?重難點(diǎn)04二次函數(shù)中的平移翻折對稱旋轉(zhuǎn)折疊問題

重難點(diǎn)突破04二次函數(shù)中的平移、翻折、對稱、旋轉(zhuǎn)、折疊問題目錄TOC\o"13"\n\h\z\u題型01二次函數(shù)平移問題題型02二次函數(shù)翻折問題題型03二次函數(shù)對稱問題題型04二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)問題題型05二次函數(shù)折疊問題題型01二次函數(shù)平移問題1.二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(xh+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(xn)2+b(xn)+cy=a(xhn)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(xh)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+cny=a(xh)2+kn下減2.平移與增加性變化如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會(huì)改變函數(shù)最大(小)值.只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.1．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a≠0與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)，如果∠PAC=45°，求點(diǎn)(3)在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點(diǎn)D平移至點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EF⊥直線AP，垂足為點(diǎn)F，如果tan【答案】(1)y(2)P(3)y【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB，根據(jù)對稱軸，AB=4，列式x（2）過點(diǎn)C作AC⊥MN于點(diǎn)C，交AC右側(cè)的AP的延長線于點(diǎn)M，交AC左側(cè)的AP的延長線于點(diǎn)（3）設(shè)拋物線向左平移了t個(gè)單位，則點(diǎn)E1-t,-4，過點(diǎn)F作x軸的平行線交過點(diǎn)P和y軸的平行線于點(diǎn)H，交過點(diǎn)E和y軸的平行線于點(diǎn)G，證明Rt【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2-2ax-3a≠0與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A∴xA解得xB∴-3解得a=1故拋物線的解析式為y=（2）過點(diǎn)C作AC⊥MN于點(diǎn)C，交AC右側(cè)的AP的延長線于點(diǎn)M∵∠PAC∴AC=過點(diǎn)M作MT⊥y軸于點(diǎn)∴∠∵∠ACO∴△AOC∴AO=∵拋物線的解析式為y=x2∴AO=CT=1,∴OE∴M3,-2設(shè)AM的解析式為y=kx+b∴-k解得k∴AM的解析式為y=-12x-∴y=解得x=故P5（3）∵y=x2設(shè)拋物線向左平移了t個(gè)單位，則點(diǎn)E1-過點(diǎn)F作x軸的平行線交過點(diǎn)P和y軸的平行線于點(diǎn)H，交過點(diǎn)E和y軸的平行線于點(diǎn)G，由（2）知，直線AP的表達(dá)式為：y=-1設(shè)F∵∠EFP∴∠GFE∵∠GFE∴∠GEF∴Rt△∴GEHF∵GE=yF-yE=-∴-1解得：t=∴y=【點(diǎn)睛】本題為考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，三角形全等和相似、解直角三角形、圖象平移等，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D1，拋物線y=36x2+433x+23與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連AC，點(diǎn)D與點(diǎn)(1)點(diǎn)F是直線AC下方拋物線上點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，連DF交AC于點(diǎn)G，連EG，當(dāng)△EFG的面積的最大值時(shí)，直線DE上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)N，滿足MN⊥AC，連GM，NO(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H交AC于點(diǎn)L，將△AHL沿著射線AC平移到點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，從而得到△A'H'L'（點(diǎn)A，H，L分別對應(yīng)點(diǎn)A'，H'，L'），再將△A'H'L'繞點(diǎn)【答案】(1)4+(2)1733【分析】（1）作FH∥y軸交DE于H．設(shè)F(m,36m2+433m+23)，求出直線DE的解析式，聯(lián)立方程得到x=-3時(shí)，F(xiàn)H的值最大，求出答案；作點(diǎn)G關(guān)于DE的對稱點(diǎn)T，TG交DE于（2）當(dāng)△PQR是等腰三角形時(shí)，易知∠QPR=120°，易知直線RQ與x軸的夾角為60°，得到直線RQ的解析式為y【詳解】（1）如圖1中，作FH∥y軸交DE于H．設(shè)由題意可知A(-6,0)，B(-2,0)，∵拋物線的對稱軸x=-4，C，D關(guān)于直線x∴D∴直線AC的解析式為y=∵DE∴直線DE的解析式為y=由y=33x+2∴E(2,16∵S△DEF∴△DEG的面積最大時(shí)，△∵FH的值最大時(shí)，△∵FH的值最大時(shí)，△∵FH∵a∴x=-3時(shí)，F(xiàn)H的值最大，此時(shí)如圖2中，作點(diǎn)G關(guān)于DE的對稱點(diǎn)T，TG交DE于R，連接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，連接TM，GM，此時(shí)∵直線DF的解析式為：y=-由y=-解得x=-∴G∵TG∴直線GR的解析式為y=-由y=33∴R∴RG∵GM∴GM∴GM+MN+（2）如圖3中，如圖當(dāng)△PQR是等腰三角形時(shí)，易知∠QPR易知直線RQ與x軸的夾角為60°，L'直線RQ的解析式為y=∴R∴PR如圖4中，當(dāng)△QPR∵∠QPR∴△QPR同法可得R(0,2∴綜上所述，滿足條件的PR的值為1733-【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)證明題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題．3．（2023·廣東潮州·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)PQOQ的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PQ(3)把拋物線y=-12x2+bx+c沿射線AC方向平移5個(gè)單位得新拋物線y'，M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M、【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y(2)當(dāng)m=2時(shí)，PQOQ取得最大值1(3)N點(diǎn)的坐標(biāo)為N12,52,【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+4，如圖1，過點(diǎn)P作PD∥y軸交BC于點(diǎn)D，設(shè)Pm,-12m（3）設(shè)Mt-12t2+2t+92,N【詳解】（1）∵拋物線y=-12x2+bx+c與x∴解得：b=1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-（2）∵拋物線y=-12x2∴C(0,4)∴OC=4設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d，把得：4解得：k=-1∴直線BC的解析式為y=-如圖1，過點(diǎn)P作PD∥y軸交BC于點(diǎn)設(shè)Pm,-1∴PD=-∵PD∥∴△PDQ∴∴當(dāng)m=2時(shí)，PQOQ取得最大值12（3）如圖2，沿射線AC方向平移5個(gè)單位，即向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，∴新的物線解析式為y'=-12(設(shè)Mt當(dāng)BC為?BC則BC∥∴解得：t=6∴當(dāng)BC為?BC則BC∥∴解得：t=-2∴當(dāng)BC為?B則t+2=4解得：t=2∴綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)為：N12,【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的平移，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握鉛錘法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖北襄陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）坐標(biāo)綜合：

