2025屆江蘇省南京市高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個〖答案〗C〖解析〗集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點為圓心，2為半徑的圓上的點的集合，集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)圖象上的點的集合，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓及函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，圓及函數(shù)的圖象有3個公共點，所以有3個元素，共有個真子集.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，設(shè)，則，顯然，所以點第一象限，A正確.故選：A.3.某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分?jǐn)?shù)由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為77，則該名考生的面試平均得分為（）A.79 B.80 C.81 D.82〖答案〗B〖解析〗由題意知，下四分位數(shù)為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為,所以，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.若單位向量滿足，向量滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，依題意，，，以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，令，由，得C在以為直徑的圓上，該圓的方程為，設(shè)，即，則，所以的最小值為.故選：D.6.設(shè)數(shù)列an的前項和為，，，若，則正整數(shù)的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021〖答案〗C〖解析〗由，兩邊取倒數(shù)可得：，即，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2022．故選：C.7.已知雙曲線，在雙曲線C上任意一點處作雙曲線C的切線（），交C在第一、四象限的漸近線分別于A、B兩點．當(dāng)時，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)雙曲線C在點P處的切線為l，切線l與x軸交于點D，根據(jù)題意點P在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為，令，得，所以點，設(shè)點Ax1,y1，B解得，所以點，同理可得，又，，所以點P是線段AB的中點，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.8.在中，且均為整數(shù)，D為AC中點，則的值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗在中，由，得，即，則，由為整數(shù)，得，，，整理得，而，且均為整數(shù)，則，由，解得，由，解得，由正弦定理得，則，由D為AC中點，得，則，所以.故選：D.三、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，點P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法正確的是（）A.過B，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形B.存在點P，使得平面C.若點P到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點P的軌跡為拋物線的一部分D.若直線D1P與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為〖答案〗AC〖解析〗對于A，連接，，分別是棱，的中點，則，且，又，則，且，因此過，，三點的平面截正方體所得截面為梯形，A正確；以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)點，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對于B,，若存在點，使得平面，則，于是，即，無解，因此不存在點，使得平面，B錯誤；對于C，平面平面，則，若點到直線與到直線的距離相等，則，平方整理得，則點的軌跡為拋物線的一部分，C正確；對D，依題意，平面，因此點的軌跡是過點與平面平行的平面交正方形所得線段，而，則，令，得；令，得，線段的中點，于是P點軌跡為線段，所以點的軌跡長度為，D錯誤.故選：AC.10.芯片時常制造在半導(dǎo)體晶元表面上．某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn)．部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗．記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取M個，這M個芯片中恰有m個的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.取得最大值時，M的估計值為54〖答案〗ABC〖解析〗對于A，由題意可知：，故A正確；對于B，由，則，又，于是，即，因此，即，則，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，設(shè)，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時，的估計值為53，故D錯誤.故選：ABC.11.麥克斯韋妖(Maxwell’sdemon)，是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個分子的運動，是第二類永動機的一個范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機變量x所有取值為1，2，…，n，且，，定義X信息熵，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，若，則與正相關(guān)C.若，則D.若，隨機變量y的所有可能取值為1，2，…，m，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A,若,則,因此正確；對于,當(dāng)時,令,則即函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以與正相關(guān)，B正確;對于,則,則,而,于是令則,兩式相減得，因此，C錯誤；對于由于Pi>0(i=1,2,?,2m)則log2因此Pi所以,所以成立,D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為__________．〖答案〗〖解析〗正四棱臺的對角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，因為，則該梯形的高，所以該棱臺的體積為.13.已知拋物線與拋物線在第一象限的交點為點A，拋物線與直線(e為自然常數(shù))在第四象限的交點為點B，點O為坐標(biāo)原點，則的面積為________．〖答案〗〖解析〗由，解得或，即點，由，當(dāng)時，解得，即，點到直線的距離，而，所以的面積.14.已知函數(shù)滿足，且，則______．〖答案〗或2021〖解析〗令，則，令，則，解得或.而，故.因此.