淺析初中數(shù)學最短路徑問題

在我校八年級最近組織的一次考試中數(shù)學試卷上有這樣一道題：問題：如圖1，在長方形ABCD中，AB=4，BC=8，點E為CD邊上的中點，點P、Q為BC上兩個動點且PQ=2，當BP=________時，四邊形APQE的周長最短。■本題對學生來說，有一定難度，得分率較低，分析學生失分的主要原因在于學生未能完全領(lǐng)會一個很重要的數(shù)學模型——飲馬問題，即求最短路徑問題。新課標理念下的數(shù)學命題出現(xiàn)了改革創(chuàng)新的趨勢，許多幾何問題源自于書本知識的延伸和拓展，解決此類問題，要求學生熟練掌握書本上的知識，在此基礎(chǔ)上獲得解題途徑。為此，我對本題進行了一番分析、探究和歸納，以期在以后的教學中指導學生突破難點，順利解決問題。1.知識儲備（1）軸對稱；（2）兩點之間線段最短；（3）垂線段最短。2.分析問題找原型：如圖2，直線l外有不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短?！鼋忸}過程：作出B點關(guān)于l的對稱點B′，利用軸對稱性質(zhì)可得CB′=CB，這樣問題轉(zhuǎn)化為C點在何處時AC與CB′的和最小，由兩點之間線段最短可知C點在AB所連的線段與l的交點處時，AC+CB′有最小值?！錾鲜鼋夥ǜ嬖V我們，要在A、B以外的直線l上找一點C，使得AC+BC最短，只需利用軸對稱變換，將A、B中的一點A（或B）對稱變換為A′（或B′），連接A′B交l于一點，則該點即為所求作的點。3.解決問題在AD上截取線段AF=PQ=2，作點F關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于Q點，過點Q作FQ的平行線交BC于點P，過點G作BC的平行線交DC的延長線于H，如圖4?！逩F=DF=6EH=2+4=6=GH∠B=90°∴△GEH是等腰直角三角形∴∠GEH=45°設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°∴CQ=CE即6-x=2，得x=4∴當BP=4時，四邊形APQE的周長最短。4.拓展與延伸如圖5，在直角坐標系中有四個點A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0）。要使四邊形ABCD的周長最短：（1）在圖中作出符合要求的C、D兩點。（2）求出m、n的值。分析：要使四邊形ABCD的周長最短，由于AB長為定值，故只要求BC+CD+AD的和最小時，四邊形ABCD的周長最短，與前文所述問題一致，我們只要設(shè)法將BC、CD、AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可。解：分別作A點關(guān)于x軸的對稱點A′，B點關(guān)于y軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸、y軸于D、C兩點，則AD=A′D，BC=B′C∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D=A′B′∴四邊形ABCD的周長為AB+A′B′為最短，通過計算可得四邊形ABCD的周長為：l=AB+A′B′=2■+8■5.直通中考關(guān)于最短路徑問題，這些年各地中考試卷中多有涉及，有的題較簡單，通過簡單的畫圖、判