1812平行四邊形的判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

平行四邊形的判定不等式的基本性質(zhì)平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.注意：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個平行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).題型1：平行四邊形的判定（邊的關(guān)系）1.下列條件中，能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等 B．一組對邊平行，一組對角相等 C．一組鄰邊相等，一組對角相等 D．一組對邊平行，一組對角互補(bǔ)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、一組對邊平行，另一組對邊相等，可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、一組對邊平行，一組對角相等，可得到兩組對邊分別平行，為平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；C、由一組鄰邊相等，一組對角相等，不能判定一個四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、一組對邊平行，一組對角互補(bǔ)，可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【變式11】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四邊形的判定定理對邊對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【變式12】如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，連DE并延長DE交AB延長線于點(diǎn)F，求證：四邊形DBFC是平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，由“AAS”可證△DEC≌△FEB，可得BF＝CD，由平行四邊形的判定可證四邊形DBFC是平行四邊形．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，∴∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，∵點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE，且∠DCB＝∠CBF，∠CDF＝∠DFB，∴△DEC≌△FEB（AAS）∴BF＝CD，且AB∥CD∴四邊形DBFC是平行四邊形題型2：平行四邊形的判定（角的關(guān)系）2.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以∠A和∠C是對角，∠B和∠D是對角，對角的份數(shù)應(yīng)相等．只有選項(xiàng)D符合．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件．故選：D．【變式21】求證：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．【分析】根據(jù)已知和四邊形的內(nèi)角和定理求出∠A+∠B＝180°，推出AD∥BC，同理求出AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．【解答】已知：四邊形ABCD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形，證明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴2∠A+2∠B＝360°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式22】如圖，在四邊形ABCD中，AH、CG、BE、FD分別是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分線，且BE∥FD，AH∥CG，證明四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】由BE∥FD，AH∥CG，在四邊形ABCD中，AH、CG、BE、FD分別是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分線，易得∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，則可證得AB∥CD，同理可得AD∥BC，則可證得四邊形ABCD為平行四邊形．【解答】證明：∵BE∥FD，AH∥CG，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠4+∠6＝∠1+∠3，∵在四邊形ABCD中，AH、CG、BE、FD分別是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠BCD，∠4＝∠BAD，∠6＝∠ADC，∴∠ABC+∠BCD＝∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，同理：AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．題型3：平行四邊形的判定（對角線關(guān)系）3.如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形這一判定定理即可確定答案為D．【解答】解：∵AC，BD是四邊形ABCD的對角線，AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．【變式31】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，則下列說法：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，則四邊形ABCD的面積為24．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證平行四邊形ABCD是菱形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；∵AD＝DC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正確，∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面積＝AC×BD＝×6×8＝24，故⑤正確；正確的個數(shù)有5個，故選：D．【變式32】如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．【分析】由條件AB∥CD，AD∥BC可證到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝OC，OB＝OD，要證四邊形AFCE是平行四邊形，只需證OE＝OF即可．【解答】證明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．題型4：平行四邊形的判定與坐標(biāo)4.在平面直角坐標(biāo)系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各點(diǎn)中，不能作為頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，可以解決問題．【解答】解：若以AB為對角線，則BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，4）若以BC為對角線，則BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，﹣4）若以AC為對角線，B，D關(guān)于y軸對稱，∴D（1，0）故選：C．【變式41】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是（）A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）【分析】畫出圖形即可解決問題，滿足條件的點(diǎn)D有三個．【解答】解：如圖所示：觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)D有三個，坐標(biāo)分別為（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是（﹣3，2），故選：D．【變式42】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，4）、（﹣5，2），點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，如果以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”即可得出答案．【解答】解：如圖所示：當(dāng)AB平行且等于N1M1時，四邊形ABM1N1是平行四邊形；當(dāng)AB平行且等于N2M2時，四邊形ABN2M2是平行四邊形；當(dāng)AB為對角線時，四邊形AN3BM3是平行四邊形．