則，即，因此或當(dāng)時，時，此時；當(dāng)時，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求b的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取極大值，滿足題意，所以.（2）依題意，在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，因此在上恒成立，而當(dāng)時，，則，所以b的取值范圍是.16.4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進(jìn)聯(lián)合國六種官方語言平等使用．某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，每位留學(xué)生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學(xué)生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．（1）甲留學(xué)生隨機抽取題，記總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前項和；（ⅱ）記甲留學(xué)生已答過的題累計得分恰為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．解：（1）依題意可得的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為所以.（2）（ⅰ）若甲留學(xué)生隨機抽取道題，總得分恰為分，即道題均答對了，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則.（ⅱ）依題意可得，，，當(dāng)時，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，又，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗當(dāng)、上式也成立，所以.17.如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由；（3）若，求直線與直線所成最大角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為，所以M是線段上的中點，因此有，因為是矩形，N是線段上的中點，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設(shè)存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線，因為四邊形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，因為是矩形，所以，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立，因此不存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線；（3）當(dāng)時，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設(shè)，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當(dāng)時，有最小值，最小值為，此時有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.18.已知雙曲線與曲線有4個交點（按逆時針排列）（1）當(dāng)時，判斷四邊形的形狀；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：為定值；（3）求四邊形面積的最大值．附：若方程有4個實根，，，，則，．（1）解：當(dāng)時，四邊形為正方形，理由如下：此時，又，，由，故四個交點坐標(biāo)分別為，且⊥，為正方形；（2）證明：，將代入，，化簡得，設(shè)，由“公式”知，，故．（3）解：記，，，．當(dāng)在內(nèi)部時，設(shè)，．當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形取等．當(dāng)在外部時，設(shè)，.綜上，四邊形面積最大值為8．19.稱是的一個向往集合，當(dāng)且僅當(dāng)其滿足如下兩條性質(zhì)：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，稱包含的最小向往集合稱為的生成向往集合，記為.（1）求滿足的正整數(shù)的值；（2）對兩個向往集合，定義集合.（i）證明：仍然是向往集合，并求正整數(shù)，滿足；（ii）證明：如果，則.（1）解：設(shè).注意到，所以，又，所以注意到集合，并且是向往集合，根據(jù)生成向往集合的最小性，有；因為，所以，另一方面，容易證明，因為中全都是2的倍數(shù)，所以，綜上所述,即x=2.（2）證明：（i）用和（1）類似的方法可以得到，且.所以,所以，又因為生成向往集合的最小性，有，故得：x=6.下面證明是向往集合.任取，寫出表示成有限和的形式，則也可以寫成有限和的形式，容易證明其次，任意取，只需要把中的替換為即可，綜上所述是向往集合.（ii）因為，因為，所以存在，有任取，有和，所以進(jìn)而根據(jù)向往集合的性質(zhì)（1），有任意取，有，因為，有，所以.江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個〖答案〗C〖解析〗集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點為圓心，2為半徑的圓上的點的集合，集合是坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)圖象上的點的集合，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓及函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，圓及函數(shù)的圖象有3個公共點，所以有3個元素，共有個真子集.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在第二象限，設(shè)，則，顯然，所以點第一象限，A正確.故選：A.3.某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分?jǐn)?shù)由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為77，則該名考生的面試平均得分為（）A.79 B.80 C.81 D.82〖答案〗B〖解析〗由題意知，下四分位數(shù)為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為,所以，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.若單位向量滿足，向量滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，依題意，，，以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，令，由，得C在以為直徑的圓上，該圓的方程為，設(shè)，即，則，所以的最小值為.故選：D.6.設(shè)數(shù)列an的前項和為，，，若，則正整數(shù)的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021〖答案〗C〖解析〗由，兩邊取倒數(shù)可得：，即，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2022．