昌都市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

昌都市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A.2 B.5C. D.2.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤(如圖1),共兩檔,自右向左分別表示個(gè)位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下五珠,上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠,可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.8 B.10C.15 D.163.在下列命題中正確的是()A.已知是空間三個(gè)向量,則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線,則不共面C.若三個(gè)向量兩兩共面,則共面D.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,若,則A,B,C,D四點(diǎn)共面4.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知點(diǎn),在雙曲線上,線段的中點(diǎn),則()A. B.C. D.6.在中,若,則()A.150° B.120°C.60° D.30°7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn),,且,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.8.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若已知圖象如圖,則下列說法正確的是()A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解9.對于三次函數(shù),給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù),則()A. B.C. D.10.已知F1、F2是雙曲線E:(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P、Q.若,M為PQ的中點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.11.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中,若,,則()A.9 B.3C. D.12.“”是“直線與圓相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14.過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn),則直線的方程為___________.15.如圖,已知正方形邊長為,長方形中,,平面與平面互相垂直,是線段的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為______16.在等比數(shù)列中,,,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前項(xiàng)和為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零,求a的取值范圍18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:當(dāng)時(shí),.19.(12分)已知拋物線:的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,點(diǎn)在的內(nèi)側(cè),且的最小值為.(1)求的方程;(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在y軸正半軸上,點(diǎn)B,C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn),其中B點(diǎn)在第四象限,且AB,互相垂直平分,求四邊形AOBC的面積.20.(12分)已知橢圓C:短軸長為2,且點(diǎn)在C上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線l交橢圓C與A、B兩點(diǎn),若的面積是,求直線l的方程21.(12分)已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程;(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與動點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),求三角形AOB的面積.22.(10分)已知橢圓:()的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,長軸長是短軸長的2倍(1)求橢圓的方程;(2)已知直線不過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn),從下面①②中選取一個(gè)作為條件,證明另一個(gè)成立.①直線的斜率分別為,則;②直線過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)漸近線方程求得關(guān)系,結(jié)合離心率的計(jì)算公式,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為,則;又雙曲線離心率.故選:D.2、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠,有兩類辦法,由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分,則只在一個(gè)檔撥動兩枚算珠共有4種方法,在每一個(gè)檔各撥動一枚算珠共有4種方法,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法,所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選:A3、D【解析】對于A,利用空間向量基本定理判斷,對于B,利用向量的定義判斷,對于C,舉例判斷,對于D,共面向量定理判斷【詳解】對于A,若三個(gè)向量共面,在平面,則空間中不在平面的向量不能用表示,所以A錯(cuò)誤,對于B,因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?,是可以自由平移,所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí),有可能共面,所以B錯(cuò)誤,對于C,當(dāng)三個(gè)向量兩兩共面時(shí),如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量兩兩共面,但這3個(gè)向量不共面,所以C錯(cuò)誤,對于D,因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,,且,所以A,B,C,D四點(diǎn)共面,所以D正確,故選:D4、B【解析】求出不等式的等價(jià)形式,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由得或,由得,因?yàn)榛蛲撇怀?,但能推出或成立,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B5、D【解析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率,然后求出直線的方程,聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè),,則可得方程組:,兩式相減得:,即,其中因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為,故,故,即直線的斜率為,故直線的方程為:,聯(lián)立,解得:,由韋達(dá)定理得:,,則故選:D6、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系,再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得:,即,而,故,故選:C.7、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?,,所以在中,邊上的中線等于的一半,所以.