高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義第06章數(shù)列第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項和

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)等比數(shù)列的定義2016·全國卷Ⅰ·T17·12分等比數(shù)列的通項及前n項和公式邏輯推理等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式2017·全國卷Ⅱ·T17·12分求通項公式數(shù)學(xué)運算2015·全國卷Ⅱ·T9·5分通項公式數(shù)學(xué)運算命題分析本節(jié)內(nèi)容的考查以等比數(shù)列通項公式、前n項和公式及利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題為主，難度中低檔.1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列．這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.(2)前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；(3)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時{an}的公比q≠提醒：辨明三個易誤點(1)由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能為0，但q可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)．(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.(3)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)常數(shù)列一定是等比數(shù)列．()(2)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項．()(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．()(4)G為a，b的等比中項?G2＝ab.()(5)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()(6)q＞1時，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．()(7)在等比數(shù)列{an}中，若am·an＝ap·aq，則m＋n＝p＋q.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×2．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列解析：選D由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D．3．(教材習(xí)題改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝()A．31 B．32C．63 D．64解析：選C由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C．4．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，則a6＝________.解析：由題意得，a2·a4＝a1·a5＝16，所以a2＝2，所以q2＝eq\f(a4,a2)＝4，所以a6＝a4q2＝32.答案：325．(2015·全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________.解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.答案：6等比數(shù)列的基本運算[明技法]解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．(2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[提能力]【典例】(1)(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞解析：選B設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B(2)(2018·赤峰模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，則k＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝eq\f(a3,a1)＝4.又{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2.而Sk＝eq\f(1－2k,1－2)＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6.[刷好題](2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，①a1(1－q2)＝－3.②②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1，∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.答案：－8等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用[明技法]等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．[提能力]【典例】(1)(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)解析：選C方法一∵a3a5＝aeq\o\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝eq\f(a4,a1)＝eq\f(2,\f(1,4))＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，故選C．方法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3將a1＝eq\f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,2)，故選C．(2)(2018·臨沂檢測)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析：選A依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20＞0，因此，S20＝30，S20－S10＝20，S40＝70＋80＝150.[刷好題]1．(2018·廣州綜合測試)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a9A．10 B．20C．100 D．200解析：選Ca7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq\o\al(2,4)＋2a4a6＋aeq\o\al(2,6)＝(a4＋a6)2．(2018·長春調(diào)研)在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.答案：14等比數(shù)列的判斷與證明[明技法]等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定．[提能力]【典例】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．證明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an,∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2∴b1＝a2－2a1∴數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．[母題變式1]在本例的條件下，求{an}的通項公式．解：由題意知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(3,4)的等差數(shù)列．所以eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3n－1,4)，所以an＝(3n－1)·2n－2.[母題變式2]在本例中，若cn＝eq\f(an,3n－1)，證明：{cn}為等比數(shù)列．證明：由[母題變式1]知，an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2.∴eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2n－1,2n－2)＝2.又∵c1＝21－2＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{cn}是首項為eq\f(1,2)，公比為2的等比數(shù)列．[刷好題](2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\a