(1)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y1=x2+bx(2)將拋物線C1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作某種平移，得到一條新的拋物線C2：①如圖1，設(shè)自變量x在1≤x≤2的范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)y2的最小值始終等于-1．此時(shí)，若y2②如圖2，直線l：y=-12x+nn>0與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn).過點(diǎn)A、點(diǎn)C分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，兩平行線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B．設(shè)拋物線C2與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在左邊）．現(xiàn)將圖中的△CBA沿直線l折疊，折疊后的BC邊與x軸交于點(diǎn)M．當(dāng)8≤n【答案】(1)拋物線C1的解析式為y1=x(2)①m的值為2或9-154；②拋物線C1在向拋物線C2平移時(shí)，沿x軸的方向上需要向右平移，最少平移【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線x=3，可得b=-6，再把把（2）①根據(jù)配方可得當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)有最小值-1，再由自變量x在1≤x≤2的范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)y2的最小值始終等于-1，可得1≤m≤2，然后兩種情況討論，即可求解；②先求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可得CM=AM，在Rt△COM【詳解】（1）解：∵y1=∴-b解得：b=-6把6,3代入y1=x解得：c=3∴拋物線C1的解析式為y當(dāng)x=3時(shí)，y∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,-6（2）解：①∵y∴拋物線C2的對稱軸為直線x當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)有最小值∵在1≤x≤2的范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)y2∴1≤m當(dāng)1≤m≤32時(shí)，x=2∴m解得m=∴m當(dāng)32≤m≤2時(shí)，x=1∴m解得m=2或m=1綜上所述：m的值為2或9-15②直線l：y=-12x+n與x軸的交點(diǎn)∴B∵△CBA沿直線l∴∠BCA∵∠BCA∴∠ACM∴CM在Rt△COM中，CM解得CM=∴OM∴M∵8≤n∴6≤3當(dāng)x2-2mx+∴Em-∵點(diǎn)M始終能夠落在線段EF上，∴m+1≥6，∴5≤m∵y1=當(dāng)m=5時(shí)，拋物線C1沿x軸向右平移2個(gè)單位，向上平移當(dāng)m=10時(shí)，拋物線C1沿x軸向右平移7個(gè)單位，向上平移∴拋物線C1在向拋物線C2平移時(shí)，沿x軸的方向上需要向右平移，最少平移2個(gè)單位，最多平移【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2-4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,5，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個(gè)單位0<t<3得到對應(yīng)的矩形A'B'C'D'．已知邊C'D'，A'B'①當(dāng)t=2時(shí)，求QG②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時(shí)t【答案】(1)c=5，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2)①1；②存在，t=1【分析】（1）把0,5代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)t=2時(shí)，D'，A'的坐標(biāo)分別是2,0，3,0，再求出x=3，x=2②先求出QG=2，易得P，Q的坐標(biāo)分別是t,t2-4t+5，t+1,【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=x2-4∴c=5，∴y=∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是2,1．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為1,5，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,0．當(dāng)t=2時(shí)，D'，A'的坐標(biāo)分別是2,0當(dāng)x=3時(shí)，y=3-22+1=2，即點(diǎn)當(dāng)x=2時(shí)，y=2-22+1=1∵PG⊥∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1，

∴QG=2-1=1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面積為1，PG∴QG=2根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是t,t2如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí)，QG=此時(shí)t=12

如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí)，QG=此時(shí)t=52（在∴t=12【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx

(1)b=_______(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(k,0)作x(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P【答案】(1)-1(2)k≤-3(3)3,-52或【分析】（1）把A(-2,0)代入y（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)Dm,12m平移后得拋物線為y=（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為Pp,12p2-p-4【詳解】（1）解：把A(-2,0)代入y0=1解得b=-1故答案為-1（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵b=-1∴二次函數(shù)的解析式為y設(shè)Dm∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠∴tan∠解得m=-1或m=8當(dāng)m=-1時(shí)，1∴D-∵y=∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為y=把D-1,-52代入解得a=3或a=-1∴平移后得拋物線為y∵過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在在y=12x+32-92的對稱軸x=-∴k≤-3（3）解：由y=12x-∵頂點(diǎn)為Pp,q∴q=∴平移后的拋物線為y=12∵原拋物線y=∴原拋物線的頂點(diǎn)C1,-92，對稱軸為∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)Q，∴Q1,∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵△PCQ∴∠CPQ=90°，∴QC∴p2-2∴p=1（舍去），或p=3或p=-1當(dāng)p=3時(shí)，12當(dāng)p=-1時(shí)，1∴點(diǎn)P坐標(biāo)為3,-52或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，過原點(diǎn)的拋物線y1=ax(x-2n)(a≠0,a,n為常數(shù))與x

