2024屆吉林省吉林地區(qū)普通高中高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求，1.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗命題為全稱量詞命題，其否定為：.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線〖答案〗C〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，所以，其幾何意義為任意一點(diǎn)到點(diǎn)2,0于的距離和為，又點(diǎn)2,0和之間的距離小于，符合橢圓定義，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.故選：C.3.如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標(biāo)之一.該時(shí)鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知兩異面直線的夾角范圍為，結(jié)合正方體的特征不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)一側(cè)時(shí)針指向3時(shí)，另一側(cè)時(shí)針指向9時(shí)時(shí)，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成角為直角，故在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為.故選：D.4.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年3月25日，斐濟(jì)附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的（）A.10倍 B.100倍 C.1000倍 D.10000倍〖答案〗C〖解析〗設(shè)里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，由，于是，則，因此，所以它釋放的能量是里氏3.1級地震的1000倍.故選：C.5.已知雙曲線：的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.2或〖答案〗A〖解析〗由雙曲線方程，令，解得，所以雙曲線的漸近線為，又漸近線為，，又，，.故選：A.6.越來越多的人喜歡參加戶外極限運(yùn)動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個(gè)地區(qū)分別有的人參加戶外極限運(yùn)動，兩個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為．若從這兩個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運(yùn)動的概率為；若此人參加戶外極限運(yùn)動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)“此人參加戶外極限運(yùn)動”，“此人來自地區(qū)”，“此人來自地區(qū)”.依題意，,依題意，；.故選：D.7.已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，，則線段的長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，整理得，即，所以，所以故選：B.8.如圖所示，曲線是由半橢圓，半圓和半圓組成，過的左焦點(diǎn)作直線與曲線僅交于兩點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作直線與曲線僅交于兩點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由題意知：；，由對稱性可知：為橢圓截直線的弦長，由題意知斜率不為0，設(shè)，其與橢圓交于點(diǎn)和，由得：，則，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則（）A.抽出產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為C.抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，所以共有種不同的抽法，所以A正確，對于B，由題意可知抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯誤，對于C，由題意得抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，對于D，設(shè)抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，則，，，所以，所以D正確.故選：ACD.10.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，令，則，又因?yàn)?，所以，此時(shí)，即只有時(shí)，且，除此之外，所以成立，故B正確；，故C錯誤；因?yàn)橹挥袝r(shí)，，除此之外，所以的最小值為，又時(shí)，，所以的最大值為，所以成立，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)一個(gè)周期是B.函數(shù)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有無數(shù)多個(gè)對稱中心D.過點(diǎn)作曲線的切線有且只有一條〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)中，，即，解得，，對于A，顯然，，即，A錯誤；對于B，由，求導(dǎo)得，因此函數(shù)遞減區(qū)間為，B正確；對于C，由，得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，有無數(shù)多個(gè)對稱中心，C正確；對于D，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，則，整理得，即，令函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，而，則，即函數(shù)在且時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，，則，即函數(shù)在且時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，因此函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；從而方程有唯一實(shí)根，過點(diǎn)作曲線的切線有且只有一條，D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對得2分，第二個(gè)空填對得3分.12.已知隨機(jī)變量，滿足，則__________.〖答案〗8〖解析〗易知.13.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)是函數(shù)與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗易知，令，即，根據(jù)周期性不妨k取，此時(shí)，則，易知是以B為頂點(diǎn)的等腰三角形，若要滿足為鈍角三角形，則，解之得.14.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面體棱長為2，則該組合體的表面積為__________；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為__________.〖答案〗27〖解析〗該組合體一共有24個(gè)面，每一個(gè)面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為;該組合體的外接球也是任意一個(gè)正四面體的外接球，可用一個(gè)正四面體來看，是的中心，是球心，則，則，，設(shè)外接球半徑為，則，又，解得,兩正交四面體公共部分一共有8個(gè)面，且每一個(gè)面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為，大正四面體的體積為則每個(gè)小正四面體的體積為，則中間部分的體積為，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，則中間部分的體積也可表示為，解得，故外接球和內(nèi)切球體積之比為.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，整理得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設(shè)，且，解得，，即，其中，，.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，令得或，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：-2+-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值0.（2），，令，則，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故.要證當(dāng)時(shí)，.