軌跡這個圖形就稱為頻率特性的極坐標圖，或稱為幅相頻特性圖，或稱為奈奎斯特圖這個平面稱為G(s)的復平面。6.2頻率特性的極坐標圖找出

=0及

→∞時G(j

)的位置，以及另外的1、2個點或關(guān)鍵點，再把它們連結(jié)起來并標上變化情況，就成為極坐標簡圖。繪制極坐標簡圖的主要依據(jù)是相頻特性，同時參考幅頻特性。有時也要利用實頻特性和虛頻特性。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)導前環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)（1）比例環(huán)節(jié)（2）積分環(huán)節(jié)（3）微分環(huán)節(jié)（4）慣性環(huán)節(jié)（5）一階微分環(huán)節(jié)（或稱導前環(huán)節(jié)）（6）振蕩環(huán)節(jié)（6）振蕩環(huán)節(jié)由此，有當λ=0時，即ω=0時，當λ=1時，即ω=ωn

時，當λ=∞時，即ω=∞時，（6）振蕩環(huán)節(jié)由，求得又因為，所以得諧振頻率從而可求得諧振峰值（6）振蕩環(huán)節(jié)不同時振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖（7）二階微分環(huán)節(jié)由于即二階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖（8）延時環(huán)節(jié)由于即幅頻特性相頻特性延時環(huán)節(jié)的極坐標圖6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法系統(tǒng)Nyquist圖的一般作圖方法①寫出系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性表達式；②分別求出ω=0和ω→∞時的幅值和相位；③觀察Nyquist圖與實軸的交點，交點可利用Im|G(jω)|=0的關(guān)系求出，也可利用關(guān)系式∠G(jω)=n*180°（n為整數(shù)）求出；6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法④觀察Nyquist圖與虛軸的交點，交點可利用的關(guān)系求出，也可以利用關(guān)系式求出；⑤必要時畫出Nyquist圖中間幾點；⑥勾畫出大致曲線。6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法[例6.3]已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試繪制開環(huán)頻率特性極坐標圖?！窘狻肯到y(tǒng)的頻率特性為6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法

(

)A(

)Re(

)Im(

)0-90°∞-KT-∞∞-180°000在低頻段將沿著一條漸近線趨于無窮遠點，這條漸近線過點(-KT，j0)，并且平行于虛軸直線。6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法[例6.4]已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試繪制其Nyquist圖。【解】系統(tǒng)的頻率特性為

6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法6.2.3頻率特性的極坐標圖畫法6.3頻率特性的對數(shù)坐標圖繪制方法舉例應用一仿真實驗舉例應用二典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）對數(shù)坐標圖典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)導前環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）(4)慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）(4)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）轉(zhuǎn)角頻率：漸近線相交點。一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖20dB/dec典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）(6)振蕩環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）(6)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）（7）二階微分環(huán)節(jié)因為即若令則有二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）延時環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性即幅頻特性和相頻特性

（8）延時環(huán)節(jié)因為典型環(huán)節(jié)頻率特性的對數(shù)坐標圖（Bode圖）對數(shù)的相頻特性Bode圖的繪制方法1）將G(s)化成如下標準形式2）求出G(jω)3）確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并排序4）確定各典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸近線5）根據(jù)誤差修正漸近線，得出各環(huán)節(jié)精確曲線6）將環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性疊加（不包括系統(tǒng)總增益K)7）將疊加后的曲線上下移動20lgK，得到對數(shù)幅頻特性8）做各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后疊加而得到總的對數(shù)相頻特性9）有延時環(huán)節(jié)時，對數(shù)幅頻特性不變，對數(shù)相頻特性應加上-

Bode圖的繪制方法例6.5已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為畫其Bode圖。解：1)為了避免繪圖時出現(xiàn)錯誤，應把傳遞函數(shù)化為標準形式（慣性、一階微分、二階微分環(huán)節(jié)的常數(shù)項均為1），得上式表明，系統(tǒng)由一個比例環(huán)節(jié)(K=3亦為系統(tǒng)總增益)、一個一階微分環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。Bode圖的繪制方法2)系統(tǒng)的頻率特性為