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______；(2)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且CM=①求線段BC的長；②線段CM與拋物線y1相交于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)D(3)將拋物線y1向右平移(4-t)個(gè)單位長度，再向下平移165個(gè)單位長度得到拋物線y2，P，Q是拋物線y2上兩點(diǎn)，T是拋物線y2的頂點(diǎn)．對于每一個(gè)確定的t值，求證：矩形TPNQ【答案】(1)-(2)①BC=5；②(3)證明見解析，RT【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)公式求C點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①設(shè)Cx,0，根據(jù)CM=CB，建立方程(x+3)2+9=x+4，求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可求BC；②求出直線CM的解析式為y=-34直線CM與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D(-（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可求y2=-15(x+t)2，則T(-t,0)，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，P(m,-15(m+t)2)，Q(n,15(n+t)2)當(dāng)kx+b【詳解】（1）∵B是線段OA的中點(diǎn)，B∴OA∴A故答案為：-8,0（2）①設(shè)Cx∵CM∴(解得x=1∴BC②設(shè)直線CM的解析式為y=∴k解得k'=-∴直線CM的解析式為y=-將A-8,0代入∴-8a∵a∴-8-2n解得n=-4∴y將M點(diǎn)代入y1∴-3a解得a=-∴拋物線y1當(dāng)-34x+3∴D（3）證明：∵y∴y∴T設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，P當(dāng)kx+b=-∴m+n過點(diǎn)P作PF⊥x軸交于F點(diǎn)，過Q點(diǎn)作QE⊥∵四邊形TPNQ是矩形，∴∠PTQ∴∠FTP∵∠FTP∴∠ETQ∴△FPT∽△∴PFTE=整理得，(m∴mn∴b-kt∴直線PQ的解析式為y=∴對于每一個(gè)確定的t值，直線PQ必經(jīng)過定點(diǎn)R(-∴RT【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，題型02二次函數(shù)翻折問題二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值。8．（2023·廣東潮州·一模）如圖，直線y=-2x+3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線y=-x(1)求拋物線的解析式．(2)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥BC于H，求(3)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，把線段MB沿著直線BC翻折，M的對應(yīng)點(diǎn)M'恰好落在拋物線上，求M【答案】(1)y(2)當(dāng)t=1時(shí)，PH+2(3)M點(diǎn)坐標(biāo)為1，17+5【分析】（1）先求出C0（2）過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，交x軸于E，過點(diǎn)H作HF⊥PD于F，過點(diǎn)B作BG⊥HF于G，設(shè)Pt，-t2+2t+3，則Dt，-2t（3）設(shè)M1，m，M'n，-n2+2n+3，由翻折可得MM'的中點(diǎn)Ln+12，m-n2+2n+32在直線BC上，即m=n2-【詳解】（1）解：∵直線y=-2x+3交x軸于點(diǎn)B，交y∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，-∴B32∵拋物線y=-x2+bx∴-1-解得：b=2∴該拋物線的解析式為y=-（2）解：過點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于D，交x軸于E，過點(diǎn)H作HF⊥PD于F，過點(diǎn)B作BG⊥，設(shè)Pt，-t2∴PD∵B32∴OB=3在Rt△BCO中，∵PH∴∠PHD∴△PDH∴PHOB=∴PH∴PH∵HF∴∠PFH∴△PHF∴PFOB=∴PF∴EF∵∠BGF∴四邊形BEFG是矩形，∴BG=EF∴∠HBG∵∠BGH∴△BHG∴BH∴BH∴PH∵-5∴當(dāng)t=1時(shí)，PH+2HB（3）解：設(shè)M1，m∵線段MB沿著直線BC翻折，M的對應(yīng)點(diǎn)M'∴MM'的中點(diǎn)Ln∴-2×n化簡得：m=當(dāng)點(diǎn)M在BC的上方時(shí)，如圖2，過點(diǎn)M'作M'R∥x軸交拋物線的對稱軸于R，則MR=∵M(jìn)T∴∠MTL∵∠M∴∠MTL∴∠MTL∴sin∴ML∴MM∴M∴1-n解得：n=聯(lián)立①②得：m=解得：m=∵m∴m∴M當(dāng)點(diǎn)M在BC的下方時(shí)，如圖3，，同理可得：m=∴M綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為1，17+5201【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，解直角，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及知識點(diǎn)多，難度較大，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解此題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中校考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)-1,-1是函數(shù)y=2x+1的圖象的(1)分別判斷函數(shù)y=x+2，y=x2-x的圖象上是否存在(2)設(shè)函數(shù)y=3x(x>0)，y=-x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作(3)若函數(shù)y=x2-2x≥m的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2，當(dāng)【答案】(1)函數(shù)y=x2-x的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)(2)-23或(3)當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，m<-【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A3,3（3）由記函數(shù)y=x2-2x≥m的圖象為W1，將W1沿【詳解】（1）在y=x+2中，令x∴函數(shù)y=x+2的圖象上不存在“在y=x2解得：x1=0，∴函數(shù)y=x2-x的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)（2）在函數(shù)y=3x解得：x=∴A3在函數(shù)y=-x+解得：x=∴Bb∵BC⊥∴C1∴BC=∵△ABC的面積為3∴12當(dāng)b<0時(shí)，b解得:b=-2當(dāng)0≤b<23∵Δ＝(-2∴方程b2當(dāng)b≥23時(shí)，解得：b=-23或綜上所述，b的值為-23或（3）令x=解得：x1=-1，∴函數(shù)y=x2-2的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)①當(dāng)m<-1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上必有2個(gè)“等值點(diǎn)”-W1：yW2：y令x=整理得：x2∵W2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”∴Δ<0∴4m∴m<-②當(dāng)m=-1時(shí)，有3個(gè)“等值點(diǎn)”-2,-2，-1,-1③當(dāng)-1<m<2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2④當(dāng)m=2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)“等值點(diǎn)⑤當(dāng)m>2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上沒有“綜上所述，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，m<-【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性，掌握計(jì)算方法，結(jié)合一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，函數(shù)y=x2

