（江蘇專用）2020-2021學年高二數(shù)學下學期期末試卷一

卷01-期末全真模擬卷一

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.復數(shù)言的共趣復數(shù)是（）

B.D--2+2l

22

【答案】A

2+i(2+i)(l+01,3.

【解析】：——=-----二一+一I

1-i(l-i)(l+i)22

所以復數(shù)笠的共規(guī)復數(shù)是:-

l-lLN

故選A.

2.甲、乙等5人在9月3號參加了紀念抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場排成一排拍照留念,

甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有（）

A.12種B.24種C.48種D.120種

【答案】B

【解析】甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個元素，共有四掰種排法，

甲乙相鄰且在兩端有6心掰種排法，

故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有用心-6幽掰=24（種），

故選&

3.已知曲線G：f（x）=Inx+1x2+：和。2：9（%）=~ax2+bx+1在交點處具有相同的切線方程,

則ab的值為（）

A.—1B.0C.—6D.6

【答案】D

【解答】

解：f'W=^+x-l,g'（x）=-2ax+b,又因為f（x）與g（x）在交點（Lf（x））處具有相同的切線方程,

所以｛附駕備即｛二隙2/，ma=-2,b=-3,

所以ab=6.

故選D.

4.下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)a的值是（）

X3459

a1J_]_

P一+。

2626

111

C

A.6-9-D.2-

【詳解】

—+—+a+—+——l,解得a=L

26269

故選：C

5.下列命題錯誤的是

A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1

B.設看?N（0Q2）,且尸偌<一1）=",則P（O<g）V

C.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高

D.已知變量x和y滿足關系y=>01x,變量y與z正相關，則x與z負相關

【答案】B

【詳解】對于A,根據(jù)相關系數(shù)的意義知，A正確

對于B,由J?N（0,CT2）,知〃=0,概率密度函數(shù)的圖象關于x=0對稱

故+P仁>1）,P（-l<^<l）=l-2xP（0<^<l）=1

所以尸（0<4<l）=；.P（T<==；,故B錯誤

對于C,根據(jù)殘差圖的意義，C正確

對于D,變量x和），滿足關系y=i-o」x,所以y和X負相關，因為y與z正相關，所以x與z負相關，故

D正確

故選：B

6.隨機變量X服從正態(tài)分布X?N（10n2）,P（X>12）=m,P（8<X<10）=n,則；的最小值為（）.

A.3+4V2B.6+2V2C.8+2V2D.6+4V2

【答案】D

【解答】???隨機變量X服從正態(tài)分布X-/V(10,<52),P(X>12)=m,P(8<X<10)=n,

??P(10<X<12)=n,

■-in+n=I，且m>0,n>0

=2(3+2勾

=6+4vL

當且僅當滬渺即時誓/=尊等號成立，

二2+工的最小值為6+4位.故選D

mn

7.回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀.不僅意思不變，而且頗具趣

味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過

大佛寺，寺佛大過人在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如44,

585,2662等；那么用數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（）

A.30B.36C.360D.1296

【答案】B

【詳解】

由題意知：組成4位“回文數(shù)”

二當由一個數(shù)組成回文數(shù)，在6個數(shù)字中任取1個：C：種

當有兩組相同的數(shù)，在6個數(shù)字中任取2個：C；種

又?.?在6個數(shù)字中任取2個時，前兩位互換位置又可以組成另一個數(shù)

,2個數(shù)組成回文數(shù)的個數(shù)：用種

故，在6個數(shù)字中任取2個組成回文數(shù)的個數(shù)：8

綜上，有數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為：C：用+C：=36

故選：B

8.設函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=42,給定下列命題

X

①不等式g(x)>o的解集為(J+8)；

②函數(shù)g(x)在(o,e)單調遞增，在(e,+8)單調遞減；

③xe-,1時，總有/(x)<g(x)恒成立；

e

④若函數(shù)F(x)=f(x)-辦2有兩個極值點,則實數(shù)ae(0,1).

