2025屆浙江省寧波市金蘭教育合作組織高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆浙江省寧波市金蘭教育合作組織高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為2．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）A.1 B.C. D.23．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形4．圓關(guān)于直線l：對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.5．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，6．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切7．（）A. B.C. D.8．已知五個(gè)數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.1 B.C. D.29．若橢圓與直線交于兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為,則A. B.C. D.210．設(shè)為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“在同一個(gè)平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件11．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.7812．若，都為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為______.14．狄利克雷是十九世紀(jì)德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn).狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.15．若和或都是假命題，則的范圍是__________16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.18．（12分）已知，2，4，6中的三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.20．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值21．（12分）二項(xiàng)式展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項(xiàng).22．（10分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示橢圓，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)曲線C的方程為表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)曲線C的方程為表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時(shí)，此時(shí)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)等于虛半軸長(zhǎng)，此時(shí)，解得，此時(shí)方程表示圓，所以不正確.故選：C.2、B【解析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對(duì)照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.3、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.4、A【解析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心為，半徑，所以對(duì)稱圓的方程為；故選：A5、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.6、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過(guò)點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過(guò)點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的重點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過(guò)定點(diǎn)，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在7、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.8、B【解析】先求出的值，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可【詳解】解：因?yàn)槲鍌€(gè)數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故選：B9、D【解析】細(xì)查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由過(guò)原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線的斜率為，進(jìn)而可推導(dǎo)出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設(shè)，則，從而線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與橢圓相交時(shí)對(duì)應(yīng)的解題策略，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，斜率坐標(biāo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.10、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面,可得,當(dāng)時(shí),同一個(gè)平面上,但中無(wú)三點(diǎn)共線,故必要條件不成立;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個(gè)推論：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;11、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D12、B【解析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋紴檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故答案為：14、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè)，，則.故答案：115、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：16、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)?，所以，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）2－.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】（1）證明：因?yàn)閍n＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝－＝，又a1－≠0，所以數(shù)列為以－＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①所以Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.18、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個(gè)數(shù)確定等差數(shù)列，得通項(xiàng)公式，驗(yàn)證100和102是否為數(shù)列中的項(xiàng)得結(jié)論；（2）由裂項(xiàng)相消法求和【小問(wèn)1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)2，4，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100，102都是該數(shù)列中的項(xiàng)，不滿足題意當(dāng)，2，6為的前三項(xiàng)時(shí)，易知此時(shí)，100不是該數(shù)列中的項(xiàng)，102是該數(shù)列中的項(xiàng)，滿足題意所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗运?19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案?！拘?wèn)1詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問(wèn)2詳解】?jī)蓛纱怪?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值20、（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個(gè)法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個(gè)法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡(jiǎn)單題目。21、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項(xiàng)公式求解.【詳解】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時(shí)為有理項(xiàng)，故有理有，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.22、（1），（2）【解析】（1）推導(dǎo)出，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長(zhǎng)【詳解】解（1）在直四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以因?yàn)椋砸訟為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