(1)求函數(shù)y=(2)從A，C，D三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；(3)點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC【答案】(1)y=-(2)13(3)存在，tan∠MAN的值為1或4或【分析】（1）利用配方法得到y(tǒng)=（2）利用頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x+1)2得到A(-1,0)，解方程-x2+4=0得D(-2,0)，C(2,0)易得B(0,4)，列舉出所有的三角形，再計(jì)算出（3）易得BC的解析式為y=-2x+4，S△ABC=6，M點(diǎn)的坐標(biāo)為m,-2m+40≤m≤2，討論：①當(dāng)N點(diǎn)在AC上，如圖1，利用面積公式得到12(m+1)(-2m+4)=2，解得m1=0，m2=1，當(dāng)m=0時(shí)，求出AN=1，MN=4，再利用正切定義計(jì)算tan∠MAC的值；當(dāng)m=1時(shí)，計(jì)算出AN=2，MN=2，再利用正切定義計(jì)算tan∠MAC的值；②當(dāng)N點(diǎn)在BC上，如圖2，先利用面積法計(jì)算出AN=655，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出MN=253，然后利用正切定義計(jì)算【詳解】（1）解：y=x2+2x把y=-(x+1)2向右平移1∴所求的函數(shù)y=ax（2）解：∵y∴A當(dāng)y=0時(shí)，-解得x=±2則D(-2,0)，C當(dāng)x=0時(shí)，y=-x從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形的有：△ACB，△ADB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=∴△BCD∴構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率=1（3）解：存在．∵B(0,4)，設(shè)BC解析式為y=則有2k∴k=-2∴BC的解析式為y=-2x設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為m,-2①當(dāng)N點(diǎn)在AC上，如圖1，

∴△AMN的面積為△ABC面積的∴12(m+1)(-2m當(dāng)m=0時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)，N則AN=1，MN∴tan當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，N則AN=2，MN∴tan②當(dāng)N點(diǎn)在BC上，如圖2，

BC=∵12解得AN=∵S∴MN∴tan③當(dāng)N點(diǎn)在AB上，如圖3，作AH⊥BC于

設(shè)AN=t，則由②得AH=則BH=∵∠NBC∴△BNM∴MNAH=BN∴MN∵12即12整理得3t∵Δ=∴點(diǎn)N在AB上不符合條件，綜上所述，tan∠MAN的值為1或4或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函數(shù)圖象的圖象變換規(guī)律，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條拋物線y=ax2+bx經(jīng)過△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A3,-3

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，P為直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，CP，將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A1．問是否存在點(diǎn)P，使得以A1，P，C，B【答案】(1)y(2)6,6(3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為32，32或-【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線x=-b2（2）設(shè)Bm,23m2-3m，過點(diǎn)A作EF⊥y軸交于E點(diǎn)，過B（3）先得出直線OB的解析式為y=x，設(shè)Pt,t，當(dāng)BP為平行四邊形的對角線時(shí)，可得AP=AC【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線x=-∴b=-9將點(diǎn)A3,-3代入y∴9a+3聯(lián)立①②得，a=∴解析式為y=（2）設(shè)Bm,23m2-3m，如圖所示，過點(diǎn)A作EF

∴Fm,-3，則OE=3,∴S解得：m=6或m（3）存在點(diǎn)P，使得以A1，P，C，B∵A3,-3∴C9設(shè)直線OB的解析式為y=∴6k=6，解得：∴直線OB的解析式為y=設(shè)Pt如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對角線時(shí)，BC∥

BC=∵AC=∴AC=由對稱性可知AC=A1∴AP=∴t解得：t∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為32，如圖3，當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時(shí)，BP∥A1

由對稱性可知，AC=∴BP=∴6-t解得：t=35∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為352綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為32，32或-3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧鞍山·校考一模）拋物線與坐標(biāo)軸交于A-1,0，B

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF∥AC，交拋物線于E、F，當(dāng)EF=3(3)點(diǎn)D是x軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC，交線段BC于E，將△DEB沿DE翻折，得到△DEB'，若△DEB'與△ABC重合部分的面積為【答案】(1)y(2)-(3)S【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把點(diǎn)A-1,0，（2）過點(diǎn)E作EK∥y軸，過點(diǎn)F作FK∥x軸，兩平行線EK，F(xiàn)K相交于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t,0，由點(diǎn)A-1,0，C0,2可得直線AC的解析式為y=2x+2，由EF∥AC與Dt,0可得直線EF的函數(shù)解析式為y=2x-2t，由（3）根據(jù)點(diǎn)A-1,0，B4,0，C0,2，可得AB=5，AC=5，BC=25，因此證得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，S△ABC=12AC?BC=5，由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m得到BD=4-m，根據(jù)DE∥AC可得△DBE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S△DBES△ABC=DBAB2，從而求得S△DEB'=S△DEB=154-m2．分兩種情況討論：①若32【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=∵該拋物線過點(diǎn)A-1,0，B4,0∴a-b∴拋物線的解析式為y（2）過點(diǎn)E作EK∥y軸，過點(diǎn)F作FK∥x軸，兩平行線EK，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t,0由點(diǎn)A-1,0，C0,2可得直線AC∵EF∥∴設(shè)直線EF的函數(shù)解析式為y=2把點(diǎn)Dt,0代入，得∴n=-2∴直線EF的函數(shù)解析式為y=2由-1點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為xE=-1+16∵AC∥EF，∴∠EFK∵∠K∴△ACO∴ACEF∵EF=3AC，∴FK=3∴xE-x解得t=-∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為-1（3）∵A-1,0，B4,0∴AB=AC=BC∴AC∴△ABC是直角三角形，∠S∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，∴BD=4-∵DE∥∴△∴S△∴S△∵將△DEB沿DE翻折，得到△∴S△∵DE∥∴∠DEB∵將△DEB沿DE翻折，得到△∴∠DE∴∠DE∴點(diǎn)B'在射線BC①若32≤m≤4，即點(diǎn)