則正確的命題的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

函數(shù)/(x)=x/nx,.,?/'(%)=/nx+l

/、lnx+\、1-bvc-lInx

火占(人’一，人

’JX611-X2-X2~~

對于①，g(x)>0即如土■>(),阮v+l>0,即x>L故正確

xe

對于②，g'(x)=T，當x?0,l)時g'(x)>0,g(x)單調遞增，故錯誤

對于③,當XG-,1時,若〃x)<g(x)，則〃X)-g(x))<o

/nr4-1

即xlnx-----------<0，即x2bvc-lnx—\<0，

x

令尸(%)=%2祇一加一1,則F(x)=2x/〃x+x—工,F"(x)=2/nx+2+l+J

當xe時，F(xiàn)ff(x)>0,則E'(x)單調遞增

F(1)=O+1-1=O,則尸'(x)WO,尸(x)單調遞減

尸[：)=一5+1-1=一5<0，故/(x)—g(x))<0,/(x)<g(x),故正確

對于④，若函數(shù)廠(%)=/(力一以2有兩個極值點，則9(x)=r(x)-2or有兩個零點

lyiX+1

即E+1—*=(),2a=1——

x

令G(X)="LG'(x)=-等，G(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減

G(l)=l，即2aw(O,l),故錯誤

綜上，只有①③正確

故選8

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。

9.在(x-L)的展開式中，下列說法正確的有()

A.所有項的系數(shù)和為0B.所有項的系數(shù)絕對值和為64

C.常數(shù)項為20D.系數(shù)最大的項為第4項

【答案】AB

【詳解】

令X=1可得(X—，］的展開式中所有項的系數(shù)利為(1—1)6=(),A正確；

因為jx—工］=C^6+C>5f--UL+c^f-->|，所以展開式中所有項的系數(shù)絕對值和為

Ixj\X)IX)

C；+C：+-?+C：=26=64,B正確;

所以jx—L]

通項為C；(—I)'%"，令6—2r=(),解得r=3.的展開式中常數(shù)項為C；(一1)3=—2(),C

Ix)

錯誤;

因為|\一!]=C^x6+C；x5+L+Cl，各項的系數(shù)分別為

c：、-C；、c；、-以、C：、-c；、C：,展開式系數(shù)最大的為C：=15、C：=15,

是第3項或第5項，D錯誤.

故選：AB.

10.已知i為虛數(shù)單位，則下列選項中正確的是（）

A.復數(shù)z=3+4i的模目=5

B.若復數(shù)z=3+4i,則2（即復數(shù)z的共軌復數(shù)）在復平面內(nèi)對應的點在第四象限

C.若復數(shù)（〃廣+3加―4）+（>一2加一24）i是純虛數(shù)，則加=1或〃?="4

D.對任意的復數(shù)z,都有z?30

【答案】AB

【詳解】

對于A,復數(shù)z=3+數(shù)的模|z|=，32+42=5,故A正確；

對于5,若復數(shù)z=3+4i,則5=3—4i,在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（3,-4）,在第四象限，故3正確;

對于C,若復數(shù)（裙+3/M-4）+（m2-2m-24）i是純虛數(shù)，

nr+3m-4=0

解得"2=1,故C錯誤;

m2-2m-24力0

對于。，當z=z,時，Z2=-1<0,故。錯誤.

故選：AB.

11.下列說法中，正確的命題是（）

A.已知隨機變量f服從正態(tài)分布N（2,旌），<4）=0.84,則P（2<f<4）=0.34.

B.以模型y=ce^去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設z=lny,將其變換后得到線性方程z=

0.3x+4,則c,%的值分別是e4和0.3.

C.已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為y=a+bx,若b=2,元=1,歹=3,則a=1.

D.若樣本數(shù)據(jù)匕，x2,.....0的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2x2-l...2刈0-1的方差為16.

