（基本立體圖形）（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前必刷題 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下學(xué)期期末考試考前必刷題07

（基本立體圖形）

試卷滿分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，觀察可得答案.

【詳解】

A項(xiàng)中的幾何體是棱柱.

B項(xiàng)中的幾何體是棱錐；

D項(xiàng)中的兒何體的棱AA,BB',CC,DD，沒(méi)有交于一點(diǎn)，則D項(xiàng)中的幾何體不是棱臺(tái)；

C項(xiàng)中的幾何體是由一個(gè)棱錐被一個(gè)平行于底面的平面截去一個(gè)棱錐剩余的部分，符合棱臺(tái)

的定義，是棱臺(tái).

故選：c

2.（2021?湖南長(zhǎng)沙市?雅禮中學(xué)高一月考）如圖，已知等腰三角形△O'AB',OA=AB'

是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊O'B'=2,則這個(gè)平面圖形的面積是（）

A.----B.1C.D.2V2

2

【答案】D

【分析】

利用斜二測(cè)畫(huà)法，由直觀圖作出原圖三角形，再利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤鱋'A'8'是等腰直角三角形，O'B'=2,所以O(shè)‘A=A'9=&，

所以原平面圖形為：

且0B=0R=2，OAVOB.0A=20'A'=2^2

所以原平面圖形的面枳是，x2x2夜=2血，

2

故選：D

3.（2020?陜西西安市第三中學(xué)高一月考）如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的

軸截面對(duì)應(yīng)的等腰三角形的底角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】

由圓錐側(cè)面展開(kāi)所得扇形的弧長(zhǎng)與底面周長(zhǎng)相等可得圓錐母線與底面半徑的數(shù)量關(guān)系，即可

求軸截面底角的大小.

【詳解】

若圓錐如下圖所示，則側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑R=R4=EB，底面半徑r=Q4=O5,

由題意知：,、2萬(wàn)7?=2萬(wàn)r，即R=2r，

2

13軸截面對(duì)應(yīng)等腰三角形的底角cosNPBA=-=-=

PBR2

回NW=60°,

故選：c

4.（2020?四川省廣元市八二一中學(xué)高一月考）某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行"數(shù)學(xué)建?！鄙鐣?huì)實(shí)踐調(diào)查.他

們?cè)谡{(diào)查過(guò)程中將一實(shí)際問(wèn)題建立起數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)展示如下：四個(gè)形狀不同、內(nèi)空高度相

等、杯口半徑相等的圓口容器，如圖所示.盛滿液體后倒出一半，設(shè)剩余液體的高度從左到

右依次為4,h，h3,4.則它們的大小關(guān)系正確的是（）

【答案】A

【分析】

可根據(jù)幾何體的圖形特征，結(jié)合題目，選擇答案.

【詳解】

觀察圖形可知體積減少一半后剩余就的高度最高為力2，最低為兒.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?山東德州市?高一期末）一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是6,高為布，則它的斜高是

（）

A.2百B.3瓜C.3&D.3

【答案】D

【分析】

畫(huà)出正三棱錐A—58的圖像，得到底面正三角形的中心。到正三角形的8的距離，再

利用勾股定理求斜高即可.

【詳解】

正三棱錐A—BCD的底面邊長(zhǎng)3C=8=03=6,

局AO=V6<

所以底面正三角形的中心。到正三角形的8的距離為?！?也x6x1=石，

23

故正三棱錐的斜高AH=yjAO2+OH2=76+3=3：

故選：D.

6.（2020?全國(guó)高一單元測(cè)試）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)棱最長(zhǎng)的是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2B.75C.76D.20

【答案】C

【分析】

畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)即可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，

取A3的中點(diǎn)。，則OCLAB,

易知AB=OC=2,PC=1,

又PCJJ正面ABC,

所以PC_L3C,

從而最長(zhǎng)棱為24和P3，

所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為：V22+l2+l2=76.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的幾何量，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.關(guān)鍵

在于根據(jù)三視圖還原出幾何體的形狀，畫(huà)出直觀圖，并分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

7.（2020?南陽(yáng)市第四中學(xué)高一月考）給出下列四個(gè)命題：

①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；

②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；

③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐；

④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

利用底面為菱形的直四棱柱可判斷①的正誤；利用底面為等腰梯形的直四棱柱可判斷②的

正誤；利用正六棱錐的幾何特征可判斷③的正誤；取長(zhǎng)、寬、高都不相等的長(zhǎng)方體可判斷

④的正誤.