此時(shí)，△DEB'與△ABC重合部分為②當(dāng)-1≤m<32

設(shè)AC與DB'的交點(diǎn)為R，此時(shí)，若△DEB'∵△DBE∴BEBC∴BE=∴B'B'∵∠ACB∴∠AC∴∠∵由折疊可得∠B∴△RC∴S△∴S△∴S四邊形即△DEB'與△綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與三角形，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，掌握分類討論思想，熟練運(yùn)用各個(gè)知識是解題的關(guān)鍵．題型03二次函數(shù)對稱問題二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(xh)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=a(xh)2+ka變號，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=a(x+h)2ka、h、k均變號沿x軸翻折y=a(xh)2ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號13．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C1：y=2x2-(m+1)x+m繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2，在拋物線A．m≥5 B．m≤5 C．m≥-5【答案】D【分析】根據(jù)題意先求得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式，然后確定旋轉(zhuǎn)后的拋物線的開口方向和對稱軸，最后根據(jù)在旋轉(zhuǎn)后的拋物線上，當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而增大，可得到關(guān)于m的不等式，從而求解得m【詳解】∵由題意得旋轉(zhuǎn)后的拋物線C2的解析式為：y∴拋物線C2的開口向下，對稱軸為直線x∵在拋物線C2上，當(dāng)x<1時(shí)，y隨∴可得：-m解得：m≤-5故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)圖象的變換，確定旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東河源·統(tǒng)考一模）拋物線y=2x2-4x-5的圖象先向左平移【答案】y【分析】易得拋物線y=2x2【詳解】解：y所以原拋物線的頂點(diǎn)為(1,-7)，向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為(-2,-3)；可設(shè)新拋物線的解析式為y=2代入得：y=2把拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，可得新拋物線的解析式的二次項(xiàng)的系數(shù)為-2所以，所求的拋物線解析式為：y=-2故答案為：y=-215．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖，把原拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線x軸上方的部分記作圖形M，在圖形M中，回答：①點(diǎn)A，B之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為_______；②當(dāng)32≤x③當(dāng)m≤x≤m+2，且m【答案】(1)y=x2-(2)①y=-x-32+4；②y的取值范圍為74≤y【分析】（1）兩點(diǎn)式求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）①頂點(diǎn)式，寫出函數(shù)解析式即可；②求出最大值和最小值，即可得出y的取值范圍；③分32<m≤2，2<m≤3，【詳解】（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c∴y=∵y=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,-4．（2）①折疊后頂點(diǎn)變?yōu)椋?,4，∴點(diǎn)A，B之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-故答案為：y=-②∵32≤x拋物線開口向下，對稱軸為直線x=3∴當(dāng)x=3時(shí)，y最大值=4；當(dāng)x∴y的取值范圍為74③∵m>∴m+2>當(dāng)m+2≤2×3-m，即：m≤2

由題意，得：4--解得：m=3±當(dāng)2<m

由題意，得：4--解得：m=2+15當(dāng)m>3時(shí)，m+2>5，當(dāng)解得：m1∴當(dāng)3<m

由題意，得：-m解得：m=72當(dāng)2+3

m+2解得：m=2+31當(dāng)m>5

則：m+2解得：m=綜上：m的值為2+152或72【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG【答案】(1)y(2)1或3(3)4,8【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=∵C∴cy=把A(-4,0)，B(2,0)代入y=解得：a=∴拋物線的解析式為y（2）∵直線表達(dá)式y(tǒng)=∴直線經(jīng)過定點(diǎn)0,6，∴將過點(diǎn)0,6的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況∵把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的解析式為y=∴新圖象表達(dá)式為：-4<x<2時(shí)，y=-12x如下圖當(dāng)直線y=

聯(lián)立y=-12整理得：xΔ=041+41+1+kk=±2-1k1k2=-2-1=-3時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過點(diǎn)

不符合題意，故舍去，如下圖，當(dāng)直線y=kx+6

把A(-4,0)代入y=kx解得：k=綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的值為（3）∵F∴設(shè)F坐標(biāo)為a,∵OB=2，OC=4∴tantan∠HG:FG∴HG∴DF=aDC=DH=FH=HG=∵DF∴a21a2aaa1a2=4，代入∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為4,8【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，拋物線y=-ax2+5ax+2a>0交y

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)a=13時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線AD上方拋物線上一點(diǎn)，將直線PD沿直線AD翻折，交x軸于點(diǎn)M(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)E1a,a+1①若a=1，求正方形EFGH②當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為52時(shí)，求a【答案】(1)C0，(2)P(3)①1，6，4，6，【分析】（1）先求出C0，2，再求出拋物線對稱軸，根據(jù)題意可知C、D（2）先求出A-1，0，如圖，設(shè)DP上與點(diǎn)M關(guān)于直線AD對稱的點(diǎn)為Nm，n，由軸對稱的性質(zhì)可得AN=AM，DN=DM，利用勾股定理建立方程組m+12+n2=（3）分圖31，圖32，圖33三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）解：在y=-ax2+5∴C0∵拋物線解析式為y=-∴拋物線對稱軸為直線x=-∵過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，∴C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴D5（2）解：當(dāng)a=13當(dāng)y=0，即-13x2∴A-如圖，設(shè)DP上與點(diǎn)M關(guān)于直線AD對稱的點(diǎn)為Nm由軸對稱的性質(zhì)可得AN=∴m+1解得：3m+∴m2∴m2解得m=3或m∴n=12-3∴N3設(shè)直線DP的解析式為y=∴3k∴k=-∴直線DP的解析式為y=-聯(lián)立y=-12x∴P3