【答案】ABC

【解答】

解：4正確，隨機變量f服從正態(tài)分布N(2,M),

若P(f<4)=0.84,則P(f<0)=P延>4)=0.16.

則P(2<f<4)=1(0.84-0.16)=0.34.

B正確，vy=ce-,二兩邊取對數(shù)，

可得，ny=ln(cekx)=Inc+lnekx=Inc+kx,

令z=Iny,可得z=Inc+kx,

z=0.3x+4,Inc=4,k=0.3,c=e4.

C正確，因為回歸直線方程y=a+bx必過樣本中心(1,3),

所以3=a+2X1,解得a=1.

。錯誤，由方差的性質得：數(shù)據(jù)2/-1,2x2-1...2/0-1的方差為：$2=22x2=8.

故選ABC.

12.已知函數(shù)/'(x)=靖一河瞰的定義域是O,有下列四個命題，其中正確的有()

A.對于Vae(-8,0),函數(shù)f(x)在。上是單調增函數(shù)

B.對于vae(0,+8),函數(shù)y(x)存在最小值

C.存在ae(一8,0),使得對于任意XeD,都有/(x)>0成立

D.存在ae(0,+8),使得函數(shù)f(x)有兩個零點

【答案】ABD

【解答】

易求得函數(shù)定義域為(0,+8),f'(x)=ex-^

A、若ae(—8,0),則/?'(>)=/一：>0,則/"(X)為定義域上增函數(shù)，故4正確：

8、若a￡(0,+oo),則存在與，使得r(xo)=〃。一黃=0,設g(x)=ex-^,

則“(X)=〃+爰>0,則口(%)在(0,+8)上單調遞增,

則當x6(0,工0)時,f(x)<0,

當％G(%0,+8)時，/(X)>0,

則/(%)在(o,0)上單調遞減，在a。,+8)上單調遞增，

故函數(shù)/(%)在％=久o處取得最小值，故B正確；

。、由QV0,當%>0且第T0時,

ex->1,alnx14-oo,

即f(x)VO,C不正確；

D、由上述分析可知，a>0時，f(%)在(0,+8)上存在最小值，

當%>0且％t0時，/(%)>0,

當XT+8時，由于指數(shù)函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增加的快，

故/0)>0,因此,當/(X)的最小值小于0時，

/(%)在(0,+8)上有兩個零點，

考慮a=5e5,此時廣(5)=/-?=0，

此時/(x)的最小值為/(5)=5esln5<0，

故/(x)有兩個零點，

故Q正確；

故選ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機準備著艦.如果甲、乙兩機必須

相鄰著艦，丙、丁兩機也必須相鄰著艦，那么不同的著艦方法有種.

【答案】24

【詳解】

對甲，乙兩機進行排列為對丙，丁兩機進行排列為A；

然后把甲乙當成個元素，內(nèi)丁當成一個元素，3個元素進行排列，有種

根據(jù)分步計數(shù)原理可得滿足要求的一共有用?用?用=24種

故答案為：24

【點睛】

本題考查分布計數(shù)原理，以及捆綁法，屬于基礎題.

14.已知％,V的取值如表：

X0134

ya4.34.86.7

若龍，y具有線性相關關系，且回歸方程為9=0.95x+2.6,則。=

【答案】2.2

【詳解】

0+1+3+4

將無=20+4.3+4.83=」+68代入回歸方程為e=o.95x+2.6,可得

444

4+68=4.5na=2.2,應填答案2.2.

4

點睛：解答這類問題的常規(guī)方法就是先求出1=2,y="68,再借助這個點(2,產(chǎn)5)的坐標滿足回

44

歸方程為y=0.95x+2.6這一結論，將其代入回歸方程可方程"-15.8=45,然后通過解方程得到。=2.2,

4

使得問題獲解.

