2024屆天津市和平區(qū)高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市和平區(qū)2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)．故選：C．2.若，下列選項(xiàng)中，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價(jià)于，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件，對(duì)應(yīng)的集合為，則是的真子集，由此對(duì)照各項(xiàng)，可知只有A項(xiàng)符合題意．故選：A．3.為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀．活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．4.已知函數(shù)定義域?yàn)椋液瘮?shù)與均為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則，，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由可得，即.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則以下說法中，正確的為（）A.B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為〖答案〗C〖解析〗由圖象可知，，所以，所以，所以，將代入得：，所以，由于，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，解得，即不等式解集為，故C正確；令，解得，所以的圖象的對(duì)稱中心為，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗作出四棱錐，如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐高為，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．7.過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為，直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.8.已知拋物線：的焦點(diǎn)為點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，若的焦距為6，且在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗拋物線：的焦點(diǎn)為，依題意可得，直線方程為，即，聯(lián)立，可得，解得或，又線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，由，所以，在點(diǎn)處的切線斜率為，又在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為．故選：D．9.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓瑑牲c(diǎn)），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），即的最小值為．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分）10.設(shè)集合，，，則______．〖答案〗〖解析〗，，故.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為．令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為．12.過點(diǎn)作曲線y=2xx∈R〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，y'=2所以過切點(diǎn)的切線方程為：，把代入得：-2t=-t?2所以t=1ln2，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：即13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為______；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率．14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).15.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗,,．〖解析〗方程，即，結(jié)合，得，原方程可化為，①時(shí)，原方程變?yōu)?，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；②，記，的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為，結(jié)合圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；③，則，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最小值，觀察圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值，方程即的根的判別式△，且方程即的根的判別式△，結(jié)合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．綜上所述，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，．（1）求角B的大??；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ碛?，因?yàn)?所以，所以，即，由于B∈0,π,所以，故，解得；（2）因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ?，即，解得；?）由正弦定理有，有，因?yàn)?，所以為銳角，故，又，則，．17.如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)D到平面的距離．（1）證明：因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)長為，則，，因?yàn)?，所以，則有，．所以，，，，，，．因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，有，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：因?yàn)?，平面的法向量為，所以，點(diǎn)D到平面的距離為．18.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．（1）若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；（2）等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（i）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求．解：（1）設(shè)數(shù)列an公差為，由公式，，有，求得，即，所以．設(shè)，前項(xiàng)和為，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以（2）（?。┰O(shè)數(shù)列bn公差為，由（1）得，又，即，解得，所以．.（ⅱ），設(shè)，，①，②①－②得，．所以，．設(shè)，所以，．．所以，．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）是否存在過原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）依題意，，解得，又因?yàn)?，所以．?）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，解得，①，直線AF方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，解得，②，又因?yàn)?，設(shè)，則有，即，所以，所以．所以，則有，代入①②有，解得，由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，設(shè)，，且an>0.求證：當(dāng)，且時(shí)，不等式成立.（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：由已知有恒成立，設(shè)，即，又函數(shù)定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，即，解得，即的取值范圍為.（3）證明：由，，an>0，因?yàn)榈葍r(jià)于.一方面，要證明，由（2）可知當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又an>0，所以，因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，時(shí)成立，即成立.天津市和平區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)．故選：C．2.若，下列選項(xiàng)中，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價(jià)于，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件，對(duì)應(yīng)的集合為，則是的真子集，由此對(duì)照各項(xiàng)，可知只有A項(xiàng)符合題意．故選：A．3.為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀．活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．4.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)與均為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則，，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由可得，即.故選：C.5.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則以下說法中，正確的為（）A.B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為〖答案〗C〖解析〗由圖象可知，，所以，所以，所以，將代入得：，所以，由于，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，解得，即不等式解集為，故C正確；令，解得，所以的圖象的對(duì)稱中心為，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗作出四棱錐，如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐高為，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．7.過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為，直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.8.已知拋物線：的焦點(diǎn)為點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，若的焦距為6，且在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗拋物線：的焦點(diǎn)為，依題意可得，直線方程為，即，聯(lián)立，可得，解得或，又線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，由，所以，在點(diǎn)處的切線斜率為，又在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為．故選：D．9.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓瑑牲c(diǎn)），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），即的最小值為．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分）10.設(shè)集合，，，則______．〖答案〗〖解析〗，，故.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為．令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為．12.過點(diǎn)作曲線y=2xx∈R〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，y'=2所以過切點(diǎn)的切線方程為：，把代入得：-2t=-t?2所以t=1ln2，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：即13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為______；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率．14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).15.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗,,．〖解析〗方程，即，結(jié)合，得，原方程可化為，①時(shí)，原方程變?yōu)?，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；②，記，的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為，結(jié)合圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；③，則，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最小值，觀察圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值，方程即的根的判別式△，且方程即的根的判別式△，結(jié)合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．綜上所述，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，．（1）求角B的大小；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理有，因?yàn)?所以，所以，即，由于B∈0,π,所以，故，解得；（2）因?yàn)?，所以由余弦定理，即，解得；?）由正弦定理有，有，因?yàn)?，所以為銳角，故，又，則，．17.如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)D到平面的距離．（1）證明：因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)長為，則，，因?yàn)?，所以，則有，．所以，，，，，，．因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又因?yàn)椋裕?，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，有，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則直線與平面