法一：只需證當(dāng)時(shí)，即，令，則在上單調(diào)遞減故，即式成立，原不等式成立.法二：只需證當(dāng)時(shí)，即，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減.，在上單調(diào)遞減，，即式成立，原不等式成立.17.某商場為慶祝開業(yè)十周年，開展了為期一個(gè)月的有獎促銷活動，消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿200元，即可參加抽獎活動．抽獎盒子中裝有大小相同的2個(gè)黃球和2個(gè)白球，規(guī)則如下：每次從盒子中任取兩個(gè)球，若取到的兩個(gè)球均為黃球，則中獎并獲得獎品一份，活動結(jié)束；否則將取出的兩個(gè)球放回盒中，并再放入一個(gè)大小相同的紅球，按上述規(guī)則，重復(fù)抽獎，參加抽獎的消費(fèi)者最多進(jìn)行三次，即使第三次沒有中獎，抽獎也會結(jié)束．（1）現(xiàn)某消費(fèi)者一次性消費(fèi)200元，記其參加抽獎的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）隨著抽獎活動的有效開展，參加抽獎活動的人數(shù)越來越多，表示第天參加抽獎活動的人數(shù)，該商場對活動前5天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：第天12345人數(shù)經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．（i）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說明與的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；（結(jié)果精確到0.01）（ii）請用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此估計(jì)第10天參加抽獎的消費(fèi)者人數(shù)．附：①相關(guān)系數(shù)：最小二乘估計(jì)分別為：②參考數(shù)據(jù)：．解：（1）根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得，，（或）所以隨機(jī)變量的分布列：123所以，期望為.（2）（i）由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，所以，所以變量與線性相關(guān)程度很強(qiáng).（ii）由，因?yàn)?，可得，所以，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，可得，故估計(jì)第10天有132名消費(fèi)者參與抽獎．18.如圖所示，半圓柱與四棱錐A-BCDE拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.（1）求證：；（2）若平面，求平面與平面夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到直線距離的最大值.（1）證明：取弧中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在中，，，則，于是，設(shè)，則，其中，，因此，即，所以.（2）解：由平面平面，得，又，則，而平面，則平面，即為平面的一個(gè)法向量，，由平面，得，又，解得，此時(shí)，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面法向量，則，取，得，則平面FOD與平面夾角的余弦值為.（3）解：，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，即的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最大值為19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)2,1且斜率存在的直線族，表示斜率為1的直線族.直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若直線族的包絡(luò)曲線是圓，求滿足的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，對于給定的實(shí)數(shù)，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；（3）在（2）的條件下，過直線上一個(gè)動點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求原點(diǎn)到直線距離的最大值.解：（1）由題可知，直線族與圓，相切即圓心O0,0到直線族的距離為4，，滿足的關(guān)系式為.（2）點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，則對，方程無解，，即的取值范圍為.猜想：直線族的包絡(luò)曲線為.證明如下：①設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，則切線方程為，即曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.②，直線族中的每條直線都是曲線在點(diǎn)處的切線.綜上①②，直線族的包絡(luò)曲線為.（3）法一：設(shè)，由（2）知，直線的方程為①直線的方程為②由①②得：，設(shè)直線的方程為，由得，，，，在直線上，即，直線的方程過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離的最大值為.法二：設(shè)Ax由（2）知，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，則，兩點(diǎn)滿足上述方程，直線的方程為，又在直線上，，，即直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離的最大值為.法三：設(shè)點(diǎn)，則，由題意可知，過點(diǎn)與曲線相切的直線斜率存在，故可設(shè)直線方程為，由，聯(lián)立得，且，設(shè)直線的斜率分別為，則是方程的根，，則，由題意可知，直線斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，由聯(lián)立得：，，則，則，，，即，直線的方程為過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離的最大值為.吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求，1.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗命題為全稱量詞命題，其否定為：.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線〖答案〗C〖解析〗設(shè)，因?yàn)椋?，其幾何意義為任意一點(diǎn)到點(diǎn)2,0于的距離和為，又點(diǎn)2,0和之間的距離小于，符合橢圓定義，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.故選：C.3.如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標(biāo)之一.該時(shí)鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知兩異面直線的夾角范圍為，結(jié)合正方體的特征不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)一側(cè)時(shí)針指向3時(shí)，另一側(cè)時(shí)針指向9時(shí)時(shí)，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成角為直角，故在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為.故選：D.4.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2024年3月25日，斐濟(jì)附近海域發(fā)生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震的（）A.10倍 B.100倍 C.1000倍 D.10000倍〖答案〗C〖解析〗設(shè)里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，由，于是，則，因此，所以它釋放的能量是里氏3.1級地震的1000倍.故選：C.5.已知雙曲線：的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.2或〖答案〗A〖解析〗由雙曲線方程，令，解得，所以雙曲線的漸近線為，又漸近線為，，又，，.故選：A.6.越來越多的人喜歡參加戶外極限運(yùn)動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個(gè)地區(qū)分別有的人參加戶外極限運(yùn)動，兩個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為．