（3）解：①當(dāng)a=1時(shí)，拋物線解析式為y=-x∴EH=∴H1，6當(dāng)x=1時(shí)，y∴拋物線y=-x2∵拋物線對稱軸為直線x=由對稱性可知拋物線經(jīng)過4，∴點(diǎn)4，又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，∴拋物線也經(jīng)過點(diǎn)F5綜上所述，正方形EFGH的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為1，6，4，

②如圖31所示，當(dāng)拋物線與GH、GF分別交于T、∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為52∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為2+2.5=4.5，∴5-1∴a2解得a=-2（舍去）或a

如圖32所示，當(dāng)拋物線與GH、EF分別交于T、∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為52∴5-1解得a=0.4（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D

如圖33所示，當(dāng)拋物線與EH、EF分別交于T、∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為52∴-a∴7-1∴a2解得a=7+33當(dāng)x=52當(dāng)a=7+33∴a=

綜上所述，a=0.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．18．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)將該拋物線在y軸右側(cè)的部分記作W，將W繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到W'，W與W'組成一個(gè)新的函數(shù)圖像，記作①點(diǎn)M，N為圖像G上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到y(tǒng)軸的距離分別為2個(gè)單位長度和3個(gè)單位長度，點(diǎn)Q為圖像G上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ②若點(diǎn)(m,y1)，(m+1,【答案】(1)y=x(2)①當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3)時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍為-1≤yQ≤3；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3)時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍為0≤【分析】（1）先根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可求得a，進(jìn)而求得拋物線解析式；然后再化成頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)點(diǎn)M的位置解答即可；②分點(diǎn)在拋物線當(dāng)點(diǎn)在拋物線W和W'【詳解】（1）解：∵拋物線y=∴0=a-1，即∴拋物線的解析式為y=∵y=∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)．（2）解：①根據(jù)題意，畫出圖像G，如圖所示：∵點(diǎn)M，N為圖像G上兩點(diǎn)，且到y(tǒng)軸的距離分別為2個(gè)單位長度和3個(gè)單位長度，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3)或(-3,-3).又∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3).∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3)時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍為-當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,3)時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍為0≤②當(dāng)兩點(diǎn)均在y軸右側(cè)時(shí)，即點(diǎn)在拋物線y=∵點(diǎn)(m,y1)，∴m+12當(dāng)兩點(diǎn)均在y軸左側(cè)時(shí)，∵將W繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到W∴拋物線W'的解析式為∵點(diǎn)(m,y1)，∴-m+12綜上，出m的取值范圍m<-32【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的增減性等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．19．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2+9的圖象與x(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；(2)將該二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，其他部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象．若當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，這個(gè)新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x(3)已知直線l：y=1，點(diǎn)C在二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2+9的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2m，二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2【答案】(1)Am-(2)m≥2或(3)-6<【分析】（1）當(dāng)y=0時(shí)，-（2）畫出函數(shù)圖象，當(dāng)-4≤m≤-3時(shí)，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減??；當(dāng)m≥2時(shí)，新函數(shù)G的函數(shù)值（3）由題可知，到直線y=1的距離為2的點(diǎn)在直線y=-1和y=3上，分別求出C2m，9-m2，Bm+3，0，畫出函數(shù)圖象，分①當(dāng)C點(diǎn)在B【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=-x2+2mx-m2+9的圖象與x當(dāng)y=0時(shí)，即x解得：x∴Am-（2）解：當(dāng)x=-1解得m=2或m∵y=-∴拋物線的對稱軸為直線x=如圖1，當(dāng)-4≤m≤-3時(shí)，新函數(shù)G的函數(shù)值y

如圖2，當(dāng)m≥2時(shí)，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x

綜上所述：m≥2或-4≤m≤-3時(shí)，新函數(shù)G的函數(shù)值（3）解：由題可知，到直線y=1的距離為2的點(diǎn)在直線y=-1和當(dāng)x=2m時(shí)，∴C2如圖當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，同時(shí)C點(diǎn)在直線y=3

當(dāng)C2m，∴9-解得：m=6∴-如圖所示，當(dāng)C點(diǎn)在y=-1上或者y9-解得：m=10或

綜上所述，-6<m≤6或m≥10【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，函數(shù)y1=-ax+12+3x≤0的圖象過原點(diǎn)，將其沿y軸翻折，得到函數(shù)

(1)a的值為__________；函數(shù)y2的解析式為_______________（注明x(2)對于函數(shù)L，當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍是_____________；(3)當(dāng)直線y=x+b與函數(shù)L的圖象有3【答案】(1)3，y2(2)-1<x<0(3)b=0或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)y1=-ax+12+3x≤0的圖象過原點(diǎn)，即可求出a的值，求出函數(shù)y1的解析式，求出拋物線y1（2）根據(jù)函數(shù)圖象的增減性，即可；（3）結(jié)合圖象，b=0時(shí)，直線與函數(shù)L有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與拋物線y2=-3x-【詳解】（1）∵函數(shù)y1∴0=-a∴a=3∴y1=-3x+12∴令0=-3x整理得：x+1解得：x1=0，∴拋物線y1=-3x+12+3x∵函數(shù)y1=-3x+12∴函數(shù)y2的圖象與x軸的交點(diǎn)為：0,0，2,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：1,3∴y2把2,0代入函數(shù)y2中，得0=∴a=-3∴y2∴拋物線y2的解析式為：y（2）由函數(shù)圖象可知，y1的對稱軸為：直線x=-1；y2在y1=-3x+12+3x≤0中，當(dāng)在y2=-3x-12+3x≥0∴函數(shù)L，當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍為：-1<x<0