故選：C.7.已知雙曲線，在雙曲線C上任意一點處作雙曲線C的切線（），交C在第一、四象限的漸近線分別于A、B兩點．當(dāng)時，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)雙曲線C在點P處的切線為l，切線l與x軸交于點D，根據(jù)題意點P在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為，令，得，所以點，設(shè)點Ax1,y1，B解得，所以點，同理可得，又，，所以點P是線段AB的中點，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.8.在中，且均為整數(shù)，D為AC中點，則的值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗在中，由，得，即，則，由為整數(shù)，得，，，整理得，而，且均為整數(shù)，則，由，解得，由，解得，由正弦定理得，則，由D為AC中點，得，則，所以.故選：D.三、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，點P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法正確的是（）A.過B，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形B.存在點P，使得平面C.若點P到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點P的軌跡為拋物線的一部分D.若直線D1P與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為〖答案〗AC〖解析〗對于A，連接，，分別是棱，的中點，則，且，又，則，且，因此過，，三點的平面截正方體所得截面為梯形，A正確；以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)點，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對于B,，若存在點，使得平面，則，于是，即，無解，因此不存在點，使得平面，B錯誤；對于C，平面平面，則，若點到直線與到直線的距離相等，則，平方整理得，則點的軌跡為拋物線的一部分，C正確；對D，依題意，平面，因此點的軌跡是過點與平面平行的平面交正方形所得線段，而，則，令，得；令，得，線段的中點，于是P點軌跡為線段，所以點的軌跡長度為，D錯誤.故選：AC.10.芯片時常制造在半導(dǎo)體晶元表面上．某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn)．部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗．記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取M個，這M個芯片中恰有m個的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.取得最大值時，M的估計值為54〖答案〗ABC〖解析〗對于A，由題意可知：，故A正確；對于B，由，則，又，于是，即，因此，即，則，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，設(shè)，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時，的估計值為53，故D錯誤.故選：ABC.11.麥克斯韋妖(Maxwell’sdemon)，是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個分子的運動，是第二類永動機的一個范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機變量x所有取值為1，2，…，n，且，，定義X信息熵，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，若，則與正相關(guān)C.若，則D.若，隨機變量y的所有可能取值為1，2，…，m，且，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A,若,則,因此正確；對于,當(dāng)時,令,則即函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以與正相關(guān)，B正確;對于,則,則,而,于是令則,兩式相減得，因此，C錯誤；對于由于Pi>0(i=1,2,?,2m)則log2因此Pi所以,所以成立,D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為__________．〖答案〗〖解析〗正四棱臺的對角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，因為，則該梯形的高，所以該棱臺的體積為.13.已知拋物線與拋物線在第一象限的交點為點A，拋物線與直線(e為自然常數(shù))在第四象限的交點為點B，點O為坐標(biāo)原點，則的面積為________．〖答案〗〖解析〗由，解得或，即點，由，當(dāng)時，解得，即，點到直線的距離，而，所以的面積.14.已知函數(shù)滿足，且，則______．〖答案〗或2021〖解析〗令，則，令，則，解得或.而，故.因此.則，即，因此或當(dāng)時，時，此時；當(dāng)時，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求b的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取極大值，滿足題意，所以.（2）依題意，在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，因此在上恒成立，而當(dāng)時，，則，所以b的取值范圍是.16.4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進(jìn)聯(lián)合國六種官方語言平等使用．某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，每位留學(xué)生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學(xué)生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．（1）甲留學(xué)生隨機抽取題，記總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前項和；（ⅱ）記甲留學(xué)生已答過的題累計得分恰為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．解：（1）依題意可得的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為所以.（2）（?。┤艏琢魧W(xué)生隨機抽取道題，總得分恰為分，即道題均答對了，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則.（ⅱ）依題意可得，，，當(dāng)時，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，又，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗當(dāng)、上式也成立，所以.17.如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由；（3）若，求直線與直線所成最大角的余弦值.解：（1）取