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文檔簡介
2025屆江蘇省鹽城市景山中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240,120和60.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究,則“史政生”組合中選出的人數(shù)為()A.8 B.6C.4 D.32.若拋物線的準(zhǔn)線方程是,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B.C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右焦點(diǎn)為,過雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線足為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn),交雙曲線的右支于點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.5.在三棱錐中,平面;記直線與直線所成的角為,直線與平面所成的角為,二面角的平面角為,則()A. B.C. D.6.已知過點(diǎn)的直線與圓相切,且與直線垂直,則()A. B.C. D.7.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊為,若,,,則()A. B.C. D.8.已知直線和圓,則“”是“直線與圓相切”的().A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A. B.C. D.10.已知直線,當(dāng)變化時(shí),所有直線都恒過點(diǎn)()A.B.C.D.11.在空間中,“直線與沒有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的()A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件12.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學(xué)上也有很多創(chuàng)造,其最著名的成就是祖暅原理:夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,現(xiàn)有一個(gè)圓柱體和一個(gè)長方體,它們的底面面積相等,高也相等,若長方體的底面周長為,圓柱體的體積為,根據(jù)祖暅原理,可推斷圓柱體的高()A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.點(diǎn)在以,為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng),則的重心的軌跡方程是___________.14.某人有樓房一棟,室內(nèi)面積共計(jì),擬分割成兩類房間作為旅游客房,大房間每間面積為,可住游客4名,每名游客每天的住宿費(fèi)100元;小房間每間面積為,可住游客2名,每名游客每天的住宿費(fèi)150元;裝修大房間每間需要3萬元,裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修,且假定游客能住滿客房,則該人一天能獲得的住宿費(fèi)的最大值為___________元.15.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題.“今有城墻厚若干尺,兩鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半……”題意是:“兩只老鼠從城墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺;若城墻厚40尺,則至少在第________天相遇16.與直線和直線的距離相等的直線方程為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),已知直線MA,NA分別交直線于點(diǎn)P,Q,求的值.18.(12分)定義:設(shè)是空間的一個(gè)基底,若向量,則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底,是空間的另一個(gè)基底,若向量在基底下的坐標(biāo)為(1)求向量在基底下的坐標(biāo);(2)求向量在基底下的模19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖所示,在直四棱柱中,底面ABCD是菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱,上,且,(1)證明:點(diǎn)在平面BEF內(nèi);(2)若,,,求直線與平面BEF所成角的正弦值21.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較與的大?。唬?)計(jì)算,,,由此推測計(jì)算的公式,并給出證明;22.(10分)設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合,直線l交圓于A,B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線l交E于M,N兩點(diǎn),C在線段上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求四邊形面積的取值范圍;
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比,再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意,分層抽樣的抽樣比為,故從“史政生”組合120中,抽取的人數(shù)時(shí)人.故選:.2、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程,可直接得出拋物線的焦點(diǎn),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為,則說明拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為:則準(zhǔn)線方程為:解得:則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:故選:D3、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形,從而根據(jù)邊長相等,列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,則,根據(jù)題意,四邊形為正方形,于是,即,化簡得,解得(負(fù)值舍去).故選:A.4、D【解析】焦點(diǎn)三角形問題,可結(jié)合為三角形的中位線,判斷:焦點(diǎn)三角形為直角三角形,并且有,,可由勾股定理得出關(guān)系,從而得到關(guān)系,從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知,,且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),為三角形的中位線故,故,由雙曲線定義有由勾股定理有故則則,故故漸近線方程為:故選:D【點(diǎn)睛】雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形,與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的關(guān)系5、A【解析】先得到三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形,然后可得與平面所成的角,二面角的平面角,在直角三角形中算出他們的余弦值,利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值,然后比較大小.【詳解】令,由平面,且平面,又,,面三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形.與平面所成的角,二面角的平面角,由已知可得,,,又,則所以,又均為銳角,故選:A.6、B【解析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來確定點(diǎn)在圓上,然后求出過點(diǎn)的圓的切線方程,最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知,圓的圓心,半徑.因?yàn)?,所以點(diǎn)在圓上,所以過點(diǎn)的圓的切線與直線垂直,設(shè)切線的斜率,則有,即,解得.因?yàn)橹本€與切線垂直,所以,解得.故選:B.7、B【解析】利用正弦定理角化邊得到,再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】,,由余弦定理得:,,.