3)求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率ωT慣性環(huán)節(jié)1:慣性環(huán)節(jié):一階微分環(huán)節(jié):Bode圖的繪制方法(4)做各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性漸近線，如圖所示。(5)對漸近線用誤差修正曲線修正（本題省略這一步)。Bode圖的繪制方法(7)a’將上移9.5dB（等于20lg3，是系統(tǒng)總增益的分貝數(shù)），得系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性a。(8)做各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，疊加后得系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，如圖所示。(6)除比例環(huán)節(jié)外，將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加得折線a’。6.4頻域性能指標頻率特性的性能曲線（1）零頻值A(chǔ)(0)零頻值A(chǔ)(0)表示頻率趨近于零時，系統(tǒng)輸出幅值與輸入幅值之比。A(0)越趨近于1，輸出幅值越能完全準確地反映輸入幅值，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。（2）復現(xiàn)頻率

M與復現(xiàn)帶寬0-

M若事先規(guī)定一個Δ作為反映低頻輸入信號的允許誤差，與A(0)的差第一次達到Δ時的頻率值，稱為復現(xiàn)頻率。0-

M表示復現(xiàn)低頻輸入信號的帶寬，稱為復現(xiàn)帶寬。6.4頻域性能指標系統(tǒng)出現(xiàn)諧振峰值的頻率稱為諧振頻率。在A(0)=1時，Mr與Amax在數(shù)值上相同。一般在二階系統(tǒng)中，選取Mr<1.4，因為當階躍響應的最大超調(diào)量Mp<25%，系統(tǒng)能有較滿意的過渡過程。頻率特性的性能曲線6.4頻域性能指標頻率特性的性能曲線一般規(guī)定A(ω)由A(0)下降3dB時的頻率，即A(ω)由A(0)下降到0.707A(0)時的頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率，用ωb表示。6.5最小相位系統(tǒng)6.5最小相位系統(tǒng)本章小結(jié)通過學習本章，掌握系統(tǒng)頻率特性的概念和解析求法，掌握系統(tǒng)頻率特性的極坐標圖和對數(shù)坐標圖的畫法82第7章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾何穩(wěn)定性判據(jù)3系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件1代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)24系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性7.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定條件系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復到原來的狀態(tài)或趨于一個新的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性；否則，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的特性，只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與初始條件及外界作用無關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)

(t)，如果輸出xo(t)隨著時間的推移

趨于零，即設(shè)線性定常系統(tǒng)：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)特征方程：此方程的根稱為系統(tǒng)特征根，特征方程的解可表示為：

若所有特征根si的實部

j均為負值，則零輸入響應最終將衰減到零即，這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應隨時間的推移而發(fā)散，即,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：充要條件：系統(tǒng)特征方程根全部具有負實部；即：如果一個系統(tǒng)的特征根全部落在[s]平面的左半部分，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定。（當特征根具有負實部，則此特征根在復平面左側(cè)。）系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，若有極點實部為零，而其余極點全部位于[s]平面左半部時，稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)輸出信號將出現(xiàn)等幅振蕩；在工程中這樣的系統(tǒng)通常不能被采用，因為這樣的系統(tǒng)參數(shù)微小的變化就會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除了直接求出系統(tǒng)特征根外，還有許多其他判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，用這些方法不必解出特征根就能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.2.1勞斯判據(jù)其中，所有的系數(shù)均為實數(shù)。這個方程的根沒有正實部的必要(但并非充分)條件為:Routh判據(jù)的必要條件：