因?yàn)?,所以可設(shè),,則,解得,所以,由雙曲線的定義得,所以雙曲線的離心率故選:A8、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號,從而可得的單調(diào)區(qū)間,再對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,可得在遞減,遞增;在遞減,在遞增,B錯(cuò)誤,且知,所以存在極小值和,無極大值,A錯(cuò)誤,同時(shí)無論是否存在,可得出一定有最小值,但是最小值不一定為負(fù)數(shù),故C正確,D錯(cuò)誤.故選:C.9、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對稱中心,進(jìn)而求解.【詳解】,,,令,解得:,而,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,,,故選:B.10、D【解析】由題干條件得到,設(shè)出,利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊長,得到方程,求出,從而得到,,利用勾股定理求出的關(guān)系,求出離心率.【詳解】因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn),且,所以△為等腰三角形,即,因?yàn)椋O(shè),則,由雙曲線定義可知:,所以,則,又,所以,解得:,由勾股定理得:,其中,在三角形中,由勾股定理得:,即,解得:故選:D11、A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則由,,得,解得或,又單調(diào)遞減,故,.故選:A.12、A【解析】根據(jù)題意,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出,即可求解.【詳解】根據(jù)題意,由直線與圓相切,知圓心到直線的距離,解得或,因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】求解定義域,由導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間,進(jìn)而得到不等式組,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然,且,由,以及考慮定義域x>0,解得:.在區(qū)間,上單調(diào)遞減,∴,解得:.故答案為:14、【解析】設(shè),,,,分別代入雙曲線方程,兩式相減,化簡可得:,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線的斜率,再利用點(diǎn)斜式即可求直線方程【詳解】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于,兩點(diǎn),設(shè),,,,,兩式相減可得:,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),,,,則,所以直線的方程為,即為故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對于有關(guān)弦中點(diǎn)問題常用“點(diǎn)差法”,其解題步驟為:①設(shè)點(diǎn)(即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo));②代入(即代入圓錐曲線方程);③作差(即兩式相減,再用平方差公式分解因式);④整理(即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式),然后求解.15、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出,后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長方形可得,因?yàn)槠矫媾c平面互相垂直,平面平面,平面,故平面,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,故,,故.故答案為:16、【解析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得出的通項(xiàng)公式,推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,則,所以,,則,所以,數(shù)列為等差數(shù)列,故數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)對求導(dǎo)并求定義域,討論、分別判斷的符號,進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.(2)由題設(shè),結(jié)合(1)所得的單調(diào)性,討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值,根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由題設(shè),且定義域?yàn)?,?dāng),即時(shí),在上,即在上遞增;當(dāng),即時(shí),在上,在上,所以在上遞減,在上遞增;【小問2詳解】由(1)知:若,即時(shí),則在上遞增,故,可得;若,即時(shí),則在上遞減,在上遞增,故,不合題設(shè);若,即時(shí),則在上遞減,故,得;綜上,a的取值范圍.18、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)利用前n項(xiàng)和與的關(guān)系即求;(2)由題知,然后利用裂項(xiàng)相消法即證.【小問1詳解】由,可得,兩式相減可得,當(dāng)時(shí),,滿足,所以.【小問2詳解】∵,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),.19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合拋物線定義,可求得,即得拋物線方程;(2)由題意推出四邊形AOBC是菱形.,設(shè),根據(jù)拋物線的對稱性,可表示出B,C的坐標(biāo),從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得所設(shè)參數(shù)值,進(jìn)而求得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為:,作于R,根據(jù)拋物線的定義有,所以,因?yàn)樵诘膬?nèi)側(cè),所以當(dāng)P,Q,R三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,此時(shí),解得,所以的方程為.小問2詳解】因?yàn)锳B,OC互相垂直平分,所以四邊形AOBC是菱形.由,得軸,設(shè)點(diǎn),則,由拋物線的對稱性知,,,.由,得,解得,所以在菱形中,,邊上的高,所以菱形的面積.20、(1);(2)或.【解析】(1)根據(jù)短軸長求出b,根據(jù)M在C上求出a;(2)根據(jù)題意設(shè)直線l為,與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系,根據(jù)=即可求出m的值.【小問1詳解】∵短軸長為2,∴,∴,又∵點(diǎn)在C上,∴,∴,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】由(1)知,∵當(dāng)直線l斜率為0時(shí),不符合題意,∴設(shè)直線l的方程為:,聯(lián)立,消x得:,∵,∴設(shè),,則,∵,∴,∴,即,解得,∴直線l的方程為:或.21、(1)(2)【解析】小問1:由拋物線的定義可求得動點(diǎn)的軌跡方程;小問2:可知直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,求出的值,利用拋物線的定義可求得的值,結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以,則,所以動點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是,設(shè)、,由得,,所以,則,故,22、(1)(2)證明見解析【解析】(1)由條件可得,解出即可

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