外角問(wèn)題解題技巧

外角問(wèn)題解題技巧外角問(wèn)題解題技巧在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到很多幾何問(wèn)題，其中一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題就是外角問(wèn)題。本文將會(huì)介紹外角問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)和解題技巧，以幫助大家更好地理解和解決這一問(wèn)題。一、外角的定義在一個(gè)三角形中，如果選取一個(gè)內(nèi)角不為直角的角，那么這個(gè)內(nèi)角所對(duì)的外角就稱為該三角形的外角。如下圖所示，∠ABC為三角形ABC的內(nèi)角，則∠CBD是三角形ABC的外角。二、外角和內(nèi)角的關(guān)系在一個(gè)三角形中，外角和內(nèi)角有很重要的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以由下面的定理描述：定理1：一個(gè)外角等于其所對(duì)的內(nèi)角與另外一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和。換句話說(shuō)，如果在一個(gè)三角形中，我們選取了一個(gè)內(nèi)角所對(duì)的外角（如上圖中的∠CBD），那么這個(gè)外角的大小就等于，該內(nèi)角所對(duì)的內(nèi)角（如上圖中的∠ABC）和不相鄰的另一個(gè)內(nèi)角（如上圖中的∠BCA）大小的和。也就是說(shuō)，∠CBD=∠ABC+∠BCA這個(gè)定理可以幫助我們來(lái)解決外角問(wèn)題。三、外角問(wèn)題的解題技巧外角問(wèn)題往往需要我們利用外角和內(nèi)角的關(guān)系來(lái)求解。下面是一些解決外角問(wèn)題的技巧：技巧1：求外角大小如果我們知道了一個(gè)內(nèi)角所對(duì)的外角，那么根據(jù)定理1，我們就可以求出該外角大小了。例如，在上圖中，如果我們已知∠ABC和∠BCA的大小，那么可以通過(guò)定理1求出∠CBD的大小。技巧2：利用外角相等的性質(zhì)如果一個(gè)幾何圖形中有多個(gè)三角形，并且它們共享一個(gè)頂點(diǎn)，那么這些三角形的外角一定是相等的。例如，如下圖所示：在圖中，三角形ABC和三角形ABD都有一個(gè)頂點(diǎn)A，并且它們的一個(gè)內(nèi)角所對(duì)的外角都是∠BAE，那么根據(jù)外角相等的性質(zhì)，∠BAE就是它們的共同外角。同理，三角形BDC和三角形CBD的共同外角是∠DCE。利用這個(gè)性質(zhì)，我們可以解決一些外角問(wèn)題。例如，在上圖中，如果已知∠CAB和∠CBD的大小，那么我們可以用外角相等的性質(zhì)來(lái)求解∠EBC的大小。技巧3：利用外角和內(nèi)角之和為180°的性質(zhì)在任何一個(gè)多邊形中，外角和內(nèi)角之和總是等于180°，也就是說(shuō)，如果一個(gè)多邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，那么它的外角和為180n度。這個(gè)性質(zhì)在解決外角問(wèn)題時(shí)也有幫助。例如，如下圖所示：在圖中，三角形ABC的外角是∠CBD，三角形ADE的外角是∠DEF，如果我們已知∠ABC和∠ADE的大小，那么根據(jù)外角和內(nèi)角之和為180°的性質(zhì)，∠BCD的大小就可以求出了。技巧4：結(jié)合角度合并如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角少于或等于180°，那么我們可以通過(guò)角度合并來(lái)求解它的外角。所謂角度合并，就是將一個(gè)內(nèi)角分成兩個(gè)或多個(gè)更小的角度，這些角度的和等于原來(lái)的角度。例如，如下圖所示：在圖中，三角形ABC的內(nèi)角∠ABC是60°，我們可以將它分成兩個(gè)角度，分別為∠ABD和∠CBD，使得∠ABD+∠CBD=60°。那么，根據(jù)定理1，三角形ABC的外角∠CBD就等于∠ABD和∠BAC的和。技巧5：利用勾股定理在有些外角問(wèn)題中，我們需要利用勾股定理來(lái)求解一些長(zhǎng)度或角度。例如，如下圖所示：在圖中，ABCD是一個(gè)正方形，BC=BD，如果我們已知∠DAB的大小，那么我們可以利用勾股定理來(lái)求解AD的長(zhǎng)度（因?yàn)镃D=BC=BD，所以可以推出三角形BCD是等腰直角三角形）。然后，再根據(jù)角度和的性質(zhì)，可以得到∠ABC的大小，進(jìn)而求解三角形ABC的外角∠BAC。四、外角問(wèn)題的應(yīng)用舉例1.如下圖所示，DE=DC，EF=FB，若∠A=30°，求∠BDC的度數(shù)。解法：因?yàn)镈E=DC，EF=FB，所以三角形DEC和三角形FEB是等腰三角形，∠EDC=∠DCE，∠BFE=∠BEF。以及∠A=30°，所以可以得到：∠BCD+∠BDC=∠BDC+∠EDC+∠BEF+∠CFE=360°-∠ABC-∠FBC=360°-∠A-B=300°又因?yàn)椤螮DC=∠DCE，所以∠BDC=(180°-∠BCD)/2=(180°-300°)/2=-60°。所以∠BDC的度數(shù)是60°。2.在如下圖所示的三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，且有：BD=DE，CF=FA，AE=EB。如果∠BAC的大小是120°，求∠FEC的大小。解法：連EF、BD相交于點(diǎn)G。因?yàn)椤螧AC=120°，所以∠EAF=60°，又因?yàn)锳E=EB，所以∠EAB=∠EBA=60°，所以三角形AEB是等邊三角形。以及DE=BD，BF=FA，所以三角形BDF和三角形CFA是等腰三角形，因此∠BDF=∠DBF，∠CAF=∠CFA。因?yàn)椤螩AF=∠EAB=60°，所以三角形EAF是等腰三角形，所以∠AEF=∠AFE。同理，可以得到∠BDE=∠BED。因?yàn)椤螧DF=∠DBF，所以三角形BDF是等腰三角形，所以∠BFD=∠BDF。我們已知上述的角度，所以可以通過(guò)推理得到：∠FEC=∠FEG+∠GEC=∠BED+∠BFD+∠CAF=∠CBD+∠BCF+∠DBF=∠BAC=120°所以∠FEC的大小是120°。結(jié)語(yǔ)外角問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中是一個(gè)比較經(jīng)典和常見(jiàn)的問(wèn)題，也