故選:B.8、B【解析】首先求出直線與圓相切時(shí)的取值,再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切,則圓心到直線的距離,則,解得,所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,充分必要條件,重點(diǎn)考查計(jì)算,理解能力,屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則判斷.【詳解】,,,,只有B正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】將直線方程整理為,從而可得直線所過的定點(diǎn).【詳解】可化為,∴直線過定點(diǎn),故選:D.11、A【解析】由于在空間中,若直線與沒有公共點(diǎn),則直線與平行或異面,再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷,即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中,若直線與沒有公共點(diǎn),則直線與平行或異面.故“直線與沒有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的必要不充分條件.故選:A.12、C【解析】由條件可得長方體的體積為,設(shè)長方體的底面相鄰兩邊分別為,根據(jù)基本不等式,可求出底面面積的最大值,進(jìn)而求出高的最小值,得出結(jié)論.【詳解】依題意長方體的體積為,設(shè)圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查基本不等式求最值,要認(rèn)真審題,理解題意,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)出點(diǎn)和三角形的重心,利用重心坐標(biāo)公式得到點(diǎn)和三角形的重心坐標(biāo)的關(guān)系,,代入橢圓方程即可求得軌跡方程,再利用,,三點(diǎn)不共線得到.【詳解】設(shè),,由,得,即,,因?yàn)闉榈闹匦模?,,即,,代入,得,即,因?yàn)椋?,三點(diǎn)不共線,所以,則的重心的軌跡方程是.故答案:.14、3600【解析】先設(shè)分割大房間為間,小房間為間,收益為元,列出約束條件,再根據(jù)約束條件畫出可行域,設(shè),再利用的幾何意義求最值,只需求出直線過可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時(shí),從而得到值即可【詳解】解:設(shè)裝修大房間間,小房間間,收益為萬元,則,目標(biāo)函數(shù),由,解得畫出可行域,得到目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),有最大值,故應(yīng)隔出大房間3間和小房間8間,每天能獲得最大的房租收益最大,且為3600元故答案為:360015、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式,構(gòu)造等式,即可得解.【詳解】由題意知,小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,前天打洞之和為,∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為;大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,前天打洞之和為,∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為,且數(shù)列為遞增數(shù)列,而,,又城墻厚40尺,所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為:;6.16、【解析】設(shè)直線方程為,根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)該直線為:,則由兩平行直線之間距離公式得:,故該直線為:;故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)1【解析】(1)由題意得到關(guān)于a,b的方程組,求解方程組即可確定橢圓方程;(2)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程,然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo),將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題,進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得,從而可得兩線段長度的比值.【小問1詳解】由題意,點(diǎn)橢圓上,有,解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不符;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l為:聯(lián)立方程得:由,設(shè),有又由直線AM:,令x=-4得,將代入得:,同理得:.很明顯,且,注意到,,而,故所以.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程,解題關(guān)鍵是利用離心率與橢圓上的點(diǎn),找到關(guān)于a,b,c的等量關(guān)系求解a與b.本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出,.表示出,,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比值關(guān)系.考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力.屬于中檔題18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為,得出向量在基底下的坐標(biāo);(2)根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)直接計(jì)算模即可【小問1詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫伦鴺?biāo)為,則,所以向量在基底下的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為,所以向量在基底下的模為.19、(1)在、上遞增,在上遞減;(2).【解析】【小問1詳解】由題設(shè),且定義域?yàn)?,則,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在、上遞增,在上遞減.【小問2詳解】由題設(shè),在上恒成立,所以在上恒成立,當(dāng)時(shí),滿足題設(shè);當(dāng)時(shí),,可得.綜上,.20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)設(shè)、、、AC與BD的交點(diǎn)為O,由直四棱柱的性質(zhì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,確定、的坐標(biāo)可得,即可證結(jié)論.(2)由題設(shè),求出、、的坐標(biāo),進(jìn)而求得面BEF的法向量,利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面BEF所成角的正弦值【小問1詳解】由題意,,設(shè),,,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BD,AC所在直線為x,y軸建立如下空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,得,即,因此點(diǎn)在平面BEF內(nèi)【小問2詳解】由(1)及題設(shè),,,,,所以,,設(shè)為平面BEF的法向量,則,令,即設(shè)直線與平面BEF所成角為,則21、(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)詳見解析【解析】(1)求出的定義域,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值,得到,取即可得出答案.(2)由,變形求得,,,由此推測:然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域?yàn)?,?dāng),即時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí),,即令,得,即【小問2詳解】;;由此推測:①
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