【詳解】

對(duì)于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱滿足條件，但它不是正棱柱，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，底面為等腰梯形的直四棱柱的對(duì)角面全等，但它不是長(zhǎng)方體，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，如下圖所示：

在正六棱錐P-ABCDEF中，六邊形ABCDEF為正六邊形，

設(shè)O為正六邊形的中心，則P。，平面ABCDEF,

OAu平面ABCDEF,則PO_L04,

由正六邊形的兒何性質(zhì)可知，△。鉆為等邊三角形，則=

PA=A/PO2+OA2>OA-③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，在長(zhǎng)方體ABC?！?片a。中，若AB、A。、A%的長(zhǎng)兩兩不相等,

則長(zhǎng)方體—不是正四棱柱，④錯(cuò)誤.

故選：A.

8.（2020?武漢市鋼城第四中學(xué)高一月考）小螞蟻的家住在長(zhǎng)方體ABC。-A4G2的A處,

小螞蟻的奶奶家住在C處，三條棱長(zhǎng)分別是朋=2,AB=3,AD=4,小螞蟻從A點(diǎn)出

發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離是（）

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意知螞蟻所走的路線有三種情況，利用勾股定理能求出小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方

體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離.

【詳解】

解：根據(jù)題意知:

螞蟻所走的路線有三種情況，如下圖所示①②③,

由勾股定理得：

圖①中，AC；=532+6、=375,

圖②中，22=相，

ACX=V7+2

圖③中，4G="2+5?=屈.

故小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離是標(biāo).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查最短距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、

函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2020?山東棗莊市?滕州市第一中學(xué)新校高一月考）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長(zhǎng)為2,

底面半徑為6，A,3為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

A.圓錐的高為1B.三角形PA6為等邊三角形

C.三角形EW面積的最大值為D.直線Q4與圓錐底面所成角的大小為B

【答案】AD

【分析】

根據(jù)圓錐的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】

由題意圓錐的高為〃=J/2_R2=方_#）2=1,A正確；

△P48中是母線長(zhǎng)，A3是底面圓的一條弦，與R4不一定相等，B錯(cuò)；

當(dāng)△PA3是軸截面時(shí)，cosNPAB=昱,NR43=30°,則NAPB=120。，當(dāng)A8在底

2

面圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1/VI2sinZAPB=2sinZAPB<2,當(dāng)且僅當(dāng)N~B=9O°時(shí)取等

號(hào).即aP鉆面積最大值為2.C錯(cuò)；

設(shè)底面圓圓心為。，則NP4O為抬與底面所成的角，易知

cosNPAO=&ZPAO=--D正確.

26

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的性質(zhì)，圓錐的軸截面是等腰三角形，腰即為圓錐的母線，底為底面直徑，軸

截面的高即為圓錐的高.

10.（2020?江蘇泰州市?興化一中高一期中）下列命題中正確的有

A.空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形

C.分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上

D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)

【答案】BC

【分析】

利用平面的定義，棱柱的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該三點(diǎn)不在同一直線上，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，山棱柱的定義可知，其側(cè)面一定是平行四邊形，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，可用反證法證明，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該直線不經(jīng)過(guò)給定兩邊的交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論的應(yīng)用，考查棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體A3CD-A4GA的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,

則（）

A.長(zhǎng)方體的表面積為20

B.長(zhǎng)方體的體積為6

C.沿長(zhǎng)方體的表面從A到G的最短距離為3亞

D.沿長(zhǎng)方體的表面從A到G的最短距離為26

【答案】BC

【分析】

由題意，可利用柱體體積公式和多面體表面積公式進(jìn)行計(jì)算，沿表面最短距離可將臨近兩個(gè)

面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖去計(jì)算，即可求解正確答案.

【詳解】

長(zhǎng)方體的表面積為2x（3x2+3xl+2xl）=22,A錯(cuò)誤.長(zhǎng)方體的體積為3x2xl=6,8正

確.如圖（1）所示，長(zhǎng)方體ABC?！?，AB=3,BC=2,84=1.求表面上最

短（長(zhǎng)）距離可把幾何體展開(kāi)成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面AB4A和側(cè)面BCG與

展開(kāi),

則有AC,=V52+l2=V26，即經(jīng)過(guò)側(cè)面4B4A和側(cè)面BCG4時(shí)的最短距離是J幅；

如圖（3）所示，將側(cè)面ABBA和底面4月GA展開(kāi)，則有AR=53?+32=30，即經(jīng)

過(guò)側(cè)面435A和底面A4GA時(shí)的最短距離是3亞；如圖（4）所示，將側(cè)面AORA和

底面ABiGA展開(kāi),

則有AG=V42+22=2A/5.即經(jīng)過(guò)側(cè)面AOD4和底面4與GA時(shí)的最短距離是2右.