若從這兩個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運(yùn)動的概率為；若此人參加戶外極限運(yùn)動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)“此人參加戶外極限運(yùn)動”，“此人來自地區(qū)”，“此人來自地區(qū)”.依題意，,依題意，；.故選：D.7.已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，，則線段的長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，整理得，即，所以，所以故選：B.8.如圖所示，曲線是由半橢圓，半圓和半圓組成，過的左焦點(diǎn)作直線與曲線僅交于兩點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作直線與曲線僅交于兩點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由題意知：；，由對稱性可知：為橢圓截直線的弦長，由題意知斜率不為0，設(shè)，其與橢圓交于點(diǎn)和，由得：，則，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則（）A.抽出產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為C.抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，所以共有種不同的抽法，所以A正確，對于B，由題意可知抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯誤，對于C，由題意得抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，對于D，設(shè)抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，則，，，所以，所以D正確.故選：ACD.10.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，令，則，又因?yàn)椋?，此時(shí)，即只有時(shí)，且，除此之外，所以成立，故B正確；，故C錯誤；因?yàn)橹挥袝r(shí)，，除此之外，所以的最小值為，又時(shí)，，所以的最大值為，所以成立，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)一個(gè)周期是B.函數(shù)遞減區(qū)間為C.函數(shù)有無數(shù)多個(gè)對稱中心D.過點(diǎn)作曲線的切線有且只有一條〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)中，，即，解得，，對于A，顯然，，即，A錯誤；對于B，由，求導(dǎo)得，因此函數(shù)遞減區(qū)間為，B正確；對于C，由，得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，有無數(shù)多個(gè)對稱中心，C正確；對于D，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，則，整理得，即，令函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，而，則，即函數(shù)在且時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，，則，即函數(shù)在且時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，因此函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；從而方程有唯一實(shí)根，過點(diǎn)作曲線的切線有且只有一條，D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個(gè)空填對得2分，第二個(gè)空填對得3分.12.已知隨機(jī)變量，滿足，則__________.〖答案〗8〖解析〗易知.13.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)是函數(shù)與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗易知，令，即，根據(jù)周期性不妨k取，此時(shí)，則，易知是以B為頂點(diǎn)的等腰三角形，若要滿足為鈍角三角形，則，解之得.14.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面體棱長為2，則該組合體的表面積為__________；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為__________.〖答案〗27〖解析〗該組合體一共有24個(gè)面，每一個(gè)面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為;該組合體的外接球也是任意一個(gè)正四面體的外接球，可用一個(gè)正四面體來看，是的中心，是球心，則，則，，設(shè)外接球半徑為，則，又，解得,兩正交四面體公共部分一共有8個(gè)面，且每一個(gè)面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為，大正四面體的體積為則每個(gè)小正四面體的體積為，則中間部分的體積為，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，則中間部分的體積也可表示為，解得，故外接球和內(nèi)切球體積之比為.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，整理得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設(shè)，且，解得，，即，其中，，.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，令得或，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：-2+-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值0.（2），，令，則，當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故.要證當(dāng)時(shí)，.法一：只需證當(dāng)時(shí)，即，令，則在上單調(diào)遞減故，即式成立，原不等式成立.法二：只需證當(dāng)時(shí)，即，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減.，在上單調(diào)遞減，，即式成立，原不等式成立.17.某商場為慶祝開業(yè)十周年，開展了為期一個(gè)月的有獎促銷活動，消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿200元，即可參加抽獎活動．抽獎盒子中裝有大小相同的2個(gè)黃球和2個(gè)白球，規(guī)則如下：每次從盒子中任取兩個(gè)球，若取到的兩個(gè)球均為黃球，則中獎并獲得獎品一份，活動結(jié)束；否則將取出的兩個(gè)球放回盒中，并再放入一個(gè)大小相同的紅球，按上述規(guī)則，重復(fù)抽獎，參加抽獎的消費(fèi)者最多進(jìn)行三次，即使第三次沒有中獎，抽獎也會結(jié)束．（1）現(xiàn)某消費(fèi)者一次性消費(fèi)200元，記其參加抽獎的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）隨著抽獎活動的有效開展，參加抽獎活動的人數(shù)越來越多，表示第天參加抽獎活動的人數(shù)，該商場對活動前5天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：第天12345人數(shù)經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．（i）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說明與的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；（結(jié)果精確到0.01）（ii）請用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此估計(jì)第10天參加抽獎的消費(fèi)者人數(shù)．附：①相關(guān)系數(shù)：最小二乘估計(jì)分別為：②參考數(shù)據(jù)：．解：（1）根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得，，（或）所以隨機(jī)變量的分布列：123所以，期望為.（2）（i）由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，所以，所以變量與線性相關(guān)程度很強(qiáng).（ii）由，因?yàn)?，可得，所以，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，可得，故估計(jì)第10天有132名消費(fèi)者參與抽獎．18.如圖所示，半圓柱與四棱錐A-BCDE拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