15.若（1一3無尸=4+4尤+生工2+…+%（）”，則q+。2+%+.??+%=

【答案】1023

【詳解】

解：V（1—3x）'°=a。+qx+a-,x~+...+《。儲。，

令尸0得：1=%；①

令x=l得：+a1+a,+/+…+4io=(I-3)"'=1。24；②

由??可得：a\+a2+q+…+4o=1024-1=1023；

故答案為：1023.

X?—2/?tx—m~—1,—2<xW0

16.已知函數(shù)/(x)=，41nxm+2在區(qū)間(-2,+8)上有且只有三個零點，則實數(shù)m的取

-----------,x>0

.xe

值范圍為.

【答案】(2-^,2)

【詳解】

A]nY

“1x>0時，函數(shù)/(x)的圖像是函數(shù)y=——的圖像進行上下平移而得到的.

,.…，4Inx.,4(1-Inx)

乂由函數(shù)丁=-----有y=—一；——--

xx

由y=4(1一加八)〉0，得y=4(ln.i)<0，得%>e.

XX

所以函數(shù)y=3詈在(0,e)上單調遞增，在(e,+?)上單調遞減，圖像如圖.

,,41nx八

當x>l時，y=---->0.

x

所以在(0,+8)匕函數(shù)/(x)至多有2個零點.

當-2<x40時，/(x)=x2-hnx-nr,/(0)=-m2-1<0,其對稱軸為x=m.

此時二次方程V一2mt——1=0有兩相異號的實根.

所以在(一2,0)上，函數(shù)至多有1個零點.

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,一)上有且只有三個零點.

所以/(%)在-2<x40上有一個零點，在(0,+8)上有2個零點.

3>0

e

，/、4m+2

則〈“e)=-------->0解得：2—近<加<2

ee

(-2)2-2mx(-2)-w2-l>0

故答案為：(2—J7,2)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知復數(shù)為=-2+hZ1Z2=-5+5i(其中i為虛數(shù)單位)

(1)求復數(shù)Z2；

2

(2)若復數(shù)Z3=(3-z2)[(m-2m-3)+(m-l)i]所對應的點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(,復數(shù)

1),?Z1=-2+i,zrz2=-5+53

—-5+5i_(-5+5i)(—2—i)_15_5i_0

"Z2=石f=(-2+i)(-2-i)=k=§i

Z2

(2)3=(3-z2)[(m-2m-3)+(m-l)i]

=i[(m2—2m—3)+(m—l)i]

=—(m—1)+(m2—2m—3)t,

???復數(shù)Z3所對應的點在第四象限，

...-1)>0

Im2-2m—3<0

解得一1<m<1.

???實數(shù)m的取值范圍是(-1,1).

18.已知二項式G+2x(",

(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系

數(shù)；

(2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項.

【答案】解：二項式6+2%)”的通項為7；+1=以《廣->(2?1

⑴???第+俏=2盤,

:.n2—21n+98=0,

???n=7或ri=14,

當n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是介和75，

且北的系數(shù)=的(》423=日，

%的系數(shù)=^(1)324=70；

當?i=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是取，

且"的系數(shù)=77；

C74(1)2=3432

(2)由劭+礙+=79,可得n=12,

設展+1項的系數(shù)最大，

???G+2久產(chǎn)=鈔2(1+4x)12,

(1+4x)12展開式的通項為

件4k>C忖

9.4</c<10.4,k=10,

???展開式中系數(shù)最大的項為Tii，

且Ai=(1)2C^210X10=16896/°.

19.為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且

成績分布在［0,60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣

的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中a,A,c構成以2為公比的

等比數(shù)列.

（1）求a,。,c的值；

（2）填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文''與“學生的文理

科”有關？

文科生理科生合計

獲獎6

不獲獎

合計400

(3)將上述調查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學

生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.

n(ad-be)?

附：K=-------------------------，其中〃=Q+Z?+c+d.