(1)方程各項系數(shù)的符號一致。(2)方程各項系數(shù)非0。7.2.1勞斯判據(jù)特征方程：首先列出下面的勞斯表其中，前兩行中不存在的系數(shù)可以填“0”元素b1、b2…c1、c2…e1、e2…f1、g1根據(jù)下式計算7.2.1勞斯判據(jù)計算bi時，所用二階行列式是由勞斯表右側(cè)前兩行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的。系數(shù)b的計算一直進行到其余值為零時止。7.2.1勞斯判據(jù)計算ci時所用的二階行列式是由勞斯表右側(cè)第二、三行組成的二行陣的第1列與第i+1列構(gòu)成的;同樣，系數(shù)c的計算一直進行到其余值為零為止。7.2.1勞斯判據(jù)——判定標準勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：若勞斯表中第1列元素的符號沒有變化，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若第1列元素有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程的根在[s]平面右半部的個數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.2.1勞斯判據(jù)例7.1系統(tǒng)的特征方程為用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：因為方程各項系數(shù)非零且符號一致，滿足方程的根在復平面左半平面的必要條件，但仍然需要檢驗它是否滿足充分條件。計算其勞斯表中各個參數(shù)如下7.2.1勞斯判據(jù)第一列元素符號改變，因而系統(tǒng)不穩(wěn)定。符號改變兩次，有兩個根在復平面右半部分7.2.1勞斯判據(jù)—特例1（1）勞斯表某一行的第一列元素為零，其他項元素均為非零。判定方法：將等于零的那一行第一項元素替換為任意小的正數(shù)

；繼續(xù)計算勞斯表后續(xù)行元素如果勞斯表第一列元素符號有變化，其變化次數(shù)等于[s]右半平面上特征根個數(shù)，表明該系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.2.1勞斯判據(jù)—特例1例7.2已知線性系統(tǒng)的特征方程，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：可以將0元素替換為一小的正數(shù)

，繼續(xù)計算勞斯表。各項系數(shù)非零且同號，因此可以進一步用勞斯判據(jù)。計算勞斯表為第一列元素中有兩次符號改變，系統(tǒng)不穩(wěn)定7.2.1勞斯判據(jù)—特例2（2）勞斯表某一行元素全為零判定方法：第一步，采用0元素行的上一行元素作為系數(shù)建立輔助方程計算輔助方程對s的導數(shù)用各項系數(shù)來代替0元素行用替換后新得到的元素行繼續(xù)計算勞斯表根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號改變情況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.2.1勞斯判據(jù)—特例1例7.3已知線性系統(tǒng)的特征方程，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解計算勞斯表為用系數(shù)8和0替換原表中

行中的0元素的勞斯表為第一列元素符號沒有改變，說明特征方程沒有根在[s]右半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定Routh判據(jù)的應用——分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響引申例題：某機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方框圖如下圖所示，試確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)參數(shù)K1的取值范圍-解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：建立勞斯表：特征方程為：結(jié)果：7.2.2赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程式7.2.2赫爾維茨判據(jù)7.2.2赫爾維茨判據(jù)5.2.2赫爾維茨判據(jù)例7.6單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為7.2.2赫爾維茨判據(jù)7.3幾何穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)建立在已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為基礎(chǔ)，而有些實際系統(tǒng)的特征方程是無法列寫的，通過勞斯表僅可以推斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定卻無法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。奈奎斯特提出一種用閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的頻域曲線（即奈奎斯特圖），不但可以判斷穩(wěn)定性，而且還能夠指出穩(wěn)定的程度。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)7.3.1幅角原理奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)需要用到復變函數(shù)中的輻角原理，對于復變函數(shù)，若在[s]平面上任意選擇一條封閉曲線Ls，只要曲線Ls不經(jīng)過F(s)的極點和零點，則在像平面[F(s)]上的像也為一條封閉曲線，記為LF。若LF繞原點按順時針轉(zhuǎn)N周，則:N=Z-P其中,Z和P分別為包含在Ls內(nèi)F(s)的零點和極點的個數(shù)。關(guān)于幅角原理的說明LFRe

Lsj

7.3.1幅角原理根據(jù)復數(shù)性質(zhì)可知，兩個復數(shù)積的幅角等于它們幅角的和。F(s)的幅角為設(shè)F(s)的零點、極點、分布如圖7.2(a)所示。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)1.奈奎斯特路徑在[s]的復平面上，以虛軸由-