（3）當(dāng)b=0時(shí)，y=x∵y=x+∴當(dāng)直線y=x+b與拋物線y2=-3x∴-3∴Δ=解得：b=∴直線y=x+b與函數(shù)L的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的平移，二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．21．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）交x軸于A1，0、B3，0兩點(diǎn)，交y軸于(1)求該拋物線的解析式；(2)若m=0時(shí)，直線y=x+n(3)若直線y=x與圖像W有四個(gè)交點(diǎn)，直接寫出【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)n的值為-1或-(3)38【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求得翻折部分的解析式，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分兩種情況求解即可；（3）求得翻折部分的解析式，利用翻折部分的最低點(diǎn)在y=【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=把C0，3∴a=1∴拋物線的解析式為y=(x-（2）解：∵交x軸于A1，0∴拋物線沿y=0翻折部分的解析式為y∵直線y=x+∴y=x+即x+即x2∴Δ=9-4(∴n=-當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過A1此時(shí)，0=1+n解得n=-1綜上，n的值為-1或-（3）解：拋物線沿直線y=其開口大小不變，方向向下，對稱軸不變，C0，3關(guān)于直線y故翻折部分的解析式為y=-∵直線y=x與圖像∴x=-x2解得m>當(dāng)x=y時(shí)，有解得x=故m<即38【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖象的翻折、不等式的應(yīng)用等，其中（2）、（3），要注意分類求解，避免遺漏．題型04二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)問題22．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A-3,0，B1,0

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求△PBC(3)將線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PQ，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y(2)3(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,-3和【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）因?yàn)锽C為定值，所以當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBCPBC的周長最?。鐖D1所示，連接AC交l于點(diǎn)P（3）分點(diǎn)Q在直線l的左側(cè)和右側(cè)，構(gòu)造全等三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由題意可知：9a解得：a=1∴拋物線的解析式為：y=（2）∵y∴C∵△PBC的周長為：PB+PC∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，

如圖1所示，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸l對稱，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP∴△PBC周長的最小值是：PB∵A-3,0，B∴AC=32∴△PBC周長的最小值是：3（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在直線l左側(cè)時(shí)，

∵拋物線y=ax2+bx-∴對稱軸為直線x=∵將線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PQ，∴PQ=PC∴C與Q關(guān)于直線l∴∠PCQ∴PD∵C∴Q如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在直線l的右側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)Q作OF⊥l于F，CE⊥由旋轉(zhuǎn)知，PQ=PC，∴∠CPE∵∠CPE∴∠PPF∴△PFQ∴PF=CE設(shè)P-1,m∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2+m代入y=解得，m=-1或m=-4(舍∴Q的坐標(biāo)為1,0綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-2,-3和1,0【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形周長計(jì)算、軸對稱-最短路線等知識點(diǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解本題的關(guān)鍵．23．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=13x2+bx+c

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)E，G在y軸正半軸上，OG=2OE，點(diǎn)D在線段OC上，OD=3OE．以線段OD，OE為鄰邊作矩形①連接FC，當(dāng)△GOD與△FDC相似時(shí)，求②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，將線段GD繞點(diǎn)G按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到線段GH，連接FH，F(xiàn)G，將△GFH繞點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，點(diǎn)G，H的對應(yīng)點(diǎn)分別為G'、【答案】(1)y(2)①43或65；②23+3【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段CD的長度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得FH=OD=23，【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=13x2+bx∴解得：b∴此拋物線的解析式為y（2）①令y=0，則解得：x=3或∴C∴OC∵OE=∴OG∵四邊形ODFE為矩形，∴EF∴E∴CDⅠ．當(dāng)△GOD∴OG∴2∴aⅡ．當(dāng)△GOD∴OG∴2∴a綜上，當(dāng)△GOD與△FDC相似時(shí)，a的值為43②∵點(diǎn)D與點(diǎn)C∴OD∴OE∴EG∴∵∴四邊形GEDF為平行四邊形，∴∴∠∴∠∵∠∴∠∴∠在△GOD和△GO∴△∴∴Ⅰ、當(dāng)G'F所在直線與DE∵∠GFH=90°,∴∠∴G，F(xiàn)，H∴過點(diǎn)H'作H'K⊥y軸于點(diǎn)K∴∠∴∴此時(shí)點(diǎn)H'的橫坐標(biāo)為Ⅱ．當(dāng)G'H'∵GF∴G設(shè)GF的延長線交G'H'于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥EF，交EF的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)H'作H'N⊥∵S∴4×23∴FM∴FP∴PE∵H∴H∴此時(shí)點(diǎn)H'的橫坐標(biāo)為PEⅢ．當(dāng)FH'所在直線與DE∵∠H'FG∴∠GFH∴H，F(xiàn)，H'三點(diǎn)在一條直線上，則過點(diǎn)H'作H'L⊥DFH'∴此時(shí)點(diǎn)H'的橫坐標(biāo)為EF綜上，當(dāng)△G'FH'的邊與線段DE垂直時(shí)，點(diǎn)H'的橫坐標(biāo)為2【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵24．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖1，拋物線y1=ax2+bx+c分別交x

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)如圖2，將該拋物線繞點(diǎn)4,0旋轉(zhuǎn)180°．①求旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達(dá)式．②旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與x軸的右側(cè)交于點(diǎn)D，順次連接A，P，D，Q，求四邊形APDQ的面積．【答案】(1)y=x(2)①y=-x-【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的交點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax+1x（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,n，可知4,0為頂點(diǎn)P1,-4和Qm,n的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求旋轉(zhuǎn)后函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可求解；②根據(jù)題意求出點(diǎn)【詳解】（1）解：由題意可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax+1x∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,-4．（2）解：①設(shè)旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,∵4,0為頂點(diǎn)P1,-4和Qm,n的中點(diǎn)，即∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為7,4，∵旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀不變，開口相反，∴a=-1故旋轉(zhuǎn)后的拋物線表達(dá)式為y=-②由①得Q點(diǎn)坐標(biāo)為7,4，∵A，D點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)4,0對稱，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為9,0，∵A-1,0，P1,-4，D∴AD=9-(-1)=10，點(diǎn)Q到x軸的距離為4，點(diǎn)P到x軸的距離為4∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)，幾何圖形的特點(diǎn)等知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．25．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部?？既＃┛酌魇且粋€(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y=ax2a<0的性質(zhì)時(shí)，如圖將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)