故符合題意的有3個點(diǎn)．故選：C．【變式43】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面內(nèi)求一點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】畫出圖形即可解決問題，注意有三種情形．【解答】解：如圖由圖象可知，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣3，4）或（7，﹣2）．題型5：二次證明平行四邊形5.如圖，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）試判斷：四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)平行線得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等得出AC＝DF，推出AC∥DF，得出平行四邊形ACFD，推出AD∥CF，MAD＝CF，推出AD＝CE，AD∥CE，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝EC＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．（2）四邊形AECD的形狀是平行四邊形，證明：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∵∠ACB＝∠F，∴AC∥DF，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD＝CF，∵EC＝CF，∴AD∥EC，AD＝CE，∴四邊形AECD是平行四邊形．【變式51】已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分線AE、CF分別與對角線BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】由在?ABCD中，可證得AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分線AE、CF分別與對角線BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可證得∠BAE＝∠DCF，繼而可證得△ABE≌△CDF（ASA），則可證得AE＝CF，AE∥CF，判定四邊形AECF是平行四邊形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAD和∠BCD的平分線AE、CF分別與對角線BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式52】如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)為BD上的點(diǎn)，BF＝DE，那么四邊形AECF是什么圖形？試用兩種方法證明．【分析】可證明△ABE≌△DCF，△ADF≌△CBE，可得到AE＝FC，AF＝EC；也可以連接AC交BD于點(diǎn)O，可證明OE＝OF，OA＝OC；都可證明四邊形AECF為平行四邊形．【解答】解：四邊AECF為平行四邊形．證法一：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，同理可得AF＝CE，∴四邊形AECF為平行四邊形；證法二：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵BF＝DF，∴BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形．題型6：平行四邊形的判定與動點(diǎn)問題6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為2cm/s（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時，四邊形PCDA是平行四邊形？并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△ODP是等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】由四邊形OABC是平行四邊形，得到OA＝BC，OA∥BC，于是得到OA＝10，OE＝AF＝2，得到OD＝AD＝OA＝5，（1）根據(jù)四邊形PCDA是平行四邊形，得到PC＝AD，即10﹣2t＝5，解方程即可得到結(jié)論；（2）如圖2，分三種情況①當(dāng)PD＝OD＝5時，過P作PE⊥OA于E，則PE＝4，得到DE＝3，求出P1（8，4），點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，PD＝OD＝5，②當(dāng)PD＝OP時，過P作PF⊥OA于F，則PF＝4，OF＝，得到P3（，4）；③當(dāng)PO＝OD＝5時，過P作PG⊥OA于G，則PG＝4，得到P2（3.4）．【解答】解：如圖1，過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4），∴OA＝10，OE＝AF＝2，∴BC＝10，∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，∴OD＝AD＝OA＝5，（1）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動t秒時，四邊形PCDA是平行四邊形，由題意得：PC＝10﹣2t，∵四邊形PCDA是平行四邊形，∴PC＝AD，即10﹣2t＝5，∴t＝，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動秒時，四邊形PCDA是平行四邊形；∴P（7，4）；（2）如圖2，①當(dāng)PD＝OD＝5時，過P作PE⊥OA于E，則PE＝4，∴DE＝3，∴P1（8，4），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，PD＝OD＝5；②當(dāng)PD＝OP時，過P作PF⊥OA于F，則PF＝4，OF＝，∴P3（，4）；③當(dāng)PO＝OD＝5時，過P作PG⊥OA于G，則PG＝4，∴OG＝3，∴P2（3.4），綜上所述：當(dāng)△ODP是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4），（，4），（3.4），（2，4）．【變式61】如圖，在?ABCD中，AB＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)運(yùn)動到端點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，經(jīng)過多長時間后，四邊形APQD是平行四邊形？【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC，AB＝DC＝6cm，進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC＝6cm，當(dāng)DQ＝AP時，QDAP，則四邊形APQD是平行四邊形，故設(shè)x秒時，QD＝AP，則x＝6﹣2x，解得：x＝2．即2秒時，四邊形APQD是平行四邊形．【變式62】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿CA向終點(diǎn)A移動，過P作PE∥BC交BF于點(diǎn)E，設(shè)動點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．（1）請用含t的代數(shù)式表示AP的長；（2）當(dāng)t為何值時，四邊形BPAE為平行四邊形，并說明理由；（3）求出四邊形BPAE的面積．【分析】（1）利用已知結(jié)合AP＝AC﹣PC，進(jìn)而得出答案；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出AP＝BE，進(jìn)而求出即可；（3）利用梯形的面積求法得出四邊形BPAE的面積＝（AP+BE）×BG進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）由題意可得：CP＝2t，AC＝13cm，則AP＝13﹣2t；（2）當(dāng)BE＝AP時，四邊形BPAE是平行四邊形，∵PE∥BC，BF∥AC，∴四邊形EBCP是平行四邊形，∴EB＝PC，即2t＝13﹣2t，解得：t＝，故t＝秒時，四邊形BPAE為平行四邊形；（3）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)G，∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，∴AD＝12cm，則AD×BC＝AC×BG，即12×10＝13×BG，解得：BG＝，∵BE＝2t，AP＝13﹣2t，∴AP+BE＝13，∴四邊形BPAE的面積＝（AP+BE）×BG＝×＝60（cm2）．題型7：平行四邊形的判定簡單綜合7.如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，當(dāng)BE⊥EF時，BE＝8，BF＝10，求BD的長．【分析】（1）連接BD交AC于O．只要證明OE＝OF，OB＝OD即可．（2）在Rt△BEF中，EF＝＝＝6，推出OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝＝，由此即可解決問題．