到+

的直線為左邊界，做一個順時針包圍右半面的封閉曲線，以+

為半徑從虛軸的正向順時針轉(zhuǎn)

角到虛軸的負向的半徑為無窮大的半圓。稱封閉曲線為復平面[s]上的奈奎斯特圖。L1和L2兩段線包圍了復平面[s]的右半面。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)2.用系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表示的奈奎斯特判據(jù)

當已知系統(tǒng)有Z個零點時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

繪制出Ls的由GB(s)映象的曲線繞原點按順時針轉(zhuǎn)的周數(shù)N來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當N=Z時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當N<Z時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)3.用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示的奈奎斯特判據(jù)+-在通常情況下，并不能容易地得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，只能得到閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，形式為對于上圖中的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于零得出，即系統(tǒng)的特征方程為7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的特征方程：+-設(shè)：則：可見，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點就是GB(s)的零點，而D(s)的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)GB(s)的極點。因此，可以用D(s)來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：D(s)函數(shù)在Ls內(nèi)有P個極點時，其像曲線繞D(s)像平面原點逆時針轉(zhuǎn)P圈。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)因此，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：當開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在復平面[s]的右半面內(nèi)沒有極點時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充要條件是：G(s)H(s)平面上的映射圍線

L不包圍（-1，j0）點。

[D(s)]平面和[GH)]平面的奈奎斯特圖關(guān)系[D]D(s)平面與[GH]平面間的關(guān)系是：G(s)H(s)=D(s)-17.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)如果G(s)H(s)在[s]的右邊面有極點，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當

由-

向+

變化時，開環(huán)頻率特性G(s)H(s)的奈奎斯特周線Ls的映射圍線

L沿逆時針方向包圍（-1，j0）點的周數(shù)等于G(s)H(s)在復平面[s]的右半面內(nèi)極點的個數(shù)p。因此又可敘述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當

由0向+變化時，開環(huán)奈奎斯特圖應當按逆時針包圍（-1，j0）點的p/2周，p是開環(huán)傳遞函數(shù)右半平面內(nèi)極點的個數(shù)。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例7.7三個閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)=k/(1+T1s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)(1+T3s)，系統(tǒng)時間常數(shù)T1、T2、T3均大于零，系統(tǒng)的奈奎斯特圖分別如圖7.8所示，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）系統(tǒng)時間常數(shù)均大于零，故開環(huán)系統(tǒng)在[s]的右半面內(nèi)沒有極點，p=0。（這三個系統(tǒng)均是開環(huán)穩(wěn)定的）（2）當

由0變到+

時，開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍（-1，j0）點，（3）根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，無論k取何正值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例7.8系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為Gk(s)=k/s(1+T1s)、Gk(s)=k/s(1+T1s)(1+T2s)，系統(tǒng)時間常數(shù)T1、T2均大于零，所對應的系統(tǒng)的奈奎斯特圖分別如圖7.9所示，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1）開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，奈奎斯特曲線不封閉，不能說明開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線是否包圍（-1，j0）點。2）在奈奎斯特曲線上需畫出輔助曲線來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。方法是：以原點為圓心，以無窮大為半徑作圓，從奈奎斯特曲線的起始端（

=0）沿逆時針方向轉(zhuǎn)過

90°（

是積分環(huán)節(jié)個數(shù)），并與實軸相交，該交點即為奈奎斯特曲線的新起點，使曲線封閉，再進行穩(wěn)定性判斷。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)原圖補充后的圖由已知條件得，開環(huán)傳遞函數(shù)無正實部極點，即p=0；當