因?yàn)?五＜2右＜J記，所以沿長(zhǎng)方體表面由八到a的最短距離是3近，C正確，。不正

確.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查長(zhǎng)方體體積公式、表面積公式和沿表面的最短距離，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)

題.

12.（2020?瓦房店市高級(jí)中學(xué)高一期末）如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器

A8CO-A4G2內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊A8于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜

度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的命題有（）

A.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFG”所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，4G始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，為定值

【答案】AD

【分析】

想象容器傾斜過(guò)程中，水面形狀（注意始終在桌面上），可得結(jié)論.

【詳解】

由于AB始終在桌面匕因此傾斜過(guò)程中，沒(méi)有水的部分，是以左右兩側(cè)的面為底面的棱柱，

A正確；

圖（2）中水面面積比（1）中水面面積大，B錯(cuò)；

圖（3）中AG與水面就不平行，C錯(cuò)；

圖（3）中，水體積不變，因此△AE”面積不變，從而AE-A/7為定值，D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查棱柱的概念，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2020?浙江高一期末）如果用半徑為R=20的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這

個(gè)圓錐筒的高是.

【答案】3

【分析】

先求半圓的弧長(zhǎng)，就是圓錐的底面周長(zhǎng)，求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的

高.

【詳解】

半徑為R=2抬的半圓弧長(zhǎng)為2岳，

圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為26萬(wàn),

圓錐的底面半徑為：V3所以圓錐的高：,（2可_（可=3,

故答案為：3.

14.（2020?河南）若正三棱錐A-3QD的側(cè)棱長(zhǎng)為8,底面邊長(zhǎng)為4,E,尸分別為AC,

上的動(dòng)點(diǎn)（如圖），則截面△BEE的周長(zhǎng)最小值為.

【答案】11

【分析】

將正三棱錐A-BCD的側(cè)面沿A8剪開(kāi)，然后展開(kāi)39即為所求，然后利用相似，分別求得

BE,EF,EB唧可.

【詳解】

正三棱錐BCD的側(cè)面展開(kāi)圖如圖，

由平面幾何知識(shí)可得BB'HCD,

所以NBEC=ZECD=ZACB，

所以8E=BC=4,ABCES^ABC，

所以空二空即工4

BCAB48

所以CE=2,

所以AE=6,

pEFAE3

CD~AC~1

解得￡F=3.

所以截面4BEF的周長(zhǎng)最小值為：BB'=BE+EF+EB'=4+3+4=11.

故答案為：11

15.（2020?浙江杭州市?高一期末）正方體ABC。-44G9中，棱長(zhǎng)為2,E是線段CR上

的動(dòng)點(diǎn)，貝！J|AE|+1OE|的最小值是

【答案】V6+V2

【分析】

在正方體中，由圖形可知|AE|N|AP|,|DE以DPI,且當(dāng)E,尸重合時(shí),等號(hào)同時(shí)成立，即

可求解.

【詳解】

如圖，

取CR的中點(diǎn)為P,

連接AP，DP

則由AC=ADt,DC=DD［知,

AP1CD],DPLCD、,

所以|AE閆AP|,|O七以。P|,

所以|AE|+|OE閆API+IDPI,

在正方體中，棱長(zhǎng)為2,

所以AP=xx2=,DP=xx2=sp2

故當(dāng)E在線段C0上運(yùn)動(dòng)，E與尸重合時(shí)，|4臼+|。￡|有最小值6+逝

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圖象可知，當(dāng)E在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),垂線段最短，可得|4E閆AP|,

同理，當(dāng)E在線段CR上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|￡>￡以。尸|,且當(dāng)E與尸重合時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.

16.（2020?浙江杭州市?高一期末）如圖，圓錐的底面直徑AB=2,母線長(zhǎng)3=3,點(diǎn)C在

母線VB上，且VC=1,有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C,則這只螞蟻爬行的最

短距離是.

【答案】"

【分析】

螞蟻爬行距離最短，即將圓錐側(cè)面展開(kāi)后A到C的直線距離，根據(jù)已知條件、余弦定理可

求出最短距離.

