2025屆上海市長征中學數(shù)學高二上期末達標檢測試題含解析

2025屆上海市長征中學數(shù)學高二上期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.2．已知變量x，y具有線性相關關系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.33．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.75．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.6．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和7．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A. B.C. D.8．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和9．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或2311．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預防該疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計服用藥104555未服藥203050總計3075105下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認為藥物有效B.有95%的把握認為藥物無效C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物無效D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效12．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項和為，則______14．__________15．萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.16．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點.（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.19．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，，求證：；（3）當時，恒成立，求的取值范圍20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點的位置；（2）求點到平面的距離21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答.在中，內角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大小；（2）已知，，點在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）已知，，且，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.2、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A3、B【解析】先判定兩圓的位置關系為相離的關系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.4、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選：C.5、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.6、C【解析】求導后，由可解得結果.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎題.7、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點在軸上，且，故.故選：B.8、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C9、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯誤，利用不等式性質可判斷D【詳解】A.當時，，但，故A錯；B.當時，，故B錯；C.當時，，但，故C錯；D.若，則，D正確故選：D10、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標，根據(jù)雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.11、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計算，對照臨界值即可得出結論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計算，由臨界值表可知，有95%的把握認為藥物有效，A正確故選：A12、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】設等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求通項公式；，采用裂項相消的方法求.【詳解】設等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.14、【解析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因為兩橢圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質的應用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎知識的考查16、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進而將問題轉化為求點A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到平面D1EF的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點A1到平面D1EF的距離==，即點G到平面D1EF的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面MNE,又∵∥且EM平面MNE,平面MNE,∴∥平面MNE又∵,∴平面∥平面,【小問2詳解】由（1）得∥,∴為直線MN與所成的角，設正方體的棱長為a,在△中，，，∴.18、（1）（2），【解析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)導數(shù)的正負判斷f(x)的單調性，根據(jù)其單調性即可求最大值和最小值.【小問1詳解】，切點為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當時，，.19、（1）函數(shù)單調遞增區(qū)間為(0，1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導后，由導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結果【小問1詳解】當時，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調遞增區(qū)間為(0，1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當k＝1時，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當時，因為，所以，因此恒成立，且的根至多一個，故在(0，1]上單調遞增，所以恒成立當時，令，解得當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，利用導數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結論，考查數(shù)轉化思想，屬于較難題20、（1）為棱中點（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的方程，結合求出的值，即可得出點的位置；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離【小問1詳解】解：因為平面，底面為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設，其中，則，設平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因為，解得，因此，點為棱的中點.【小問2詳解】解：由（1）知為棱中點，即，則，又，設平面的法向量為，由，取，可得，因為，所以，點到平面的距離為.21、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進而求得,設