由0→+

變化時，圖（a）中開環(huán)極坐標圖在（-1，j0）點左側(cè)沒有穿越負實軸，所以系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。而圖（b）中開環(huán)極坐標圖在（-1，j0）點左側(cè)對負實軸有一次負穿越，所以系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)于奈奎斯特判據(jù)的幾點說明：（1）奈奎斯特判據(jù)的證明雖然較復雜，但應用簡單。一般系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)多為最小相位傳遞函數(shù)，p=0，故只看開環(huán)奈奎斯特軌跡是否包圍（-1，j0）點，若不包圍，系統(tǒng)就穩(wěn)定。（2）當開環(huán)傳遞函數(shù)為非最小相位傳遞函數(shù)，即p0時，先求p，再看開環(huán)奈奎斯特圖包圍點（-1，j0）圈數(shù)，若逆時針包圍點（-1，j0）p圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面無極點時，稱開環(huán)穩(wěn)定；在p0，即開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半面有極點時，稱開環(huán)不穩(wěn)定。(4)開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。(5)開環(huán)不穩(wěn)定而其閉環(huán)卻能穩(wěn)定的系統(tǒng)，在實用上有時是不太可靠的。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例：7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)方法二：利用穿越的方法注意到，-∞到+∞的像是對稱的，故可只畫出ω由0到+∞所對應的像軌跡;特別是當包圍(-1,j0)點轉(zhuǎn)動的周數(shù)比較多時，可引入“穿越”的概念。對于復雜的開環(huán)極坐標圖，還可以采用開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖中正、負穿越的概念來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。穿越的概念正穿越：如果開環(huán)極坐標圖按逆時針方向（從上向下）穿過負實軸，稱為正穿越，正穿越時相位增加；負穿越：按順時針方向（從下向上）穿過負實軸，稱為負穿越，負穿越時相位減小。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)又可以敘述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：·當

由0向+

變化時，開環(huán)頻率特性極坐標圖在點（-1，j0）左側(cè)正、負穿越負實軸次數(shù)之差應為p/2，p是開環(huán)傳遞函數(shù)正實部極點的個數(shù)?！(s)H(s)起始于負實軸上，或終止于負實軸時，穿越次數(shù)定義為1/2次?！と糸_環(huán)極坐標圖在點（-1，j0）左側(cè)負穿越負實軸次數(shù)大于正穿越的次數(shù)。則閉環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。7.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（a）圖：開環(huán)傳遞函數(shù)在復平面的右半面有一個極點，即P=1，因而開環(huán)是不穩(wěn)定的；而開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（b）圖：，同樣是開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2，雖然開環(huán)在復平面的右半面沒有極點，是穩(wěn)定的，但閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。奈奎斯特曲線穿越次數(shù)為1/2的情況a）P=1b）P=07.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)解：p=2，

由0向變化，奈奎斯特圖在點（-1，j0）左側(cè)正負穿越負實軸次數(shù)之差是2-1=1=p/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)典型傳遞環(huán)節(jié)的參數(shù)有關(guān)，參數(shù)的變化往往會導致系統(tǒng)由穩(wěn)定轉(zhuǎn)向了不穩(wěn)定。例7.9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個正實部極點，開環(huán)極坐標圖如圖7.14所示，試分析閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常，要想得到系統(tǒng)的精確極坐標圖是比較困難的，而系統(tǒng)的對數(shù)坐標圖相對容易畫出。因此，希望能夠利用系統(tǒng)開環(huán)伯德圖來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此帶來了一個關(guān)鍵的問題：極坐標圖中（-1，j0）點左側(cè)正、負穿越負實軸是如何和對數(shù)坐標圖相對應的？它們之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)系？開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，若一個控制系統(tǒng)，其開環(huán)是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)奈奎斯特特性圖不包圍(-1,j0)點。1、伯德圖與奈奎斯特圖的關(guān)系

圖中的特性曲線1對應的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而特性曲線2對應的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，對應下圖特性曲線1(閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的)在ωc點處：而在ωg點處：開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由此可知：開環(huán)奈奎斯特圖上的單位圓與伯德圖對數(shù)幅頻特性的0dB線相對應；單位圓與負實軸的交點與伯德圖對數(shù)相頻特性的-π軸對應。奈奎斯特圖B