3+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

2

P(K..k]0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)tz=0.005,Z?=0.0bc=0.02：(2)列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，

不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科“有關；(3)分布列見解析，*

【分析】

(1)根據(jù)頻率和等于1可得。+力+c=0.35,再根據(jù)b,c構成以2為公比的等比數(shù)列可解得結果；

(2)根據(jù)分層抽樣可得2x2列聯(lián)表，根據(jù)公式計算K2,結合臨界值表可得答案；

(3)X~B(2卷),根據(jù)二項分布的概率公式和數(shù)學期望公式可得結果.

【詳解】

(I)由頻率分布直方圖可知，10x(a+b+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,

因為a,。,c構成以2為公比的等比數(shù)列，所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,

所以b=2a=0.01,c=4a=0.02.

故a=0.005,Z?=0.01,c=0.02.

(2)獲獎的人數(shù)為0.005x10x400=20人，

因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,所以400人中文科生的數(shù)量為400x1=80,理科生的數(shù)量為

400-80=320.

由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有20—6=14人，不獲獎的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2x2列聯(lián)表如下：

文科生理科生合計

獲獎61420

不獲獎74306380

合計80320400

400x(6x306-14x74)2

K-?1.32<6.635

20x380x80x320

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關.

201

(3)由(2)可知，獲獎的概率為---=—，

40020

X的可能取值為0，I，2,X~5(2,—),

,經(jīng)、2361

p(x=o)=C.m°.

120；、西一旃’

P(X=1)=C(12、3819

瓦瓦-400-200,

(19、

P(X=2)=C；?1-血卜表，

分布列如下：

X012

361191

r

400200400

數(shù)學期望為E(X)=2x，=

20.已知函數(shù)/(x)=—(a+2)x+2alnx(a>0),

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線為y=2x+b,求a+2b的值；

⑵設函數(shù)g(x)=—(a+2)x,若至少存在一個毛4],使得〃/)>g(x())成立，求實數(shù)。的取值

范圍.

2

【答案】(1)—10；(2)ci>-----.

In2

【詳解】

解:(1)/(力的定義域為(0,+"),/z(x)=x-(fl+2)+—,

.??/⑴=g_(Q+2)=2+—7(1)=1_伍+2)+%=2,

13

解得a=3,b----，工。+2b=—1().

2

(2)若至少存在一個與e[e,4],使得/(%)>g(xo),，；x2+2a]nx>0,

1212

當xe[e,4]時，lnx>l,，2?！礯二有解，令〃公=_/，

InxInx

,11

xinx-X2,一

A2a>/?(x)m.n,〃，(尤)=--------2_^_=

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??.力⑺在[e,4]上單調遞減，人⑺=力(4)2___8=4,

In421n2一—贏

42

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In2In2

21.已知一個口袋中有他個紅球和"個白球(m,〃eN*,m>2,n>2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)

將口袋中的球隨機地逐個摸出(不放回)，直到紅球全部被摸出為止.

(1)當加=2,〃=3時，試求“摸球次數(shù)為5”的概率：

(2)隨機變量X表示摸球次數(shù)，E(X)是X的數(shù)學期望.寫出X的概率分布列，并求E(X).

【答案】(1)劣；(2)分布列見詳解；E(X)=+〃+D.

5m+1

【詳解】

(1)當帆=2,〃=3時，由題意，紅球全部摸出，共有。；=10種情況；

若摸球次數(shù)為5,則第5次摸到紅球，此時所包含的基本事件個數(shù)為C：=4個;

c'2

因此，“摸球次數(shù)為5”的概率為P=U

5

(2)由題意,X的可能取值為:m,m+\,m+2,m+3,...,m+n,

從袋中m個紅球和〃個白球中，將紅球全部摸出，共有C：：種情況;

?

則2(乂=根)=k，P(X=m+l)=-^-,P(X=m+2)=巖，P(X=/n+3)=消詈

tn+n

P(X=m+n)=T^,

0m+"

所以X的分布列為:

Xm772+1m+2m+3…m+n