(1)如圖1，若測得OA=OB=2(2)對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，測得OF=1，求此時(shí)點(diǎn)A(3)對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)a(2)A-4,-8，(3)不論k為何值，直線AB恒過點(diǎn)0,-2，見解析【分析】（1）設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到AC=OC=BC=2y=ax（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，先求出B1,-12，再證明ΔAEO∽（3）設(shè)A-m,-12m2m>0，Bn,-12n2n>0，設(shè)y【詳解】（1）解：設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點(diǎn)，∵OA=OB=2∴AC=∴B∵將B2,-2代入拋物線y=a解得a=-（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴B1,-∴BF=又∵∠AOB∴∠AOE∵∠AEO∴ΔAEO∴AE∴AE設(shè)點(diǎn)A-m,-12∴1∴m=4，-12m（3）解：設(shè)A-m,-設(shè)y=kx①×n+∴b由圖可得ΔAEO∴AEOF∴0.5m∴mn=4∴b=-由此可知不論k為何值，直線AB恒過點(diǎn)0,-2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)行相似三角形的相似比建立等式．題型05二次函數(shù)折疊問題26．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=34x-9與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線y=14x2+bx

(1)求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)D在線段OB上運(yùn)動(dòng)，連接CD，沿直線CD折疊△BCD得到△B'CD，當(dāng)B'(3)如圖2，連接AC，作∠COE=∠ACO，OE交△ABC的邊于點(diǎn)【答案】(1)B(12,0)，C(0,-9)，拋物線的解析式為y(2)∠BDC的度數(shù)為135°，(3)CE的長為3102【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用翻折的性質(zhì)可得：BD=B'D，S△BCD=S△B'CD；設(shè)（3）利用分類討論的思想方法分兩種情形討論解答：①當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上時(shí)，利用直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的斜邊上的中線，勾股定理解答即可；②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，利用平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：令x=0，則y∴C令y=0，則3∴x∴B∵拋物線y=14x2∴14解得：b=-∴拋物線的解析式為y=令x=0，則1∴x=-3或∴A（2）解：∵沿直線CD折疊△BCD得到△∴△BCD∴BD=B設(shè)D(m,0)∴OD∵C(0,-9)，∴OC=9，∴BD∵S△BCD=∴12解得：m=9或m∴m∴D∴OD∴OD∴∠OCD∴∠BDC的度數(shù)=180°-∠（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上時(shí)，如圖，

∵∠AOC∴∠ACO+∠CAO∵∠COE∴∠CAO∴EA∵∠COE∴EO∴AE∵A(-3,0)，∴OA=3，∴AC∴CE②當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，如圖，

∵∠COE∴OE∴△BOE∴BOBA∵OA=3，∴AB∵BC∴1215∴BE∴CE綜上，當(dāng)∠COE=∠ACO，OE交ΔABC的邊于點(diǎn)E，CE的長為【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，折疊的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．27．（2023·安徽蕪湖·?？家荒＃┮阎獟佄锞€y=ax2+2x+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A-1,0和點(diǎn)B3,0

(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，P為AD上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB交AD于點(diǎn)E．當(dāng)△ABD的面積被直線BP分成1:3的兩部分時(shí)，求點(diǎn)P(3)如圖2，若直線AD沿過點(diǎn)D的直線m折疊后恰好經(jīng)過點(diǎn)M214,0，請直接寫出直線m【答案】(1)y(2)P-3(3)y=7x-18【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）根據(jù)△ABD的面積被直線BP分成1:3的兩部分，得到AE=13DE或AE=3DE（3）求出直線DM的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)，進(jìn)而求出A,A'的中點(diǎn)坐標(biāo)，該點(diǎn)在直線m上，進(jìn)而求出直線m的解析式，聯(lián)立直線【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+2x+∴a-2+c∴y=-（2）∵y=-x2+2x∴C0,3∴OC=3∵B3,0∴OB=3=∴△OBC∵點(diǎn)O與點(diǎn)D關(guān)于線段BC對稱，∴BC是OD的垂直平分線，設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，

則OF⊥∴F為BC的中點(diǎn)，∴F3又F為OD的中點(diǎn)，∴D3,3△ABD的面積被直線BP分成1:3①S△∵S△∴AE:∴AE:∴點(diǎn)E為點(diǎn)A,D的中點(diǎn)與點(diǎn)∵A,D的中點(diǎn)坐標(biāo)為：∴E0,設(shè)BE的解析式為：y=∴b=34∴y=-聯(lián)立y=-14x+∴P-②當(dāng)S△同法可得：點(diǎn)E為點(diǎn)A,D的中點(diǎn)與點(diǎn)∴E2,設(shè)直線BE的解析式為：y=∴2k+b∴y=-聯(lián)立y=-94x+∴P5綜上：P-34（3）設(shè)直線DM的解析式為：y=則：3k1+∴y=-設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)為A'則：A'在直線DM上，DA設(shè)A'∵DA=DA∴3+12解得：t=6或t∴A'∵點(diǎn)A關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)為A'∴A,A'的中點(diǎn)5設(shè)直線m的解析式為：y=∵D3,3，點(diǎn)52,-∴3k2+∴直線m的解析式為：y=7聯(lián)立y=7x-18y∴Q109-5【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．28．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①求證：△OC