2024屆山東省無棣二中高三數(shù)學試題第二次統(tǒng)測試卷

2024屆山東省無棣二中高三數(shù)學試題第二次統(tǒng)測試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．43．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．4．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．5．已知，則的值構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，.則這個數(shù)列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．367．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．10．已知集合，則等于（）A． B． C． D．11．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．12．的展開式中的常數(shù)項為()A．－60 B．240 C．－80 D．180二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù)：___________．14．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是________15．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，設(shè)該陽馬的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則__________．16．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知點，分別是橢圓的上頂點和左焦點，若與圓相切于點，且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程；直線與橢圓只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于，兩點，求面積的取值范圍.18．（12分）已知，函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當時，求證：.20．（12分）已知正實數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：21．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.22．（10分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數(shù)求值．2、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡單題目.4、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.5、C【解析】

對分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數(shù)時，；為奇數(shù)時，，則的值構(gòu)成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.6、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，性質(zhì)，等差數(shù)列的和，屬于中檔題.7、D【解析】

當時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個對稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對稱軸，求得的值，進而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.10、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．12、D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項為，中項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、231,321,301,1【解析】

分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論，即得解【詳解】0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有：（1）當個位數(shù)字是1時，數(shù)字可以是231,321,301；（2）當個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1．故答案為：231,321,301，1【點睛】本題考查了分類計數(shù)法的應用，考查了學生分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點，觀察圖像，即可求出．【詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個交點，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是，但是當時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式．15、【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出，內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為，由此能求出．【詳解】四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，設(shè)該陽馬的外接球半徑為，該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，，，側(cè)棱底面，且底面為正方形，內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓，內(nèi)切球半徑為，故．故答案為．【點睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補形法的運用，以及數(shù)學文化，考查了空間想象能力，是中檔題．解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多，主要有兩種：（1）補形法（構(gòu)造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心垂線法，先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則球心一定在垂線上.16、【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內(nèi)心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進而得出，，寫出橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，，解得，，因為點在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標準方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，，即點的坐標為，因為點在第二象限，所以，，所以，所以點的坐標為，設(shè)直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當且僅當，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應用，利用基本不等式，屬于難題.18、（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）【解析】試題分析：（1），分，討論，當時，對，，當時，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè)，所以，設(shè)，則，且是增函數(shù)，所以。所以分和k>1討論。試題解析：（Ⅰ）因為，所以，當時，對，，所以在是減函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值，所以函數(shù)沒有極值點；當時，，令，解得，若，則，所以在上是減函數(shù)，若，則，所以在上是增函數(shù)，當時，取得極小值為，函數(shù)有且僅有一個極小值點，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（Ⅱ）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若，則設(shè)，所以，設(shè)，則，且是增函數(shù)，所以當時，，所以在上是增函數(shù)，，即，所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立.當時，因為在是增函數(shù)，因為，，所以在上存在唯一零點，當時，，在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，，即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.19、(1)的極小值為，無極大值.（2）見解析.【解析】

（1）對求導，確定函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，得到，，得證.【詳解】（1）由題意知，，令，得，令，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）當時，要證，即證.令，則，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，即.因為時，，所以當時，，所以當時，不等式成立.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為，所以因為，所以（當且僅當，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當且僅當時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.21、（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為