【詳解】

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半徑為3的扇形，弧A5氏為1x2〃=〃，

2

B

TTIT

0ZAVB=-,則NAVC=2,

33

由余弦定理可知4。2=1<42+依2-2必?依-05/41/。=9+1-2'3'1'‘=7,

2

AC=用.

故答案為：幣.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(2020?全國(guó)高一單元測(cè)試)畫(huà)出圖中水平放置的四邊形ABCO的直觀圖.

【答案】圖見(jiàn)解析.

【分析】

在四邊形ABCD中，過(guò)A作出x軸的垂直確定坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀圖.

【詳解】

由斜二測(cè)畫(huà)法：縱向減半，橫向不變；即可知A、C在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'(3,l),C'(0,L),而心。對(duì)

2

應(yīng)點(diǎn)B',D'位置不變，如下圖示:

y

2

18.(2020?福建漳州市?高一期末)已知球。的半徑為5.

(1)求球。的表面積；

(2)若球。有兩個(gè)半徑分別為3和4的平行截面，求這兩個(gè)截面之間的距離.

【答案】(1)100%;(2)1或7.

【分析】

(1)利用球的表面積公式計(jì)算即可；

(2)先求球心到兩個(gè)截面的距離，再計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)榍?。的半徑為R=5,所以球。的表面積為5=4萬(wàn)穴2=100萬(wàn).

(2)設(shè)兩個(gè)半徑分別為彳=3和2=4的平行截面的圓心分別為。?和。2，

所以10al=152—32=加=4,

所以|OQ|=JFM=?=3，

所以|QQ|=|。0+|。。2|=3+4=7,

或四。2卜|。。卜|。。2|=4-3=1,

所以兩個(gè)截面之間的距離為1或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了球的表面積和截面問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2020?河北滄州市一中高一月考)如圖所示，在正三棱柱ABC-4AG中，AB=3,

4A=4,"為A4的中點(diǎn)，尸是8C上的一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CG到M的最

短路線為月.設(shè)這條最短路線與CG的交點(diǎn)為N,求：

（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線的長(zhǎng)；

（2）PC和NC的長(zhǎng).

【答案】（1）797;（2）PC的長(zhǎng)為2,NC的長(zhǎng)為

【分析】

（1）由展開(kāi)圖為矩形，用勾股定理求出對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）在側(cè)面展開(kāi)圖中三角形M4P是直角三角形，可以求出線段AP的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以求

PC的長(zhǎng)度，再由相似比可以求出CN的長(zhǎng)度.

【詳解】

（1）由題意，該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是寬為4,長(zhǎng)為3x3=9的矩形，

所以對(duì)角線的長(zhǎng)為"+92=質(zhì)；

（2）將該三棱柱的側(cè)面沿棱8片展開(kāi)，如圖所示.

設(shè)PC的長(zhǎng)為x，則MP-=MA2+(AC+x)2.

因?yàn)?聞，M4=2，AC=3,

所以x=2（負(fù)值舍去），即尸C的長(zhǎng)為2.

又因?yàn)镹C7/AM,

一，PCNC2NC

所以——=----即nn—----,

PAAM52

4

所以NC=—.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查求側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)，以及三棱柱中的線段長(zhǎng)，熟記三棱柱的結(jié)構(gòu)特征即可,

屬于?？碱}型.

20.（2020?湖北武漢市?華中師大一附中高一月考）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2,母線長(zhǎng)

為4.

（1）求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角；

（2）若圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為由的圓柱.求圓柱的表面積.

【答案】⑴萬(wàn)⑵（2+26）乃

【分析】

（1）由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的定義計(jì)算；

（2）由圓錐截面性質(zhì)，在軸截面中得到相似三角形，由比例性質(zhì)可得圓柱的底面半徑后可

得圓柱表面積.

【詳解】

27尸4乃

（1）a—-----=——=兀

I4

（2）如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為人表面積為S,

則R=CC=2,4C=4,AO=j42-22=2#）

易知

,AEEBV3r,

??=，—尸r=1

AOOC2732

S底=2兀戶—2肛S側(cè)=271r—25/^r

S=S底+S側(cè)=2萬(wàn)+2也乃=（2+26）乃

A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，考查圓柱表面積，考查圓錐的內(nèi)接圓柱性質(zhì).解題關(guān)

鍵是掌握?qǐng)A錐平行于底面的截面的性質(zhì).

21.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-4BG中，E,尸分別是A4，4G

的中點(diǎn)，連接BE,￡F,FT,試判斷幾何體AEF-ABC是什么幾何體，并指出它的底面

與側(cè)面.

【答案】幾何體AEr—ABC是三