【解答】（1）證明：連接BD交AC于O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵BE⊥AC，∴∠BEF＝90°，在Rt△BEF中，EF＝＝＝6，∴OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2．【變式71】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O點(diǎn)，DE⊥AC于E點(diǎn)，BF⊥AC于F．（1）求證：四邊形DEBF為平行四邊形；（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和三角形面積公式解答即可．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC于E點(diǎn)，BF⊥AC于F，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA與△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴DE＝BF，∵∠DEA＝∠BFC＝90°，∴∠DEO＝∠BFO＝90°，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，∵DE⊥AC，在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，解得：AE＝5，∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，∴△DOE的面積＝．【變式72】如圖，四邊形ABCD中，EF過對角線交點(diǎn)，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝OF，證明四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】延長OB至G，使BG＝BE；延長OD至H，使DH＝DF；由等腰三角形的性質(zhì)得出∠1＝∠G，∠H＝∠2，證出OG＝OH，由SAS證明△GOE≌△HOF，得出∠G＝∠H，證出∠3＝∠4，證出AB∥CD，由AAS證明△BOE≌△DOF，得出BE＝DF，同理：AE＝CF，得出AB＝CD，即可得出結(jié)論．【解答】證明：延長OB至G，使BG＝BE；延長OD至H，使DH＝DF；如圖所示：則∠1＝∠G，∠H＝∠2，∴∠3＝2∠G，∠4＝2∠H，∵OG＝OB+BG，OH＝OD+DH，OB+BE＝OD+DF，∴OG＝OH，在△GOE和△HOF中，，∴△GOE≌△HOF（SAS），∴∠G＝∠H，∴∠3＝∠4，∴AB∥CD，∴∠5＝∠6，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE＝DF，同理：AE＝CF，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【變式73】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長線上的一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長．【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，BC＝2DE，再證DE＝BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四邊形DEFB是平行四邊形，∴BD＝EF，∵D是AC的中點(diǎn)，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝＝10（cm），∴平行四邊形DEFB的周長＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.題型8：三角形的中位線（一條）8.如圖，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位線，則DE的長度是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC＝×10＝5，故選：D．【變式81】如圖，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，則EF的長為1.5．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，在Rt△AFB中，D是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝3.5，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案為：1.5【變式82】如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直AE，垂足為點(diǎn)N，∠ACB的平分線垂直AD，垂足為點(diǎn)M，連接MN．若BC＝7，MN＝，則△ABC的周長為（）A．17 B．18 C．19 D．20【分析】利用ASA定理證明△BNA≌△BNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故選：A．【變式83】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)F．（1）求證：DE是△BCF的中位線．（2）試連接BD，AF，判斷四邊形ABDF的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)即可證明DE是△BCF的中位線；（2）因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶吰叫星蚁嗟?，所以AB∥CD，AB＝CD；又因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，易得△ABE≌△DFE，所以AB＝DF，所以四邊形ABDF為平行四邊形．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE∥BC，∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴DF＝CD，∴DE是△BCF的中位線；（2）四邊形ABDF為平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠BFD，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵∠AEB＝∠DEF，∴△ABE≌△DFE，∴AB＝DF，∵AB∥DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形題型9：三角形的中位線（多條）9.如圖，△ABC中，三條中位線圍成的△DEF的周長是15cm，則△ABC的周長是30cm．【分析】根據(jù)三角形的周長公式、三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周長是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分別是△ABC的中位線，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周長＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案為：30．【變式91】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，若∠MPN＝130°，則∠NMP的度數(shù)為25°．【分析】根據(jù)中位線定理和已知，易證明△PMN是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠PMN的度數(shù)．【解答】解：在四邊形ABCD中，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故答案為：25°．【變式92】如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分別是AB、AC、BD的中點(diǎn)，若BC＝6，則△PMN的周長是9．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PM∥BC，PM＝BC＝3，PN∥AD，PN＝AD＝3，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：∵P、M分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴PM∥BC，PM＝BC＝3，∴∠APM＝∠CBA＝70°，同理可得：PN∥AD，PN＝AD＝3，∴∠BPN＝∠DAB＝50°，∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN為等邊三角形，∴△PMN的周長為9，故答案為：9．【變式93】如圖，△ABC的周長為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，…如此下去，則△AnBn?n的周長為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)【分析】根據(jù)三角形中位線定理得